CALCUL

KXPiîaiEKCE

La concordance est frappante pour les six premiers intervalles. Quant à l'écart que présente le dernier, il est loin de rien prouver contre la théorie, car il est très difficile d'apprécier l'instant précis pour lequel le mouvement se termine, en s'atténuant par degrés infiniment petits. Il convient donc de mettre à part cet intervalle final. Le total des six premiers nombres donne alors, de part et d'autre, 783 et 780, d'où une diflérence de 3 secondes sur l'ensemble de cette durée, qui constitue en même temps le plus grand écart pour les périodes intermédiaires. Il s'ensuit une erreur relative d^ OjOOS85 seulement. Il est toutefois nécessaire d'ajouter que nous avons choisi, pour fSûre cette preuve, un exemple particulièrement concluant, et que beaucoup d'autres expériences présentent un accord moins favorable.

Si Ton rapproche celte valeur de celles qui ont été tix)uvées (éq. 25 et 26) pour le cas où récoulement a lieu dans Taîr, et non plus sous l'eau, on voit que :

Il faut donc, pour évacuer la moitié du bieil supérieur dans le bief inférieur, sous la charge continuellement croissante de celui-ci, la même durée que pour vider complètement ce bief sans charge extérieure. Il faut, de môme, deux fois plus de temps que pour écouler, sous une charge constante, un volume égal à celui du bief; et^ par suite, quatre fois plus de temps que pour évacuer, dans ces conditions, une quantité d'eau égale à celle qui est effectivement sortie, et qui n'est que la moitié du volume du bief.

THÉOKËHB BE BALANCIBK

•O — Lorsque les parois qui encaissent une veine liquide subissent un changement brusque de section (fig. 32), les filets ne pouvant cdtoyer un contour anguleux (n* 59),

«itre cette partie de l'enveloppe et la surface progressivement renflée du courant , un espace qui ne participe pas à l'entraînement général.

Cependant cette masse ne saurait rester immobile, sous l'influence du frottement qu'elle subit de la part de la veine en

mouvement à son inté-

rieur. Elle cède donc à

cette action ; mais le

vide ainsi produit se comble nécessairement par un retour en

arrière, ea produisant les eltets tournoyants, ou remous, dont

nous avons déjà parlé (n* 51). Ce phénomène, en apparence

Fig. a.

presque insignifiant, présente au contraire une importance capitale, car il constitue une cause très efficace de déperdition de la force vive, en raison du travail des forces intérieures de viscosité ainsi mises en jeu. Bélanger a réussi, par une voie très élégante, à évaluer cette perte, au moyen du théorème de la projection des quantités de mouvement.

Ce théorème s'indique en effet très naturellement pour Tétude du mouvement dans les conditions actuelles, puisqu'il fournit une relation indépendante des forces intérieures, lesquelles constituent précisément la difficulté, tant à cause de leur complication que par suite de l'obscurité qui règne sur leur nature. Nous appliquerons cette équation pendant un temps élémentaire dt, en projection sur la direction ak^ de la partie rectiligne, et en embrassant par la pensée foute la masse liquide qui se trouve comprise entre le plan ab du changement brusque, et une section A, B, menée dans la région où s'est rétabli le régime par filets parallèles. Ce système matériel comprend par conséquent les remous, aussi bien que la portion A^B^A^B^ qui participe à l'écoulement proprement dit.

Au bout du temps dty les remous nous présentent un ensemble identique à ce qu'il était pour l'instant initial, en raison de la permanence. Ils disparaissent donc identiquement du premier membre de l'équation, où figure l'accroissement de la quantité de mouvement projetée. La seconde partie A^^B^ A, B^^ se retrouve, à la fin de cette durée élémentaire, en A'^^B'^A'^B',. Nous rencontrons encore, en A'^B'^A^B^, un volume commun qui disparaît algébriquement. Il ne reste, en définitive, pour constituer le premier metnbre, que la différence des quantités de mouvement des deux tranches extrêmes d'aval et d'amont X^h^X\h\ et A^B^A'^B'^. Comme elles ont d'ailleurs la même masse, cette différence sera égale au produit

de cette masse commune — ^^ — par la différence v, — v^ des vitesses. On obtient ainsi, pour le premier membre de l'équation des quantités de mouveiilent :

nUiVidt (vi — t'o)

GEIÂNGËIIËNTS BRUSQUES. 83

Dans le second, nous devons placer le produit par dt de la somme des projections des forces extérieures, à savoir : les réactions des parois et le poids du liquide. En ce qui concerne les premières, nous n'avons à envisager que les sections planes afr et A^B^, attendu que la surface latérale ne donne lieu qu'à des forces normales à Taxe, qui disparaissent en projection. Dans toute l'étendue de ces aires planes, l'on peut admettre, pour les pressions, le régime hydrostatique. En effet, pour les parties A^Bq et A^B^, le mouvement est rectiligne et uniforme (n** 21); et, dans l'intérieur de la couronne comprise entre le contour ab et le noyau A^B,^, nous pou* vons invoquer la lenteur des déplacements (n"* 22). D'après cela, les forces totales que supportent ces surfaces ont pour valeur (n^* 10) le produit de leur aire commune û, par les pressions qui se développent en leurs centres de gravité respectifs G et 6^, lesquels sont situés, d'après la forme cylindrique du tuyau, sur une parallèle G 6, à ses génératrices. Nous appellerons p^ la pression en G^, etp celle qui se développe en G. Mais cette dernière peut s'exprimer en fonction de la pression p^ exercée au centre de gravité y^ ^^ ^^ section vive A^B, de l'écoulement. La loi de répartition des pressions dans le régime hydrostatique nous donne à cet effet (éq. 1) :

Po = P -h ny(« — «o).

d'où Ton déduit :

P = Po ■+■ rs(z^ — z).

En résumé donc, Tensemble des termes dus aux pressions se réduit à :

Quant au poids, il a pour valeur le produit du poids spécifique a par le volume Ù^.GG^ du cylindre liquide. Nous avons à le projeter sur l'axe du tuyau, c'est-à-dire à le multiplier par le cosinus de l'inclinaison a de ce dernier sur la verticale. Mais GG^ cos a repré-

-vT?"

mÇ\

• vli

sente alors la différence de niveau s — z^ des points G et G^ Le terme en question sera donc :

CTÛj (Z — S|) dt.

Si nous formons maintenant Téquation, nous voyons les deux termes en :s se détruire réciproquement. Le facteur Û^ dt qui figure partout peut être supprimé, et, si nous divisons encoi*e par le poids spécifique, il vient :

61 — On remarquera que le second membre reproduit identiquement celui de l'équation de BernouUi (éq. 8). Il représente la charge entre les deux sections considérées. Quant au premier membre de

la relation actuelle, il diffère essentiellement de celui -^-s — ^de ce dernier théorème. On peut, en effet, le mettre sous la forme :

et cet écart i-^-^ — si ne saurait être nul, puisque l'équation de continuité :

nous donne, pour les vitesses, le rapport inverse des sections :

lequel, par hypothèse, diffère de l'unité.

Il sera, d'après cela, intéressant de conserver, autant que possible, nos habitudes précédentes, c'est-à-dire l'usage du théorème de

BemouUi, au moyen d'un simple terme de correction, en écrivant de la manière suivante Téquation de Bélanger :

On l'énoncera comme une modification du théorème de Bernoulli, en disant que ce théorème subsiste encore, sauf une perte subie par la charge^ laquelle a pour valeur :

La quantité v^ — v^ prend le nom de vitesse perdue dans cette sorte de choc du liquide sur lui-même , produit par le ralentissement brusque. A Taide de cette dénomination consacrée par l'usage, nous pourrons formuler ainsi le théorème de Bélanger : Aux changements brusques de section qu'une veine liquide est oplù gée de subir ^ il s' opère j dans le théorème de Bemoulli^ une perte de charge, mesurée par la hauteur due à la vitesse perdue.

Cette quantité sera d'ailleurs toujours connue, ou du moins rattachée à la vitesse d'arrivée v^, par l'équation de continuité (28), puisque les deux sections sont données a priori.

Bit — La valeur de la perte de demi-force vive due à l'effet des remous dans un changement brusque de section se trouve dès lors déterminée.

En effet, la demi-force vive d'un poids élémentaire P animé

d'une vitesse V est le produit de sa masse — par la moitié -^ du

if

carré de sa vitesse. On peut aussi le représenter comme le pro-

V* duit du poids P par la hauteur due à la vitesse ^. La variation

de demi-force vive, quand la masse élémentaire passe d'une section à l'autre, est donc le produit de ce poids par l'accroissement de la hauteur due, c'est-à-dire par la charge entre ces deux sections,

d'après le théorème de BernouUi (éq. 8), quand il s'applique dans les conditions ordinaires. La perte subite qu'elle éprouve dans une variation brusque de section sera par conséquent, d'après le théorème de Bélanger, le produit,

2sr

du poids par la perte de charge.

D'après cela, comme toutes les particules viennent éprouver, l'une après l'autre, une semblable déperdition, on voit que la perte de demi-force vive due aux remous, rapportée à Vunité de tempsy sera le produit du débit en poids par la hauteur due à la vitesse perdue.

AJVTACIE CTI.INKKIQVE

63 — Supposons que l'on munisse un orifice circulaire pratiqué en mince paroi d'un ajutage extérieur (^), c'està-dire d'un bout de tuyau (fig. 53) assez long pour que la veine, qui entraîne par son frottement l'air interposé entre elle et la paroi, se gonfle dans cette atmosphère raréfiée au point de rejoindre les parois et de sortir à gueule-bée (•) . Elle achève alors d'ex-

il) Malgré la similitude de noms, les nouveaux phénomènes que nous étudions en ce moment n*ont rien de commun avec celui que nous avons déjà envisagé sous la dénomination classique d'ajutage rentrant de Borda (n* 44). On a, en effet, Fig. 33. alors supposé essentiellement le tuyau assez court

pour ne pas être mouillé par la veine, qui n*occupe à son intérieur que la moitié de sa section. C'est précisément en cela que consiste la différence essentielle des deux modes d'écoulement, car les remous sont alors supprimés. (*) Hachette. Traité des machines, 1828, p. 73. — Venturi. Recherches expérimentale» sur la communication latérale du mouvement dans les fluides, 1797.

GHANGEMExNTS BRUSQUES. 87

puiser cet air, qui se trouve définitivement remplacé par une certaine quantité de liquide tournoyant à Tétat de remous.

On retrouve, dans ces conditions, entre la section M de la contraction et celle M' du débouché, un état de choses identique à celui de la figure 32, qui nous a fourni l'équation de Bélanger (éq. 29). Nous supposons d'ailleurs que le tuyau n'a que strictement la Ion gueur qui vient d'être définie. Tout supplément à cet égard n'aurait d'autre efiet que d'introduire des frottements extérieurs, en augmentant inutilement le total de ceux que nous avons négligés dans l'analyse précédente.

Si donc nous écrivons, entré M et M^ l'équation (29), elle donnera, en prenant pour plan de comparaison celui qui passe par l'axe de l'ajutage :

si nous appelons p la pression qui se développe dans la contraction, et p. la tension atmosphérique qui règne dans toute l'étendue du débouché (n"" 40).

Nous avons d'ailleurs, pour déterminer la vitesse perdue, l'équation de continuité (éq. 28) :

(31) r'*= mt\

en désignant par m le coefficient da la contraction qui prend naissance dans ces conditions spéciales.

Je ferai enfin remarquer que la partie de l'écoulement qui se trouve en amont de la section contractée reproduit identiquement, de son côté, les conditions du problème auquel nous avons {u!* 40) applique le théorème de BemouUi sous la forme :

Ces trois équations renferment : 1" quatre constantes numériques :

CT = 1000 . p. = 40356 g = 9,81 m == 0,62

si nous admettons provisoirement pour m la même valeur que dans l'air; 2*" une constante arbitraire H, qui sera donnée dans chaque cas; 3^ enfin trois inconnues, Vyv\etpf que ces relations vont nous permettre de déterminer. Procédons à cette élimination.

64 — Pour connaître la vitesse au débouché v\ nous ajouterons ensemble les égalités (30) et (32) , ce qui donne :

ou, d'après (31) :

et enfin :

Si l'on effectue le calcul, avec la valeur admise provisoirement en ce qui concerne m, il vient :

En consultant, à cet égard, l'observation directe, on a trouvé (*) :

Si l'accord n'est pas complet^ il est néanmoins assez remarquable pour constituer une vérification importante de ces théories délicates. Nous n'étions pas d'ailleurs en droit d'en attendre une absolument rigoureuse, puisque nous avons formé, à l'égard de m, une

(*) Bossut admettait, à cet égard, la valeur jr [Hydrodynamique, t. II, chap. m).

CHANGEMENTS BRUSQUES. 8il

hypothèse gratuite, et négligé, en outre, Tinfluence des frottements ultérieurs. 11 sera d'ailleurs évidemment préférable, pour continuer le calcul, d'employer celle des deux valeurs qui est la plus exacte (33).

La perle de charge s'évaluera en remarquant que Taccroisseme!}! effectif de la hauteur due, lorsque l'eau passe du repos à la vitesse

v\ est 5- . Il mesure, d'après le théorème de Bélanger, la charge diminuée de la perte de charge. Comme d'ailleurs la charge disponible est H, on voit que la perte de charge se formule par :

la yerie de charge est donc d'un tiers de la charge disponible, ou de moitié de la charge utilisée (*), puisque celle-ci forme dès lors les deux autres tiers.

Nous obtiendrons la dépense en appliquant, à la section du débouché, l'équation de continuité :

Q = ûr', c'est-à-dire :

En l'absence d'ajutage, on aurait eu, pour le débit (éq. 19) :

Q, = 0,62ûv/2ffH.

On voit donc que la présence de cet appendice active l'écoulement. Il attire f en quelque sorte, le liquide hors du vase, en exerçant sur lui un appely une succion. La mesure de cette augmentation de

(*) Ces deux formes de l'énoncé nous seront utiles l'une et l'autre, suivant la nature des applications.

90 HYDRAULÏQDE

la dépense est fournie par le rapport :

d'où cet énoncé : Le débit est augmenté d'environ un tiers par la "présence de V ajutage cylindrique.

Nous déduirons de là l'expression de la vitesse dans la contraO' lion. En effet, le débit passe dans cette section, comme dans toutes les autres. Si donc nous négligeons, pour un énoncé approximatif, la différence que peut présenter la contraction actuelle avec celle qui prend naissance dans Tair, il faudra, d'après l'équation de continuité, que ce soit la vitesse qui ait subi, pour son propre compte, l'augmeiltation correspondante. On a donc :

/• = l,52v/pr;

ce qui montre que la vitesse dans la contraction est augmentée d'un tiers environ.

Cet accroissement de vitesse tient à une diminution de pression dans l'intérieur de l'ajutage. En raison de ce degré de vide, le liquide s'y précipite plus énergiquement que dans une enceinte qui lui opposerait la pression atmosphérique. La production de cette dépression est un phénomène d'une importance absolument capitale (*). L'équation (32) nous en fournit la valeur :

(') Elle sert de point de départ au fonctionnement d'appareils très remarquables, dont le premier a été la trompe (fi^. 54), et qui, dans leur forme actuelle, beaucoup plus puissante, sont connus sous les noms d'injecteurs, éjecteurs^ souffleurs j élevateursj etc. On y emploie, à la vérité, non plus des ajutages cylindriques, mais des tubes convergents-divergents (fig. 55), qui présentant des effets du même genre et encore plus accusés. L'eau injectée souà pression en A entraîne, par B, le liquide adjacent avec l'aide de la dépression qui est créée dans l'étranglement en G, et le tout se trouve projeté à travers l'orifice D. Le fonctionnement à l'aide de l'eau est souvent remplacé, dans ces organes, par l'emploi de l'air comprimé, et surtout de la vapeur. Cette dernière, en se condensant au contact de l'eau froide, et en lui cédant sa phaleiir de

CHANfiEMEHTS BRCSQUES. al

On peut donc dire, en nombres ronds, que la dépression dévetoMtitniion, Tient mSler, ru ptiénomène »|ul nous otcupe, des çij-cons tances d'un autre

ordre que nou» (Ddyseroni plus tard, à L'occasiou de l'alinienialioii des générateurs à npeor. On a obtenu, à l'aide de ces éjecteurs, des eflets d'une intensité très remar-

C'etl ainsi qu'à Londres, on en ■ employé pour l'extinction des incendies, en Irt raiUDt fonctionner à des pressions formidables, de manière à couper les conatruc-

loppée dans F ajutage cylindrique est égale aux trois quarts de la charge qui est exercée sur son centre.

On voit qu'il s'agit là d'une valeur très notable. Elle a été mise en évidence par une expérience célèbre de Yenturi, qui consiste à adapter à la section contractée un tube manométrique, dont la partie inférieure plonge dans un bain liquide (fig. 53). Celui-ci s'élève alors au-dessus de son niveau extérieur, jusqu'à une hauteur égale aux trois quarts de celle qui surmonte l'ajutage lui-même.

Ce curieux phénomène nous présente enfin un exemple de la

tions par U force du jet, afiu de faire la part du feu et d'étouffer le brasier bous la chute des décombres, en même temps que par l'inondation.

On peut signaler encore un autre exemple des effets de la dépression due à l'épanouissement brusque qu'une yeine est obligée de subii*, pour revenir au contact de la pression atmosphérique. La Titesse diminuant par lA, d'après l'équation de continuité, la pression doit, suivant la formule de BemouUi (éq. 7), aller en croissant ; et, comme elle a pour limite celle de l'atmosphère, elle est obligée, pour cela, de partir d'une valeur moindre dans la contraction. Les mariniers savent fort bien, en effet, à quel danger se trouve exposé un bateau qu'une fausse manœuvre amène à se mettre en travers d'une arche de pont. S*il est chargé au point de se trouver, dans les conditions ordinaires, presque immergé, on risque alors de le voir couler à pic. Gela tient à ce que le courant s'engoufire sous la quille, et ne rejoint le fond plat du bateau qu'à une certaine distance de son arête. U se développe par suite, dans cette région, une dépression dont l'effet vient s'sgouter au poids, jusque-là tenu en équilibre par la poussée du liquide déplacé Une immersion plus profonde devient donc inévitable, et peut sufOre à déterminer lo naufrage.

Ce même principe se trouve encore applique dans la construction des barraget à voutrelle* (fig. 56). On compose cet ouvrage de pièces équarries superposées, et on

^^ ■^^^■■jj

"/Tfev ■ * " "

•^ nsnsi

* '«^'^^VxÀ; d • ' ^' •

Fig. 36.

Barrage à poutrelles (c

oupe verticale).

Fig. 37.

Barrage à poutrelles (plan horiiontal).

l'élève avec une très grande facilité. H suffit, pour cela, de faire floUcr les poutrelles en A, en les dirigeant de manière qu'elles se présentent en travers au point B, au contact de montants en maçonnerie. La succion qui s'exerre en dej^sous les fait alors couler en C, les unes au-dessus des auti\;s.

limite de diarge capable d'amener le dégorgement^ en provoquant dans les équations une impossibilité physique^ à savoir un degré de dépression dont la valeur dépasserait celle de la pression atmosphérique, et conduirait à wn^ pression négative (n** 27). Il faut en effet, pour que la quantité p reste positive, que l'on puisse

écrire :

Ts ry

c'est-à-dire, en ce qui concerne l'eau (n* 9) :

d'où l'on déduit, comme condition nécessaire :

AJUTACSES BITERCSENTS OU €eiV¥EII«BNTS

•5 — Buses divergentes (*). — On trouve, dans l'analyse des propriétés de l'ajutage cylindrique, tout à la fois un phénomène susceptible d'applications utiles ('), à savoir la succion qui a pour effet de faire sortir le liquide en plus grande abondance que par un orifice d'égal diamètre pratiqué en mince paroi, et, en même temps, une circonstance fâcheuse : la perte de charge. Il y a lieu, d'après cela, de se demander sMl serait possible de modifier le dispositif, de manière à garder le premier avantage en supprimant l'inconvénient. Rien n'est plus facile en efTet.

Il suffit, pour cela, de conserver à la veine sa forme épanouie, en

(*) Daubaisson. Traité d'hydraulique^ p. 64. ~ De Gali^j^ny. Expériences sur divers phénomènes des ajutages divergents (Rechercher théoriquee et expérimentales sur les oseaiaUmu de Veau, 1883, t. I, p. i39 et 339).

(') Slotamment dans la cheminée évasée adaptée par H. Guibal à son ventilateur de nÙDes (Haton de la GoupiQiére, Cours d^ exploitation des mines ^ t. H, p. 450).

UYDRAULIQUE.

évitant en même temps, dans les espaces nuisibles^ la pi*oduction des remous qui sont une cause de perte de force vive. On substitue ainsi à Tajutage cylindrique une buse divergente . donl le profil est évasé, mais avec une grande continuité, de manière à supprimer tout changement brusque (fig. 38). Cet effet comporte toutefois une limite, et Ton ne saurait, par une dilatation indéfinie de la section, forcer outre mesure l'accélération que Ton imprime ainsi au liquide. L'on arriverait par là , comme dans la question précédente, à provoquer le dégorgement de la buse. Cette limite est facile à déterminer de la manière suivante.

Conservons, avec le dispositif de la figure 38, les notations de la question précédente. Nous pourrons appliquer le théorème de BernouUi depuis les profondeurs du bassin, pour lesquelles la vitesse est négligeable, jusqu'au débouché; puisqu'il ne se produit nulle part de remous sur ce parcours. On obtiendra ainsi la formule de Torricelli (éq. 17) :

Fig. S8.

Buse divergente.

v' = \/yti.

Si l'on écrit de môme l'équation de BernouUi, en s'arrètant à la section contractée, ou aura simultanément (éq. 16) :

L'équation de continuité relie d'ailleurs ces deux vitesses, et donfte i

Comme, du ireste, la pression p né saurait être abaissée au-dessous

de zéro, il vient pour la limite du rapport de dilatation des sections :

Lini. — = V/ û V

et, pour celui des rayons :

Lim. -L = i/l +

On voit que cette limite se resserre d'autant plus que la charge est plus importante. Si, par exemple, on emploie une liauteur d'eau de 10",556, on ne pourra augmenter le diamètre dans un

rapport supérieur à \/2 ou 1,189 qui ne représente pas même

p en sus. Avec une charge égale à un mètre, on pourrait aller jus-

qu'à 1,835 ou environ p- en sus. Pour arriver à doubler le rayon

dans la valeur du rapport limite, il faudrait abaisser la charge jusqu'à 0",68e.

•4i — Ajutages convergents (*).

conique encastrée dans une paroi plane (fig. 39). Une contraction se produit à l'entrée. Elle est suivie d'un renflement, et des remous s'établissent dans l'intervalle libre. De là une perte de charge, et une diminution dans la vitesse finale, analogue à celle que l'on observe dans l'ajutage cylindrique, mats moins impor-

-^ Envisageons une tuyère trou-

rig. 39.

Ajutage convei*geiit

(») Expériences de Poleni, i718 (Bossul, Hydrodynamique y % 530). -* Lespinasse (Hémrirei de f Académie de Toulou$e, t. H, 1784). — Castel [Annales dei mines, 1833 cl 1838). — Daubuisson [Hydraulique, p. 55). — Colligaon [Cours de mécanique appHqwée aux cotutrudions, 2* partie, p. 127).

IIYDRAIUQUE.

tante, car la section renflée est moindre, dans le tronc de c6ne, qu'elle ne le serait pour rejoindre la paroi du cylindre. La vitesse perdue est donc moins sensible. Cette atténuation sera naturellement d'autant plus accusée que Tangle du cône sera plus grand.

Au débouché, les filets dirigés par la paroi conique présentent une certaine convergence qui détermine une contraction, moins prononcée toutefois que pour Forifice en mince paroi, et croissant également avec l'angle du cône.

On voit donc que la section diminue, en môme temps que la vitesse y augmente, lorsque s'accroît la conicitë. Le débit subit à la fois ces deux influences inverses, d'après l'équation de continuité. L'expérience a montré, en ce qui concerne l'effet résultant, que la dépense croit depuis le cas de l'ajutage cylindrique jusqu'à Tangle de 12* environ, pour décroître ensuite jusqu'à celui de l'orifice en mince paroi. On a enregistré, à cet égard, les résultats suivants :