PROBLÈME DE LA CONDUITE SIMPLE

74 — La vitesse moyenne w, d'après sa définition même (éq. 56), reste nécessairement constante dans toutes les sections d'un tuyau cylindrique. Nous pourrons admettre, comme l'hypothèse la plus simple, qu'il en est de même pour celles de chacun des filets rectilignes élémentaires, dont elle est la résultante. Si donc on applique à l'un de ces derniers, sur une longueur arbitraire, le théorème de BernouUi, la variation de la hauteur due à sa vitesse sera nulle. Il en sera, par suite, de même du second membre de l'équation, lequel comprend la charge diminuée de la perte de

charge (éq.i I). La perte de charge se trouve ainsi égale à la charge. En d'autres termes, toute la charge est perdue pour un segment quelconque de chacun des filets élémentaires.

Ou est dans Tusage de désigner par J la perte de charge sur Funité de longueur. Elle a pour valeur (èq. 12) :

j = i ri*.

R peut sortir du signe d'intégration, puisque tous les éléments dont il dépend restent les mêmes le long du filet (éq. 37). La pression seule varie, mais la résistance en est indépendante (n"" 71). Il vient donc :

On peut également écrire, en multipliant les deux termes de la fraction par une longueur quelconque / :

(4ro j =

ryw/

d*où cet énoncé : la perte de charge par unité de longueur, pour un filet élémentaire, est le rapport de la résistance qui se développe sur un tronçon quelconque au poids de ce tronçon.

Toutes les trajectoires étant des droites normales à une section quelconque, les pressions suivent rigoureusement, dans cette section, le régime hydrostatique (n® 23). Il n'existe donc, pour toute son étendue, qu'un seul niveau piézométrique. Il s'ensuit encore que tous les filets ont des lignes piézométriques identiques. Dès lors, puisque rien ne distingue, dans cette ligne, les divers filets auxquels elle se rapporte, on peut aussi bien, en ajoutant par la pensée terme à terme toutes les fractions égales à la précédente (43), exprimer la perte de charge au moyen du quotient de la résistance totale développée sur Vensemble du liquide qui remplit un seg-

i<20 HYDRAULIQUE.

ment quelconque du tuyau luUmême^ divisé par le poids de ce liquide (*).

Dès lors R prend, dans la formule (42), l'expression (37), et il vient :

ou encore, d'après la relation (36) :

Le facteur - , par lequel il faut multiplier le périmètre pour

obtenir Taire de la section, a reçu de du Buat le nom de rayon moyen.

75 — Rien jusqu'ici, dans ces considérations, n'implique pour cette section une forme spéciale. En réalité, elle est ordinairement circulaire. Cependant on emploie aussi, pour Taérage des mines, des tuyaux qui portent le nom de canarsy et dont quelques-uns sont elliptiques, quand on veut les loger plus commodément dans le cintre des galeries, ou rectangulaires, lorsqu'on les construit en planches. Rien n'empêcherait, si la chose en valait la peine, de développer, d'après de telles hypothèses, les calculs qui vont suivre ; mais il suffira évidemment, pour les besoins de la pratique, de considérer ici le cylindre de révolution.

Si nous appelons D son diamètre, il viendra :

;r = jrll, û == 7? — .

(*) L'éqiiation du mouTement uniforme de Teau dans un tuyau a été posée pour la première fois en 1886 par Du Buat, colonel du génie, dans ses Principe$ dhydrautique. Elle a été l'objet d'une discussion très attentive de la part de U. le colonel d'artillerie Boileau, qui étudie le mécanisme intime de ce phénomène à la page 26 de ses fiotUna twuvelUê d'hfdraulique.

TUYAUX. m

et, par suite :

équation que Ton met ordinairement sous la forme suivante :

76 — Le caractère commun de toutes les formes empiriques dont la fonction <f(u) reste susceptible, est d'élre croissante avec la vitesse. La plus simple de toutes (39) varie comme le carré de u. D'après

cela, 9 (^,) décroîtra comme la quatrième puissance de D. L'équation (45) montre par conséquent que la perte de charge par unité de longueur varie en raison inverse de la cinquième puissance du diamètre. Si, par exemple, on diminue de moitié ce dernier, on rend la perte 32 fois plus rapide. En le réduisant au tiers, on aurait une déperdition 243 fois plus active, etc.

Cette remarque met bien en évidence l'extraordinaire efficacité de rétranglement d'une veine liquide, lorsqu'il s'agit de détruire la force vive ('). L'un des freins les plus puissants que l'on puisse employer dans les machines consiste, en elTet, en un simple robinet, à l'aide duquel on lamine à volonté le passage d'un courant (*).

7*7 — L'équation (45) résout le problème de la conduite simple, dans lequel on demande de faire connaître le diamètre D qu'il est

(') Ce principe est employé notamment dans la lampe modérateur. L'huile s'élève jusqu'à la mèche en raison de la pi*ession d'un piston comprimé par un ressort. Il s'ensuit «lue, Ters la fin du fonctionnement, l'action motrice s'affaiblit par la détente du ressort, en même temps que la hauteur de j'élévation devient plus grande par la diminution du liquide inférieur. De là une double cause d'irrégularité. Pour y obvier, on fait monter l'huile à travers un tube qui est encombré partiellement par une tige fixée au piston, et descendant avec lui. L'abaissement de ce dernier dégage donc le passage sur une certaine étendue, et diminue les résistances, en même temps que décroît la puisuDce, ce qui tend & rétabUr leur égalité.

(*] On se sert, pour arrêter le recul des bouches à feu, d'un piston qui refoule une masse de glycérine à travers des trous de faible diamètre (Laurent. Des presses hydrauliqnes. Revue dartilUrie^ décembre 1883).

12i hydrailique.

nécessaire de donner à un tuyau ^ afin qu'il débite par seconde un volume donné Q. Il sufiit, pour cela, d'évaluer la quantité J.

Si le bief de départ et celui d'arrivée sont tous les deux à la pression atmosphérique, on divisera leur dénivellation par la distance qui sépare ces deux points, et le quotient exprimera la perte de charge par unité de longueur.

Si les deux extrémités se trouvaient soumises à des pressions différentes, comme lorsqu'on demande de fournir, au point d'arrivée. Veau en charge^ afin qu'elle puisse monter à des étages stfpérieurs. alimenter des jets d'eau, ou faire fonctionner des moteurs à piston, c'est la différence des niveaux piézométriques, et non plus celle des altitudes elles-mêmes, que l'on divisera par la longueur du tuyau.

Si enfin le parcours doit présenter des points singuliers d'une nature définie, on évaluera, pour chacun d eux, la perte de charge spéciale à laquelle il donne lieu, on retranchera cet ensemble de la charge disponible, et c'est l'excédent qui formera le numérateur de la fraction. Énumérons donc successivement les principaux types de ces pertes de charge accidentelles.

78 — Lorsque l'embouchure du tuyau n'est pas parfaitement évasée, et que celui-ci s'implante normalement dans la paroi du bief de retenue, il s'y produit les mêmes phénomènes que dans un ajutage cylindrique. De là une perte de charge égale à la moitié de la charge utilisée (n** 64) :

Si la conduite, au lieu de déboucher dans l'air, de manière à déverser l'eau en cascade, aboutit au sein d'un bief stagnant, la vitesse est intégralement perdue, et donne lieu, d'après le théorème de Bélanger (n"" 61), à la perte de charge :

Quand le tuyau présente divers changements de section en des points intermédiaires, des diaphragmes, des robinets, il se produit, pour chacun de ces obstacles, une perte de charge que nous avons appris à évaluer (n" 67), et qui forme un multiple

connu de s-.

Si la conduite présente, au lieu de la forme rectiligne, ou du moins d'inflexions 1res adoucies, des coudes brusques (fig. 43), le fdet interne, au lieu de suivre cette couriiure trop raide, l'abandonne en raison de son inertie, et ne rejoint la paroi qu'un peu plus loin. Dans l'intervalle, s'établit un remous destructeur de la force vive (').

De là une perte de charge, dont ta loi a été exprimée empiriquement par Navier, sous la forme :

\ r / r ig

en désignant par L la longueur du coude, et par r son rayon de courbure. Du Buat avait déjà proposé, à cet égard, une formule qui revient à la suivante :

. __ «,1208 tsin'. ~.

quand on prend pour données l'angle e sous lequel le filet moyen de la travée rectiligne d'amont irait rencontrer, par son prolongement, la surface courbe, et le nombre de fois k que ia déviation totale renferme cet angle e. M. de Saint-Venant a substitué à cette expression compliquée la suivante :

(') BocHit partit £tre le premipr qui eil élucidé celle inOueiice des coudes (TraîU fltmentairt f hydrod^ntmiqut, 1775).

124 IIYDRAULIQrK.

dans laquelle D désigne le diamètre du tuyau ('). Rankine a déduit (*) des expériences de Weissbach la formule :

(0,9457 sin' I -+- 2,0470 sin* ^\ |^ ,

en appelant 6 l'angle que forment les deux tangentes extrêmes d*un coude brusque. Pour un coude arrondi, il introduit l'influence du diamètre D de la conduite sous la forme :

H-'-«"(^)']èë-

M. de Caligny a reconnu f ) l'influence particulière qu'exerce la longueur de la partie du tuyau située en aval d'un coude, lorsque cet élément descend au-dessous de certaines limites. On voit que toutes les expressions qui précèdent renferment en

facteur ^ . Nous pouvons donc désigner l'ensemble de ces pertes

tt'

de charge accidentelles par a ^, au moyen d'un coefficient a qui

sera connu dans chaque cas. Si donc / continue à représenter la longueur totale de la conduite, et j le rapport à cette quantité de la différence des niveaux piézométriques des extrémités, il viendra:

~ ^ gnHîi' ■

(') Boussinesq {Mémotreê prétenlét à r Académie det Sciences par diver» tavantt, XXIII, 596).

(*) A Manual of applied Uechanict.

('} De Caligny. Recherche* thioriqueê el expérimentale* mer le* otcillation* de teau et le* machine* hydraulique* à colonne* oeeUlante*, t. I, p. 116 et 130 ; t. n, p. 533

L'équation (45) devient par là :

Mais elle prend diverses formes suivant le choix de la fonction <p. Il convient de les passer en revue.

7» — Avec la formule de De Prony (38), le second membre contient D' au dénominateur. Si Ton rend Téquation entière, et que l'on ramène tous ses termes dans le premier membre, elle sera du cinquième degré (*) avec une seule variation de signe. Elle admet donc, d'après le théorème de Descartes, une racine positive unique, qui résoudra sans ambiguïté la question proposée. Elle s'obtiendra au moyen des méthodes approximatives instituées pour la résolution des équations numériques. Pour en faciliter l'application dans ce cas spécial, on a construit des tables numériques d'après différents dispositifs (*).

Si l'on emploie les formules de Darcy (41), les coefficients a et 6 du calcul précédent deviennent, dans l'équation du cinquième degré :

On a donc à chasser de nouveau le dénominateur D*, et la relation devient du septième degré. Elle ne présente encore qu'une seule variation, et donne lieu aux mêmes observations.

(*] Rankine a dresse {Manuel de la machine à vapeur et des autres moteurs, Iraducliao de G. Richard, p. i65) une table semblable qui présente, pour les 100 premiers Dombres, la Talcur du caiTé et de la cinquième puissance. M. CoUignon donne également (CawTi de mécanique appliquée, U, 551), une table qui fournit les inverses de« cinquièmes puissances.

('} De pareilles tables ont été insérées par Mary dans son Cours de navigation intérieure à VÉcole des Ponts et chaussées; par Dupuit, dans son Traité de la conduite et de la distritnition des eaux; par Bresse, dans son Traité de mécanique appliquée, t. U; par Foumeyron, dans les Comptes rendus de V Académie des sciences de 1843 ; par H. GollignoD, dans son Traité de mécanique appliquée aux constructions, t. H, p. 589 à 594 ; par M. Vigreux ( Théorie et pratique de Vart de V ingénieur, du constructeur de machûuë et de V entrepreneur de travaux publics, série U, p. 42).

Quant à la formule monôme (39), elle peut être considérée comme un cas particulier de l'expression (40) due à M. de Saint-Venant, pour laquelle les opérations seront conduites de la manière suivante.

80 — L'équation générale (46) devient alors :

\^ gnHffi "" Ud»/ ' U qnHb') ~ 7r« D«*'

l)în+l