EXEMPLES DE PROJETS DE DISTRIBUTION D'EAU
93 — Premier problème. — Indiquons, sur l'exemple le plus simple ('), l'application de ces principes généraux, successivement pour les deux problèmes direct et inverse.
Trois réservoirs Aj,A,,A- (fig. 45) sont donnés par leurs projec-
Fig. .45.
lions horizontales et par les altitudes h^yh^yh. de leurs niveaux. Ils sont reliés, à partir d'un point Nf , par trois conduites dont on connaît les longueurs/,,/,,/, ainsi que les diamètres DpD,,D3. On demande d'évaluer les vitesses W4,î/,,Ws et les débits Q,,0,>Q3 qui s'établiront dans ces tuyaux, ainsi que la pression p qui se développe au carrefour M. Nous désignerons cette dernière au moyen de son
{^) CoUignon. Cour» de mécanique appliquée aux conetructiotUy U, 208.
niveau piézométrique N, en introduisant l'altitude inconnue z de N au-dessus du plan de comparaison.
Nous ferons une première hypothèse en posant, conformément à la figure 45 :
Al > 2 > /'i > As- Dés lors les pertes de charge par mètre seront respectivement, pour les trois conduites :
Al — z z — Aj z — A,
~T~' ~r~' ~~îr'
et il viendra, en leur appliquant la relation (45) : (51) \ ji = ?(«tt).
— ir — -?W-
On a en outre, d'après l'équation (56) :
Qi-
jirDj'tt,,
-T- ïrDj'«,,
et enfin i
(53) QiZ=Q, -^Q,.
Tel est le système de sept équations destiné à déterminer les sept inconnues D^, D^, D., w^ m^, 1/3,2*
Le procédé le plus rapide consiste à faîrea;?nori une hypothèse
numérique sur la hauteur z-, en lui attribuant arbitrairement une valeurs'. Les équations (51) feront connaître les vitesses correspondantes ii« et ensuite les relations (52) fourniront les débits Q. Si l'on substitue alors les valeurs de ces derniers dans la condition (53), il est clair qu'elle ne se trouvera pas vérifiée, à moins d'un bien grand hasard, indiquant que l'on est tombé juste sur le véritable système de solutions. Supposons en premier lieu que l'on trouve par cette substitution :
Oi > U, -H U-,'
cela montrera que l'on a fait, dans la hauteur disponible entre A^ et Â,, trop de part à l^ et pas assez à /, et /,; en un mot, que l'on a pris pour z' une valeur trop grande. Elle serait, au contraire, trop petite, si le résultat de la substitution donnait :
Dans l'un comme dans l'autre cas, on forcera en sens contraire, de manière à obtenir, de la même manière, une valeur z" telle que z se trouve compris entre ::' et z".
A partir de ce moment, on fera de nouveaux essais, en resserrant progressivement ces limites. Quand on les jugera suffisamment rapprochées pour le degré d'exactitude que Ton poursuit, on terminera en prenant» comme valeur de 2, leur moyenne arithmétique. Il sera bon, cependant, quand on aura déjà notablement rapproché les limites, d'avoir égard, avant d'aller plus loin, aux pertes de charge accidentelles que nous avons passées sous silence dans ce qui précède, en vue de simplifier les premières approximations. On introduira donc, dans la première des relations (51),
la perte de charge 5 ~ due à l'entrée (n** 63), si celle-ci n'est pas
parfaitement évasée ; et, dans chacune des deux autres, les pertes de charge dues au changement brusque (n" 61) :
dans lesquelles on attribuera à u^y u^, u^ les valeurs provisoires auxquelles on est actuellement parvenu pour ces inconnues. C'est avec ces nouvelles relations, ainsi améliorées au point de vue de l'exactitude, mais dorénavant un peu plus compliquées, que l'on achèvera la série méthodique des tâtonnements.
Si la marche de ces essais amenait à placer le carrefour M audessous du niveau A,, contrairement à l'hypothèse initiale, qui serait alors remplacée par la suivante :
ht > K> z > h-,
on changerait, dans la seconde des équations (51), z — A, en A,— 2, et l'on remplacerait de même l'équation (53) par la suivante :
Cette question subsidiaire peut, du reste, être tranchée de suite. Si, en effet, on suppose z = A,, celles des trois relations (51) qui subsistent encore avec cette hypothèse :
donneront pour u^ et w,, et, par suite, pour Q, et Q,, des valeurs qui indiqueront si Ton a :
auquel cas :
ou si, au contraire :
ce qui entraine :
Qi > O5»
On saura donc directement si le réservoir supérieur alimente les deux autres, ou si les deux plus élevés se déversent à la fois dans le bassin inférieur.
94 — Second problème. — Résolvons maintenant, comme second exemple, le problème inverse du précédent, que soulève la même figure 45.
Il s'agit alors d'amener, du réservoir A^ aux bassins Â,,A,, des débits Q,, O3, assignés à Tavance et tels que Ton ait, bien entendu :
On demande de faire connaître les diamètres Dj,D,, D, qu'il est pour cela nécessaire de donner aux trois conduites, ainsi que les vitesses «,, w,, w, qui s'y établiront, et la pression p développée au carrefour M.
Le problème reste indéterminé, puisque l'on n'a plus entre ces sept inconnues que les six relations (51) et (52). Pour achever de le déterminer et trouver, à cet effet, une septième équation, nous nous imposerons de réduire autant que possible la dépense de premier établissement, c'est-à-dire de rendre minima l'expression :
ou, d'après les équations (52) :
Nous devons donc annuler la dérivée de celte fonction par rapport à s, ce qui donne :
Maïs les relations (51) fournissent, par leur différentiation : I. io
HVDIUIIUOIIE.
41, SI,
''"■'i?=-+-3C=+ 2^Vïit• ransforme ainsi l'équation de condition :
iules
d'autiv part, d'après
, ^,fM
' vSrW
tre équations suffiront pour déterminer z, u^, u^, u,; après
relations (S2) fourniront D,,D,,D,.
soudra ce système au moyen de tâtonnements dirigés
dans l'exemple précédent. A cet effet, on adoptera
une valeur numérique z\ et l'on évaluera, à l'aide lières égalités (55), les vitesses u^, u,, »,. On reconnaîtra i le premier membre de l'équation (54) devient supérieur ou ' au second. Dans le premier cas, u, sera trop petit, et par rop grand. On essayera dès lors une valeur moindre s', de
à comprendre s entre 3' et z", et l'on continuera ainsi lour le premier problème.
Troisième problème. — La méthode prérédente peut se
généraliser (*) et s'étendre (fig. 46) au cas de n bassins A,, A,, A,..., A,j,A,;le réservoir supérieur A, alimentant tous les autres, au moyen d'une conduite - mat iresseAfA«,etde n — 2 branchements insérés aux divers carrefours M,, M....,
Nous représenterons par U»
et Ui les vitesses qui s'établissent respectivement dans chacun des branchements ,
et dans le tronçon subséquent de la conduite-mère. Q^ et ç* désigneront les débits correspondants, D^ et d,^ les diamètres de ces tuyaux, Lit et /^ leurs longueurs, enfin z^ l'altitude des niveaux piézométriques des divers carrefours M*.
Parmi ces quantités, Q, ç, L, / sont données, tandis que U, m, D» rf, z restent inconnues. U existe d'ailleurs, entre les données, des identités nécessaires, de la forme :
An-i
Fig. 46.
qk == qk+i -h Q»+f ,
DU encore :
Quant au nombre des inconnues, il comprend : n — 2 vitesses W pour les branchements, n — 1 vitesses u pour les tronçons; n — 2 diamètres D des branchements, n—i diamètres d des tronçons ;
,*) Bresse. Sur la détermination la plus avantageuse des diamètres d'un système de conduites à plusieurs branches {Court lithographie d" hydraulique de Bélanger, p. 100):
enfin n — 2 altitudes piézométriques z des divers carrefours; c'està-dire, en tout, 5n — 8 quantités.
Nous aurons entre elles : d'un côté, pour les n — 2 branchements et les n — 1 tronçons, 2n — 5 relations de la forme (46); d'autre part, 2n — 3 fois l'équation (36); soit, en tout, 4n — 6 égalités. Il restera donc, parmi les inconnues : (5n — 8) — (4n — 6), c'est-àdire n— 2 indéterminées, lesquelles nécessiteront, si l'on entreprend de tout déterminer, n — 2 conditions nouvelles. Nous nous procurerons ces dernières en disposant des n — 2 altitudes piézométriques z relatives aux n — 2 carrefours, de manière à rendre minima la somme des frais de premier établissement, c'est-à-dire la fonction :
-Vx-^'-s/^^ +'--\/fe
Un calcul dirigé de la même manière que pour le problème précédent (n° 94), et appliqué successivement à chacun des systèmes partiels M*., A^ Mj^+i M*, fournira, à cet égard, un groupe de n — 2 équations de la forme :
On y joindra d'abord les n — 1 relations (55) relatives à chaque tronçon, sous la forme :
(58) v/Jj;,(„,)=fiiZ:iî±Li/iî±L.
dans lesquelles les valeurs extrêmes z^ = h^ et z^ = h^ représentent des données immédiates ; en second lieu , les n — 2 équations de branchements du même type :
TUYADX. 149
en troisième lieu, les n — 1 équations (36) des tronçons:
et enfin les n — 2 relations analogues des branchements :
On aura ainsi constitué le système complet de 5n — 8 équations, en nombre égal à celui des inconnues. Les deux derniers groupes feront connaître les diamètres d et D, une fois que les vitesses ti et U auront été déterminées. Occupons-nous donc de la recherche de ces dernières, au moyen du système (57), (58) et (59).
Le tâtonnement sera conduit de la manière suivante. On commencera par attribuer à z^ (z^ restant en dehoi^ comme constituant une donnée immédiate A,) une valeur arbitraire 2/. Dès lors :
réqualion (58)
fournira
Wl
pour
lî.
tt«
Wj
Ace moment, au lieu d'employer de nouveau, pour suivre la môme loi, l'équation (57), on invoquera une dernière fois la relation (58), en y faisant k = n — i, afin de profiter de ce que l'on connaît a priori 2„ = A^, et Ton en déduira t/,,^.
C'est alors que, pour terminer, on substituera les valeurs de w,>.,, Vn-if ^n-i dans les deux membres de la formule (57), en y supposant k = n — i. On aboutira ainsi à l'une ou l'autre des inégalités ;
tC.?'("n.,) < K^.f(^nJ «:U./(^-,) ■
11 restera enfin à interpréter le signe ainsi trouvé, pour savoir s'il convient de forcer ou de diminuer la valeur z,' qui a servi de point de départ, en vue d'en obtenir une nouvelle 2," plus approchée, et de la prendre pour origine d'une nouvelle série de tâtonnements.
Or, l'équation (58) montre clairement que, si z^ augmente, u^ dimique ; et la relation (59) prouve également que U, augmente. Sup* posons maintenant que, pour une certaine valeur de k^ t/j^, diminue, que Uk augmente, et que z^ s'accroisse lui-même, ensemble d'hypothèses qui vient d'être vérifié pour fc = 2 ; je dis que ce caractère subsistera encore, lorsque l'on changera & en A: + 1 , En effet, l'équation (57) montre qu'alors Uj^ diminue; la relation (58) prouve que %+^ augmente, et la formule (59) que U^^., s'accroît de son côté. Le caractère en question est donc général. Il s'ensuit que toutes les vitesses u diminuent, tandis que les vitesses U augmentent, ainsi que les pressions z. Si donc la vraie valeur inconnue de 2, est supérieure à l'arbitraire 2,', c'est-à-dire s'il y a lieu d'augmenter cette dernière pour passer à une limite opposée 2,", on voit qu'en particulier, pour k=n — 1 , w„, diminue et que U,, augmente. Quant à la quantité w^, qui est fournie, en dehors de la loi de succession normale, par l'équation (58), elle augmente visiblement avec z^^^ , tandis que 2^ = h^ reste constant. Cette vitesse du dernier tronçon, le seul qui ne soit pas suivi d'un branchement, fait donc exception à la loi des autres quantités u. Dès lors, il devient évident que, dans l'équation (57) appliquée pour k = n — 1 , le premier membre augmente, tandis que le
second diminue. Le premier était donc trop petit, et le second trop grand. Par conséquent, enfin, c'est le signe inférieur de la double inégalité à laquelle nous sommes parvenus qui conduira à augmenter 2,, en prenant z^ > 2,'. Le signe supérieur exigerait, au contraire, que Ton prît, pour la limite opposée : z^ <^z^.
Dans ce calcul, dirigé de manière à obtenir le minimum absolu de la fonction (56), il peut arriver que certaines pressions deviennent négatives, ce qui est inadmissible f). Dans ce cas, on ne laissera pas descendre la quantité correspondante 2^ jusqu'à un tel degré. On la relèvera volontairement, pour la ramener à la valeur la plus faible que Ton jugera prudemment acceptable. Il va sans dire que Ton supprimera alors, du calcul, celle des équations (57) qui aurait été. fournie par la différentiation relative à cette variable, devenue une donnée immédiate. Le nombre des équations se trouve ainsi diminué d'une unité, en même temps que celui des inconnues. Le problème reste donc déterminé, et le résultat de cette analyse n*est plus de réduire la fonction (56) à son minimum absolu, mais simplement à la plus petite des valeurs qui soient pratiquement acceptables.
(*) n sufiirait même qu'elles tombassent au-dessous de la pression atmosphérique ; car cette raréfaction aurait pour résultat de dégager les gaz dissous, en produisant une perturbation complète du régime.
