AQ' \Thî

expression calculable par logarithmes, car elle présente la forme monôme. On a d'ailleurs évidemment, pour la racine rigoureuse D :

On substitue alors cette valeur D,, à la place de l'inconnue, dans le terme négatif que l'on rétablit au dénominateur, et l'on écrit :

Gomme D^ est trop petit, il esl clair que Ton aura :

Pour une nouvelle approximation, Ton remplace encore, dans le terme négatif, l'inconnue par D,, en posant :

SfirVD/

ce qui donne à la fois :

Di < Ds < D,

et ainsi de suite. Les diverses valeurs ainsi trouvées s'échelonnent successivement comme le montre la figure 44, si on les représente

Pig. 44.

par des longueurs comptées sur une ligne droite à partir d'une origine 0. Elles convergent progressivement vers un point dont on appréciera par le sentiment la situation-limite, et qui fournira la valeur définitive de Tinconnue D.

Dans le cas spécial de l'absence de pertes de charge accidentelles, on a a = 0> et D, (47) devient la valeur exacte. Si Ton effectue les opérations numériques, elle prend la forme :

SI

• SI

Pour faciliter l'application du calcul logarithmique» M. de Saint'

m HYDRAULIQUE.

Venant a dressé des tables (') qui fournissent directement les valeurs des quantités :

• SI

COIVDIJITES WABIABIiES

81 — Conduites à section variable. — Imaginons que le centre d'une sphère décrive une courbe donnée, en même temps que son diamètre D varie d'après une fonction connue de l'arc s parcouru. Cette sphère enveloppera une sur face-canal y dont la caractéristique sera un grand cercle, tracé dans un plan normal à la courbe directrice à l'aide du diamètre en question, que nous appellerons le diamètre du canal.

Nous supposerons qu'un tel tuyau serve à l'écoulement permanent, mais non uniforme, d'un liquide. Toutefois nous nous imposerons la condition que les variations du rayon soient assez lentes pour que, sur un tronyon quelconque, celles qui en résultent pour la demi-force vive soient négligeables vis-à-vis du travail absorbé par les résistances. S'il arrive toutefois que ce programme, tout en restant convenablement observé pour l'ensemble du profil, se trouve en défaut sur quelque point particulier, nous nous contenterons alors de reléguer la variation de force vive correspondante au rang des pertes de charge accidentelles (n** 78).

Dans ces conditions, on pourra appliquer, à titre approximatifs la théorie précédente, qui est uniquement basée sur ce que le changement de force vive reste rigoureusement nul. Elle nous conduira donc à l'équation (45), dans laquelle seulement nous devrons dorénavant considérer D comme une variable, dépendant de s d'une manière connue a priori. Kous nous contenterons, à cet égard, de déve-

[^) Annales des mines, 4* série, t. XX, p. o54el 550.

lopper les calculs pour Thypothèse de M. de Saint-Venant (éq. 40). qui transforme ainsi cette équation :

Elle nous fournira la variation corrélative de la dénivellation piézométrique avec D, et par suite avec s. Désignons, à cet effet, par H la charge comprise entre une origine fixe et un point quelconque. Il viendra, avec cette notation :

et, par conséquent, pour un tronçon de longueur l :

— Considérons, par exemple, un tuyau tronc-conique divergent. Si Dj et Dj représentent ses diamètres extrêmes, on aura, à la distance s du premier :

On tire de là :

1) == Do -h (I), - Do) y .

,D = ii:=:i^^.,

et, en substituant :

4»+* AU*/ r^*

c'est-à-dire, en eflectuant :

H = ^"^AQ*/ / 1 l^\

2i.»-{D.-D,) Uo'" W\/'

130 UïDRÂULIQUE.

— On appelle conduites équivalentes celles qui débitent le même volume sous la même charge H. L'équation (48) fournit, à leur égard, le théorème suivant : Deux conduites sont équivalentes

lorsqu'elles admettent la même valeur pour Vintégrale :

ds

Nous distinguerons, en particulier, dans un groupe de conduites équivalentes entre elles, le tuyau cylindrique, comme le plus simple de tous. Si A désigne son diamètre, l'intégrale devra avoir, pour tous les autres, la valeur :

On peut appeler A le diamètre moyen du groupe. Ce tuyau moyen donne lieu aux théorèmes suivants.

— Un tuyau cylindrique unique est toujours plus économique qu'une succession équivalente de tronçons cylindriques (*).

11 suffit évidemment, pour établir cette proposition dans toute sa généralité, de la démontrer dans le cas de deux tronçons seulement. En effet, après avoir substitué à cet ensemble son tuyau moyen par raison d'économie, qn groupera de la môme manière celui-ci avec le troisième tronçon, et, de proche en proche, on arrivera à substituer, comme plus économique, un cylindre unique au système proposé.

Or on a, pour exprimer l'équivalence des divers systèmes formés de deux tronçons, de longueurs déterminées l\ f, et de diamètres arbitraires D', D", la condition :

(^) Il est d abord évident, quant au fonctionnement, que ce dernier type donnerait lieu à une série de peintes de charge accidentelles [n** 61). Malt) tel n*cst pas le point de vue auquel nous nous plaçons dans ce théorème^ qui ne couticrne que les fixais d6 premier établissement.

laquelle donne, par sa différentiation :

D'autre part, nous avons vu (n° 73) que la dépense de premier établissement peut être considérée comme proportionnelle à la surface métallique, c'est-à-dire, sauf le facteur t:, à l'expression :

Pour rendre cette fonction minima, nous annulerons sa différent tielle :

Si maintenant nous éliminons dJy et db" entre ces deux relations, il vient :

ce qu'il fallait démontrer.

85 — Un tuyau cylindrique unique est toujours plus économique qu'un faiêceau équivalent de tuyaux cylindriques de même longueur (*).

U suffira, comme dans le cas précédent, d*effectuer la démonstration pour le cas de deux conduites seulement. Or, l'équation (47)

»«-pi montre que le débit Q est proportionnel à D « ' que nous représenterons, pour abréger, par HT. L'équivalence de la conduite unique au système des deux autres s'exprime donc par la condition :

I-es frais d*établissement étant d'ailleurs proportionnels respecti-

(') Ce qui n'empêche pas, en pratique, pour des conduites très importantes, de répartir oMiotiretnent Técoulement sur deux tuyaux distincts, afln de pai*er aux ataries et de faciliter les réparations.

HYDRAULIQUE, it à D' + D" et à D, leur rapport aura pour valeur :

ssance m""*" sera, d'après la dernière équation :

us simplement :

s représentons par x le rapport ^. Or cette fraction est infé-

à l'unité, car le numérateur est moindiv que le dénomina- Hn efTet, leur différence :

{ + 3* — [\+xy

lie d'une part avec x, puisque m est un exposant jwsitif, et re sa dérivée :

évidemment négative, cette différence est décroissante ('}.

— Conduites à débit variable. — Jusqu'ici la dépense U a [tposée invariable; mais il existe des conduites débitant en pour lesquelles cet élément essentiel est, au contraire, succes- !nt décroissant. II devient alors nécessaire, dans l'intégration

puit eslime qu'en représentant par l'anité la dépense due à réiablisseoiepi l>au unique, elle devJHidra : 1,52; 1.03; S,^; .... pour distribuer le même d'eau i l'aide de 3,3,4. .... caoduiles (Traili de la conduite et de ta ditlri-

'fttaux, p. 71).

de réquation (48), de faire rentrer Q sous le signe sommes dont on n'aurait pins le droit de le faire sortir. On obtient ainsi cette formule plus générale :

Il doit d'ailleurs être entendu que Q, aussi bien que D, est exprimé directement en fonction de $.

Lorsque le tuyau est simplement cylindrique, cetie relation prend la forme :

87 — Supposons, à titre d'exemple, que la déperdition soit uniformément répartie sur une longueur /, à l'extrémité de laquelle il ne parvient plus rien. Cette condition s'exprimera par la formule :

si Q^ désigne le débit qui subsiste encore à un mètre de l'extrémité, ou bienQ,/ celui qui entre dans la conduite. L'équation précédente devient par lîi :

4"**AQ,» ro

c'est-à-dire :

Telle est la charge qui sera capable de pousser, dans cette conduite perméable, le débit Q,/ par unité de temps.

88 — Cherchons encore, afin de mettre en évidence les effets de l'influence en question, la charge H' qui serait nécessaire pour faire parvenir, avec le même diamètre D, la même dépense Q^l à Textré-

mité d'un tuyau étanche d'égale longueur. L'équation (47) nous donne à cet égard :

~ ttN ~ ,/H'\ ~ ^H'

En comparant cette valeur de H' à celle de H qui est fournie par la relation (49), il vient :

H' = (n-hi)H,

ou, en rendant à n sa valeur -=- (n® 72) :

ir= (-^)h = 2J14H, H= (:î^) H' =0,368 H'.

Cherchons inversement le diamètre D' qu'il faudrait donner au tuyau étanche, pour porter ce débit à son extrémité sous la même charge H. L'équation sera alors (47) :

c'est-à-dire (49) :

D' = (w-hl)^D, ou enfin :

89 — Branchements, — Lorsqu'une conduite maîtresse doit alimenter des dérivations à la fois sur la droite et sur la gauche, il y a lieu de se demander comment il conviendra de la tracer, et de couper en tronçons T, T une transversale de longueur déterminée /'-f- /", en vue de réduire au minimum la dépense de premier établissement pour l'ensemble de ces deux tronçons (*).

Remarquons, à cet effet, que l'équation (47), si l'on y remplace j

par r, devient, en désignant par a une constante numérique :

(50) D = aQ*'^* /•"+• H

Les débits Q' et Q" qu'il s'agit de dériver dans les deux branchements sont assignés à l'avance. Nous admettrons en outre que les charges H', H", consacrées à y produire le mouvement, ne sont pas influencées par la variation du point d'insertion (*). On peut alors écrire, en représentant par ^ une constante qui prendra, pour chacun des deux tronçons, des valeurs p', ^" déterminées, mais distinctes :

tn+i

La dépense d'établissement d'une conduite étant proportionnelle à sa surface, c'est-à-dire à /D, on aura à rendre minima l'expression :

Nous annulerons donc sa différentielle :

(*) Dapnit. Traité de la conduite et de la distribution des eaux^ p. 208.

(*) Dans le cas contraire, elles deviendraient des fonctions de V et l'^y qu'il faudrait connaitre pour que le problème fût déterminé. L'on aurait alors & exécuter, à l'aide de ces Yaleurs, un calcul analogue à celui que nous effectuons ici pour le cas le plus simple.

156 HYDRiDLIQUE.

Comme du reste /' -+- V est constant, on a en même temps

dV -^ dl" = 0,

ce qui réduit la relation précédente à :

c'est-à-dire :

On obtiendra donc le maximum d'économie en dirigeant la conduite maîtresse de manière que les deux tronçons qu'elle sépare de part et d'autre puissent effectuei^ leur service avec un même diamètre.

90 — La formule (50) permet encore d'énoncer le principe suivant : Le prix du transport du mètre cube d'eau à une distance donnée et sous une charge donnée est d'autant moins élevé que Von opère sur des débits plus considérables.

Elle fournit, en effet, pour les frais d'établissement /D rapportés à lunité de volume, c'est-à-dire divisés par le débit Q :

in+i 1 »i+i

expression qui varie en raison inverse de la puissance ^ j ou

Tq- du débit Q.

Si, par exemple, au lieu d'un débit donné. Ton n'en conduisait plus à destination que la moitié, le déboursé par mètre cube se

trouverait majoré dans le rapport 2^* ou 1,528, c'est-à-dire de plus de moitié.

TBÉOKIE DES PROJETS DE OISTRIBUTIOM D'EAIJ

M — Problème direct. — Le problème de la conduite simple, que nous avons envisagé ci-dessus (g 2), constitue le cas le plus élémentaire de la question des distributions d'eau dans les villes, laquelle se posera, suivant les circonstances, d'une manière plus ou moins complexe. Le plan topographique, formé d'une projection horizontale avec cotes d'altitude, présentera à cet égard p points ou carrefours, dont chacun se trouvera réuni par des conduites à un certain nombre d'autres, de manière que l'ensemble renferme un total de q tuyaux. Les nombres petq sont d'ailleurs sans aucune relation nécessaire l'un avec l'autre. On peut alors se proposer deux questions principales, que nous appellerons problème direct et problême inverse (*).

Le problème direct suppose une distribution déjà établie, en réalité ou sur le papier. Les longueurs Z*,». et les diamètres D» ^i des tuyaux sont connus, ainsi que les altitudes h^ de leurs extrémités respectives, c'est-à-dire des différents carrefours :

M|, N], M>« .... y*k9 Mp.

Il s'agît alors de déterminer d'une part les p hauteurs piézométriques i/a, que l'on verrait au besoin se manifester dans des tubes manométriques, ou regards, si Ton en établissait au-dessus de ces points, et, en outre, les q débits Q*,**, ou les q vitesses w»,», qui prendront naissance dans ces conduites. Ces deux dernières sortes d'inconnues rentrent l'une dans l'autre, d'après les équations (36) que l'on écrirait pour chaque tuyau, puisque les diamètres sont connus. Nous écarterons donc dorénavant la considération des vitesses w, pour ne nous attacher ici qu'aux dépenses Q. Nous aurons ainsi, en définitive, à déterminer p -h q inconnues y et Q.

(■) NouB reprenons, pour fixer les idées, le cas des conduites cylindriques et étanches.

xi cet effet, nous disposons d'abord de p conditions, obtenues en écrivant que la somme des débits des divers tuyaux aboutissant à chacun des centres est la même pour l'ensemble de ceux qui y amènent Teau, et pour le groupe de ceux qui la reçoivent après son passage en ce carrefour. Ce sont des relations du premier degré et sans coefficients, c'est-à-dire aussi simples que possible, ne ren^ fermant que les q inconnues Q.

A ce premier système nous en adjoindrons un autre de q relations, en posant, pour chacun des q tuyaux, Téquation fondamentale de la conduite simple (46). Ces égalités renfermeront encore les q inconnues Q, et, en outre, les p inconnues y, qui figureront dans les q pertes de charge j par unité de longueur:

Jh,k' = -

Ces dernières formules seront du premier degré par rapport aux inconnues t/, mais de degrés supérieurs, ou même fractionnaires, pour les débits Q.

Ayant ainsi p-hq relations entre les p -i- g inconnues de la question, il ne restera plus qu'à effectuer l'élimination de ce système bien déterminé d'équations. On y procédera au moyen d'approximations successives, dont la méthode suivie pour le problème de la conduite simple (n^ 80) peut donner une idée d'après le cas le plus élémentaire, et dont nous présenterons plus loin un exemple (n°95).

Mais, en supposant le résultat obtenu, il sera encore nécessaire de le soumettre à un contrôle. En elfet, nous avons posé le premier groupe de p formules d'une manière qui est, au fond, arbitraire ; car rien ne fait connaître a priori dans quel sens coulera l'eau à l'intérieur de chaque tuyau. Les différences d'altitude des deux carrefours qu'il met en rapport sont insuffisantes pour nous renseigner à cet égard, attendu que l'on voit très souvent des conduites mon^ tantes. Ce sont les différences de niveaux piézométriques qui déterminent seules ces directions. Mais les hauteurs piézométriques y sont précisément au nombre des inconnues. Il sera donc indispensable de vérifier a posteriori si les valeurs trouvées pour ces dernières

sont partout en conformité avec les hypothèses originairement adoptées comme les plus probables. Une seule discordance, à cet égard, serait la preuve que la solution analytique obtenue se trouve en dehors de la question; et Ton devrait recommencer toute Fopération, après avoir modifié les hypothèses de la manière que Ton croirait alors la plus judicieuse.

91t — Problème inverse. — La seconde question est celle des deux qui se présente le plus souvent aux ingénieurs. Elle concerne rétablissement d'une distribution d'eau. Le plan topographique est encore donné, mais les q diamètres Hnj^. sont maintenant inconnus. En revanche, les q dépenses Q^t' sont directement assignées par le cahier des charges. Le nombre des inconnues y etH est donc encore égal kp-hq.

Les q équations (46) subsisteront encore, mais elles changeront d'aspect par cette interversion de rôles entre les données et les inconnues D et Q. Quant aux p relations du premier groupe, elles s'évanouissent, car elles ne constituent plus alors que des identi' tés nécessaires et sans intérêt entre les données Q.

L'on ne possède donc plus, entre les p-\-q inconnues y et D, que q relations. Le problème reste, par suite, indéterminé; elp condi* tions quelconques pourront être introduites arbitrairement, au choix du calculateur. Cette circonstance, qui peut sembler extraordinaire au premier abord, n'a, au fond, rien qui doive surprendre. Elle se présenterait dès le problème de la conduite simple, si les niveaux piézométriques des deux extrémités n'étaient pas assignés à l'avance, comme nous l'avons supposé dans le paragraphe 2 de ce chapitre. On peut toujours, en effet, dans un tuyau d'un calibre donné, faire circuler n'importe quel débit, pourvu que l'on y consacre une charge suffisante. Or, dans le cas actuel, les hauteurs piézométriques y ne sont pas données a priori. Si, pour rentrer dans des conditions analogues à celles du paragraphe 2, nous imaginons un cas pour lequel la formule du projet assignerait directement le niveau piézométrique de chacun des p carrefours M, leurs p hauteurs piézométriques y passeront dans la catégorie des quantités données, et, les inconnues se réduisant aux q diamètres D. en

140 HYDRAUUQUE.

nombre égal à celui des équations (46) dont on dispose, le problème redeviendra déterminé.

Cette remarque nous indique Tune des voies les plus ordinaires par lesquelles l'indétermination se trouvera plus ou moins circonscrite ; en ce que quelques-uns, au moins, des niveaux piézométrîques y se trouveront désignés à l'avance.

Dans le cas contraire, on peut chercher à disposer de ces p hauteurs piézométriques y de manière à réduire au minimum le total des frais de premier établissement, c'est-à-dire (n** 75) la somme des surfaces. Cette quantité sera une fonction linéaire des q diamètres D, et, par leur intermédiaire, des p hauteurs arbitraires y. auxquelles les diamètres se trouvent reliés par les q équations (46). Or le minimum d'une fonction de p variables indépendantes s'obtient en annulant ses p dérivées partielles. Dans chacune de ces équations figureront, il est vrai, les q dérivées partielles des quantités D relatives à celle des variables y d'après laquelle se fait actuellement la différentiation. Mais on les éliminera chaque fois en différentiant par rapport à cette variable les q équations (46), ce qui fournira q relations du premier degré entre ces dérivées partielles pour les faire disparaître. On se procurera ainsi finalement p nouvelles conditions, qui achèveront de déterminer le problème.

On pourra enfin, à défaut de toutes les ressources précédentes, user librement de la faculté que l'on possède d'introduire p conditions arbitraires, pourvu qu'elles ne soient pas contradictoires, en vue de simplifier, de la manière qui paraîtra la plus utile, les q équations (46), en y supprimant les parties qui apportent analytiquement les plus grands obstacles à la marche de l'élimination.

Ajoutons, comme dernière observation, que ces longs et laborieux calculs ne devront en général être attaqués qu'après que l'on aura modifié arbitrairement le programme proposé en doublant tous les débits demandés, ou, du moins, en les majorant dans une proportion importante. Si, en effet, l'on calculait strictement les diamètres en vue des dépenses exigées, il arriverait prochainement que les incrustations déposées par les eaux calcaires, magnésiennes* ou séléniteuses rétréciraient les passages et diminueraient les débits. Il est donc nécessaire, avant tout, de faire largement la part de cette

éventualité, afin qu'en aucun cas les sections ne puissent tomber au-dessous du nécessaire. Tant qu'elles resteront surabondantes, on sera toujours maitre de régler, à l'aide de robinets, les débouchés et les débits effectifs, tandis qu'aucun moyen ne permettrait plus de rétablir ces derniers à travers des tuyaux devenus trop étroits.