ANGLE

DD GÔNB

qV2^U

67 — Les tuyaux de conduite présentent souvent une succession d'étranglements suivis d'épanouissements, tels que ceux auxquels donnent lieu, par exemple, les robinets ordinaires ou les robinetsvannes. Le cas le plus simple, pour lequel cet obstacle serait constitué par une mince paroi, porte le nom de diaphragme, 11 est

facile, à l'aide du théorème de Bélanger, d'assigner rinflncnce |que ce genre d'enlraves exerce sur l'écoulement. Soient en efîet (fig. 40) w la section du diaphragme, nm celle de

Fig. 10. — Diapbngmcg.

la contraction qui lui fait suite, et u la vitesse qui s'y produit. Appelons de môme Q la section de la travée qui succède, et V la vitesse qui s'y établit. On aura, d'après l'équation de continuité :

Q ^= jttùiV =; ûV,

et, par suite, pour la vitesse perdue '

La perte de charge provoquée par la présence du diaphragme sera donc :

(v~-\Y ^ (L ly ±

2j? \mu a) 2j'

et ceiie que produira l'ensemble des n — l premiers diaphragmes disposés le long de la conduite :

Le n"" et dernier se comporte comme une mince paroi pour l'écoulement à l'air libre (éq. 16). La hauteur due à la vitesse

~- est donc égale à la charge d'ensemble H + - — — dimi-

ie la perte de charge totale dont nous venons de foiToer tssion. De là l'équation :

i:=^ = Il + 1^ - -* Ïf-J- - -LV.

2j o -2g -^^ \ mut û» /

e nous avons d'ailleurs, en appliquant une dernière fois ^ion de continuité :

t finalement :

^ \mat Qt/

st la relation qui fera connaître le débit de la conduite, sous ince des obstacles dont elle est encombrée, et en faisant ;tion, pour ?e moment, du frottement sur les parois; celte ïlant ré8er\-éc pour le chapitre suivant.

tAN«LEHEMT PmABVIT PAK LES PILES BIJN PONT

— L'entrave apportée dans le courant des rivières par la prèles piles de pont détermine des phénomènes du même ordre . précédents ('). Le liquide se divise en avant de chaque pile,

icelel. Introduction à la mécanique induttrieltt. 1841, p. 537. — Résal. Cour* tique générale, t. H. p. 323. — CoUi^on. Court de mécanique appliquét axx !iwM, !• partie, p. 31!.

* aiANGEHENTS BRUSQUES. 90

et une proue liquide très écrasée (fig. 41) stationne au contact de l'avanl-bcc, à l'état de remous, d'autant moins accusé que la forme de cet éperon sera déterminée d'une manière plus Tavorable. On pourrait môme concevoir, à la limite, que l'on soit parvenu, à l'aide d'une courbe appropriée, à supprimer cette cause de perte de force vive ; et nous l'admettrons par approxima- ^ ^^

tion pour le profil hémi-circulaire, qui est aujourd'hui généralement adopté.

Le théorème de Bernoulli pourra, dans ces conditions, s'appliquer jusqu'à la contraction. Il viendra ainsi :

-Vous pourrons invoquer, en efTet, dans les sections où l'écoulement a lieu par filets parallèles, le régime hydrostatique (n* 21). Les profondeurs d'eau h et h' représentent donc (sauf la constante de la pression atmosphérique) les ordonnées des niveaux piézométriques. Comme la pile est toujours appareillée en ligne droite, il s'établira des remous sous l'arche, et nous devrons appliquer à partir de là, jusqu'à une section où se trouve définitivement rétabli le régime par filets parallèles, non plus le théorème de Bernoulli, mais celui de Bélanger, que nous écrirons sous la forme suivante (éq. 27 1 :

n joignant à ces formules les équations de continuité : vhL = v'k'l = v'k'l. = 0,

100 HYDRAUUQUE.

nous obtiendrons en tout cinq relations entre les inconnues v,v\v\h^h\ et les données A",/,L,0.

Si l'on substitue les valeurs :

^ JQ t;' = -^ v" = ^

L/i' Ih" Lk

dans les deux premières relations, elles deviennent :

L'équation du second degré en /i' nous fournira cette inconnue. En la substituant dans Téquation du troisième degré en A, nous obtiendrons, à son tour, la profondeur en amont. Cela fait, les trois autres égalités détermineront les valeurs des vitesses.

On connaîtra de cette manière la valeur du gonflement h — A" provoqué par la présence des piles, ainsi que la chute h — h' qu'éprouve Teau en s'engageant sous l'arche du pont, et le contrehaut A" — A' qu'elle doit gravir pour reprendre, à la sortie, son niveau normal (*).

(*) Ea raison de la complication de ces calculs, on se contente souvent d'une approximation assez grossière. On néglige la contre-pente, c'est-à-dire la difTérencc entre A' et h", et, dès lors, on substitue à l'inconnue principale h — A' la quantité h — A', qui est immédiatement fournie par l'équation (34) sous la forme :

JLfL-l)

en évaluant t; et v' d'après l'équation de continuité, et confondant encore dans cette occasion h et h' avec A', qui ^présente la profondeur naturelle du courant. Quant i ^ on l'exprime en fonction de la largeur à de la travée sous la forme /&>, en désignant par /A un coefficient qui doit être déterminé empiriquement. A cet égard, Funk a proposé la valeur 0,90 pour les eaux moyennes, et 0,80 dans les grandes eaux. Eylelwein a indiqué 0,95 avec la forme triangulaire ou ogivale des avant-becs, et 0,85 pour les piles rectangulaires. On emploie ordinairement le coefficient 0,90 dans tous les cas, et spécialement avec le proOl hémi-circulaire.

CliANGEME?{TS BRUSQUES. 101

CmmC WVNK ¥EI1VE I^IQUIDE COIVrRE UN CORPS SOLIDE

69 — Effort exercé. — Les changements brusques qui résultent, pour une veine liquide, des actions réciproques de ses diverses parties, ne sont pas les seuls qui puissent y déterminer des pertes de force vive. Il en est encore de môme lorsque le courant se trouve subitement dévié de sa direction par la rencontre d'un corps solide. Il y a lieu, dans ce cas, d'évaluer à la fois Taction qu'exerce le fluide sur cet obstacle, et la perte de force vive qu'il subit pour son propre compte.

La plupart du temps, la surface solide, que nous réduisons d*abord à un plan indéfini, fait partie d'un récepteur hydraulique, et possède, à ce titre, un mouvement propre. Ce déplacement, que nous supposerons de translation pour plus de simplicité, peut toujours se décomposer suivant deux directions, à savoir la normale et une droite située dans le plan lui-même. Mais ce dernier mouvement n'exercera aucune influence sur le liquide, si nous négligeons le travail du frottement sur un aussi court espace. Nous pouvons donc Técarter de ces considérations, et supposer simplement que le plan soit animé d'une vitesse u suivant sa normale. Nous nous attacherons, dans ce qui suit, < au mouvement relatif du liquide par rapport à cette translation d'entraînement.

L'expérience montre qu'après sa rencontre avec une surface parfaitement polie et sans rugosités, l'eau ne rejaillit pas, comme le ferait un solide élastique, sous un angle de réflexion plus ou moins rapproché de l'égalité avec l'angle d'incidence. On la voit, au contraire, s'étaler en nappe, par un écrasement complet du jet, qui s'éparpille tangentiellement (<). Nous envisagerons, d'après cela, le système matériel compris entre une section plane A^Bq de la

(*) Savart. Expériences sur le choc d'une veine liquide contre un disque mince {Annales de chimie et de pkytique^ t. LIV, 1833). — Boussinesq. Théorie des résultais (^tenas par Savart pour la forme que prend une veine liquide après s'êti^ heurtée contre un plan circulaire (Comptes Tendue de V Académie des Sciences^ t. LXIX, p. 45 et 128).

IIYDRAUUQUE.

veine (fig. 42) et un cylindre A^Bj normal au plan, en lui appliquant le théorème des quantités de mouvement projetées sur la

normale. Cette relation, qui ne renferme que les forces extérieures, aura en effet l'avantage d'éliminer immédiatement les forces intérieures inconnues qui se développent dans cet écrasement.

Les molécules situées sur ces deux surfaces extrêmes se retrouveront en VB/ et A/B/ au bout du temps dt. La partie intermédiaire A/B/A,Bj disparaît algébriquement. La couronne A,Bj A/B/ ne donne lieu, pour sa quantité de mouvement, à aucune projection sur la normale. Il ne reste, par suite, à envisager que la tranche AqBoAq'B/. La vitesse relative de cette dernière est la résultante de sa vitesse absolue et de la vitesse d'entraînement prise en sens contraire. Sa projection normale sera donc la différence de celles de la vitesse absolue et de la vitesse d'entraînement. Elle aura, d'après cela, pour valeur vcosa — u, si nous désignons par v la vitesse de la tranche AoB^, et par a l'angle qu'elle fait avec la normale au plan, c'est-à-dire avec la translation d'entraînement. Quant

à la masse de la tranche d'amont, elle s'exprime par , et le

premier membre de l'équation se réduit à :

Fig. -42.

TJsQdt

(v cos a — m) ,

avec le signe négatif, [puisque ce terme se rapporte à la vitesse initiale.

Qaant aux forces extérieures destinées à composer le second membre, on devra leur adjoindre, d'après la théorie des mouvements relatifs, les deux forces fictives connues sous les noms de force d'inertie d'entrainement et de force centrifuge composée. Mais l'une et l'autre s'annulent identiquement dans le cas actuel, puisque le mouvement d'entrainement est une translation rectiligne et uniforme. Il ne reste donc à prendre en considération que la pesanteur et la réaction normale F du plan, laquelle forme précisément l'inconnue de la question. En ce qui concerne, en effet, la pression atmosphérique, elle disparait identiquement, ainsi que nous l'avons montré dans une autre occasion (n* 44). Elle constitue d'ailleurs la seule pression développée dans la section AoB^, pour laquelle les filets sont supposés libres d'obéir à l'action de la pesanteur (n"" 20), cette section ayant été choisie, pour cela, à une distance suffisante de l'obstacle perturbateur; et quant aux pressions exercées sur le cylindre A^B^, elles sont perpendiculaires à l'axe de projection.

Désignons donc par P le poids du liquide renfermé dans l'en^ ceinte A^B^X^B^. Son impulsion projetée sera Vcos idt, si nous représentons par i l'inclinaison du plan sur l'horizon. L'équation aura, d'après cela, pour second membre :

(Pcosi — F)c^^

et elle donnera, en remplaçant Q d'après l'équation de continuité :

(55) F = P ces i H av (v ces « — u).

11 peut sembler surprenant que la force F, qui est nécessairement déterminée, se présente comme une fonction du poids P, lequel est arbitraire, comme les sections mêmes entre lesquelles il se trouve renfermé. Mais il faut remarquer, à cet égard, que, d'une part, v el a dépendent également du choix de A^B^, car la vitesse des corps pesants change de valeur et de direction aux divers points de leur trajectoire. On comprend donc qu'il puisse, à cet égard, s'établir

i04 HYDRAULIQUE.

une compensation qui ne saurait, bien entendu, manquer d'exister. D'un autre côté, l'influence du choix du cylindre A, B, ne pouvait non plus manquer d'intervenir, car refforl exercé par la plaque variera avec son étendue, et celle de la nappe liquide qu'elle soutient ainsi, en la détournant de reprendre son cours naturel sous l'action de la pesanteur seule:

Imaginons, par exemple, pour prendre le cas le plus simple, un plan Qxe :

u = 0, horizontal :

choqué normalement par une veine verticale :

11 viendra, dans ces conditions :

Au fur et à mesure que nous abaissons , par la pensée , la section AçB^, le poids P diminue, et la vitesse de chute augmente. Nous tomberions, à la vérité, dans la confusion, en dépassant le point où s'altère le parallélisme des tranches, que suppose la démonstration précédente. C'est cependant ce que l'on fait involontairement dans le langage ordinaire, quand on parle de la vitesse de rencontre V. On se trouve par là conduit implicitement à supposer P=0, en rapprochant indéfiniment A^B^ et A,B,. U vient alors :

De là cet énoncé qui avait été formulé par Newton : Veffort exercé contre un plan fixe par le choc normal d'une veine liquide est le

double du poids du cylindre qui aurait pour section celle de cette veine (') et pour axe la hauteur due à sa vitesse (').

70 — Perte de force vive. — Nous aurons besoin, pour la théorie des récepteurs hydrauliques, de connaître l'expression de la perte de force vive qui se produit dans la rencontre brusque d'un liquide avec un solide. Une distinction essentielle est nécessaire à cet égard.

Lorsque l'obstacle est fixe, le travail d'écrasement de la veine intervient seul pour en diminuer la force vive; la réaction de ce plan n'eflectuant aucun travail sur le déplacement tangentiel de l'eau, si nous négligeons l'influence du frottement pour une aussi faible longueur. Hais si le plan se trouve animé lui-même d'une translation normale, de vitesse constante u, la réaction F exécute pour son compte un travail, qui vient, comme le précédent, réduire la force vive du courant. Toutefois cette dernière portion de l'énergie n'est pas perdue. Elle est passée dans le récepteur, qui a besoin d'en

(') Lorsque celte section peut être considérée comme infinie, comme dans le cas de rimraersion d'un obstacle limité au sein d'un courant illimité dans le sens ti^nsversal, le phénomène change complètement de nature, et Targumen talion précédente ne s'y applique plus en aucune manière. Il prend alors le nom de résitlance de$ milieux. Je me suis occupé ailleurs de cette importante question (Ilaton de la Goupilliére. Traité des mécaniêtneê, renfermant la théorie géométrique des organes et celle des résiêtancei passives. Gauthier-Yillars, 1864, p. 438 à 449). Hais dans le Cours actuel, destiné à l'établissement des machines, et non aux questions qui intéressent la navigation, j'écarte à dessein ce qui concerne la résistance des milieux, les propulseurs et la propagation des ondes.

{*) Ce résultat a été contrôlé expérimentalement par Bossut, qui a trouvé, au lieu du facteur 2, le coeflicieot 1,95 {Hydrodynamique, § 855) ; et par Bidone, qui a donné des rapports compris entre 2,04 et 2,23 [Expériences sur la percussion des veines eTeau, Turin, 1836). Le degré de poli parait d'ailleurs intervenir en influençant Téparpillement de la veine, et Zuliani a obtenu un coefficient plus élevé pour le fer que pour le bois.

Ce rapport sera également augmenté par la présence de rebords, qui ont pour effet de renverser l'écoulement en arrière. En effet, le second tenne des quantités de mouvement projetées relatif à la tranche cylindrique «B|A'|B'| ne disparait plus alors identiquement; il prend un signe négatif, et s'ajoute par suite au premier dans la soustraction algébrique. Si la courbure rejette la totalité de la veine dans une direction diamétralement opposée, l'effort que nous avons calculé sera donc doublé. Il sera, au contraire, atténué, si, au lieu d'un plan, on emploie une surface fuyante, qui laisse la quantité de mouvement de A|B|A'^B'| se projeter dans le même sens que celle de AqBqA qB'q.

Quant au choc oblique contre un obstacle au repos, des expériences du docteur Vince (Daubuisson, Hydraulique, p. 280) ont montré, conformément à l'équation (35), dans laquelle on continuerait à supposer u =0 et P=0, que l'effort est proportionnel au sinus de l'inclinaison de la veine sur le plan fixe.

i06 HYDRAULIQUE.

recevoir pour entretenir son mouvement uniforme malgré les résistances industrielles qu'il est destiné à vaincre. En Fabsence de ces résistances, il prendrait une accélération et un accroissement de force vive, sous Timpulsion du courant qui viendrait lui communiquer la sienne. Mais, dans les conditions réelles, l'énergie qui a abandonné le liquide passe finalement, au delà du récepteur que l'on entretient en mouvement uniforme, dans les résistances qu'il a pour mission de surmonter. Cette portion du travail s'exprimera donc, durant l'unité de temps, par ¥u. Désignons en même temps par T celle qui résulte, dans le même intervalle, du jeu des forces intérieures. Nous aurons alors, pour le second membre de l'équation des forces vives que l'on appliquerait au liquide A^jB^^ A, B^, pendant son passage en A'^B^^'A^B', :

— (¥u 4- T) du

Occupons-nous maintenant de former le premier membre.

Nous nous contenterons, à cet égard, du point de vue approximatif qui vient d'être employé pour établir le théorème de Newton. Nous introduirons donc la vitesse de rencontre V, que possède le liquide au moment où il atteint l'obstacle, dans une direction qui fait l'angle a avec la normale; et nous annulerons en même temps le poids P. Raisonnons d'ailleurs comme si la veine, au lieu de s'étaler à la fois dans toutes les directions, à la vérité d'une manière très inégale, s'étendait uniquement suivant la projection de la vitesse V sur le plan solide. Si, dans ces conditions, on applique le théorème des quantités de mouvement projetées sur cette droite, la réaction normale F, seule force extérieure qui puisse influencer le mouvement, disparaîtra d'elle-même ; ce qui montre que la vitesse projetée V sin a ne subit aucune altération. Quant à la composante normale, qui était originairement V cos a, elle est devenue m à la fin du choc, lorsque le liquide, ainsi marié au métal, n'est plus animé par rapport à lui que de mouvements relatifs tangenticls. La vitesse finale V est donc la résultante de ces deux composantes rectangulaires, ce qui donne pour sa valeur :

V" = u* -h V* sin «a.

GUÀNGEHENTS BRUSQUES. 107

La variation du carré de la vitesse sera, d'après cela :

y/f Y» =»u* — V« COS'a.

La masse étant d'ailleurs , on aura pour premier membre

de l'équation des forces vives :

— TT — m* — Y* cos *a).

Cette équation donnera par conséquent :

T = ^ (V«cos*a — tt«) — Fm, 2y

Or il vient, en introduisant dans la formule (35) les hypothèses P = 0, t; = V :

F = ^(Vcosa — u).

On déduit de là :

T = -|^ [(Y* cos »« — M») — 2u (Y cos a — m)]

= -^ [tt' -+- Y* cos 'a — 2wY cos al

ir

= -TT— (Y cos a — uy.

Ce résultat est facile à interpréter (flg. 42). En effet la longueur V cos a — u mesure la droite qui ferme le triangle des deux vitesses initiale et finale V et Y'. On l'appelle, pour cette raison, vitesseperdue dans le choc (*), et Ton peut, d'après cela, énoncer le résultat

(*) C'est, en efTet, celle qu'il faudrait composer avec Y par la règle du parallélo-

HYDRAULIQUE, manière suivante : Lorsqu'une masse liquide vient choquer m mobile, elle éprouve une perle de force vive marquée par :e vive qui correspond à la vitesse perdue.

des vitesses, pour obtenir V. On possédait doue, dans la vitesse V, i i'iiuliiit 'équivalent du système de V et de V cos a — u. Or on n'a ])Ius que V pour Uns), ce qui permet de dire que l'on a perdu la seconde composanle V cos a — u