CHAPITRE I PRÉLIRRiNAIRES

«ÉNÉRJLLITÉS SUR LES RIACHINES

± — On appelle machine (*) fout appareil destiné à meltre en relation un agent moteur avec une résistance à vaincre. Ni la matière dépositaire de l'énergie motrice, ni la substance à élaborer ne constituent la machine : elles lui sont extérieures. Celle-ci en est distincte. Elle recueille le travail positif fourni par la première, et surmonte le travail négatif opposé par la seconde. Indiquons, avant d'aller plus loin, quelques exemples des unes et des autres.

Parmi les agents moteurs, on peut citer : la force volontaire

(*] Ce Cours de Machines constitue, avec celui d'Exploiiation des Mines (Dunod, 1885. 2 vol. grand in-S*). l'ensemble du Cours d'exploitation des mines et machines que j'ai llioniiear de professer à l'École Supérieure Nationale des Mines.

s HYDRAULIQUE.

de l'homme et de certains animaux, tels que le cheval, le bœuf, le mulet, Tâne, etc. ; la pesanteur agissant sur les poids des horloges (*) ou sur les chutes d'eau ; V élasticité des ressorts ou de l'air comprimé ; la chaleur qui intervient par l'intermédiaire de l'eau, de l'air, du chloroforme, etc. ; Vétectricité développée dans les phénomènes d'induction; V affinité mise en jeu par la déflagration des explosifs; Vinertie ou la force vive préalablement emmagasinée dans les cours d'eau, le vent, les marteaux de forge, etc.

Comme exemples de résistance à vaincre, j'indiquerai de même : la pesanteur^ pour les terrassements, l'extraction ou l'épuisement des mines, etc. ; les forces moléculaires dans la préparation mécanique des minerais, la forge, les ateliers de construction mécanique, la mouture des céréales, etc.; les résistances passives développées par le roulage, le traînage, la navigation; Vinertie qui intervient dans la ventilation, la filature, le tissage, etc.

2 — La machine qui est appelée à mettre en relation deux éléments aussi dissemblables, se présente, en quelque sorte, comme une fonction de deux variables indépendantes ; et une liste générale de tous ces appareils constituerait une table à double entrée.

On peut, d'après cela, distinguer, dans chacune d'elles, trois parties essentielles. La première se trouve dans un rapport étroit avec l'agent moteur que l'on entreprend d'utiliser; elle en reçoit, pour ainsi dire, l'empreinte. On l'appelle récepteur (*).

A l'autre extrémité des transmissions, un second ensemble d'organes est destiné à se modeler directement sur le type spécial d'élaboration que l'on a en vue. Il prend le nom à* opérateur (^).

Ces deux systèmes, se trouvant constitués sous l'empire de préoc-

(*) On appelle moleurt de seconde main ceux que la nature ne nous fournit pas sous leur forme immédiate, tels que les poids que Thorloger est obligé de remonter, ou les ressorts qu'il lui faut bander à l'aide de sa propre force, pour les laisser ensuite actionner le mécanisme ; l'air comprimé qu'un moteur spécial doit préalablement mettre en tension, etc.

{*) n arrive souvent que l'on confond, dans le langage ordinaire, le récepteur avec le moteur. Cette incorrection est d'ailleurs san& importance, pourvu que les idées restent précises à cet égard, et que l'on n'oublie pas que le moteur est étranger à la machine, dont le récepteur fait, au contraire, partie intégrante.

P) Ou machine-^utU.

PRËUHINAIRES. 5

cupations distinctes et entièrement indépendantes, ne sauraient, en général, s'adapter avec facilité l'un à l'autre d'une manière immédiate. Pour établir cette connexion, un intermédiaire plus ou moins développé sera ordinairement nécessaire. Seulement cet organisme ne se trouvera plus appelé à relier ensemble des objets aussi disparates que l'étaient, l'un par rapport à l'autre, l'agent moteur et la matière qui forme l'objet de l'élaboration industrielle; comme c'était le cas de la machine envisagée dans son ensemble. On n'a plus maintenant à réunir que des dispositifs présentant tous les deux un type mécanique bien caractérisé. Aussi les intermédiaires en question ne sortent-ils pas d'un cercle assez constant d'organes élémentaires. On les appelle mécanismes.

8 — Donnons encore, comme nous l'avons fait tout à l'heure, pour fixer les idées, quelques exemples de chacune de ces trois parties.

En ce qui concerne les récepteurs, je citerai : la manivelle, le cabestan, la roue à marches pour l'homme; le manège pour les chevaux ; pour les chutes d'eau : les roues hydrauliques, les turbines; pour les ressorts : l'horlogerie, la lampisterie; pour la chaleur : les machines à vapeur, à air chaud, à gaz; pour l'électricité : les électro-moteurs; pour la poudre : les fulmi-moteurs, l'artillerie; pour les cours d'eau : les roues pendantes; pour les courants aériens : les moulins à vent, les panémones, etc.

Si nous passons aux opérateurs, le champ d'études s'élargit au point de devenir, pour ainsi dire, inabordable. La question constitue alors, par son ensemble, la technologie, dont l'exposition se trouve disséminée dans l'ensemble des Cours que renferment les diverses Écoles industrielles. On peut citer, en ce qui concerne l'industrie minérale : les appareils d'extraction, les pompes d'épuisement, les perforatrices, les broyeurs, classeurs, laveurs, les ventilateurs, les marteaux, presses, laminoirs, etc.; pour la construction mécanique : les cisailles, les machines à raboter, tourner, tarauder, percer, poinçonner; pour l'agriculture : les charrues, les batteuses, sarcleuses, semeuses, faucheuses, décortiqueuses ; et, dans les ordres d'idées les plus divers : les moulins, les scieries, les fila-

tures, les métiers de tissage, les clouteries, les ascenseurs, les propulseurs, les compresseurs, les appareils frigorifiques, etc.

En ce qui concerne les mécanismes, je citerai comme exemples : les engrenages, les vis sans fin, les courroies, les excentriques, les bielles, les balanciers, les parallélogrammes, les moufles, les encliquetages, les régulateurs, les freins, etc.

4 — D'après ces divisions, l'ensemble de la mécanique appliquée se répartira en trois parties correspondantes. Mais il s'en faut de beaucoup que chacune d'elles doive devenir ici l'objet de développements d'une égale étendue.

La description des opérateurs reste spéciale à la monographie de chaque industrie en particulier. L'une des deux années que comprend, à l'École supérieure des Mines, le Cours d'exploitation et machines, est consacrée à l'exploitation souterraine, et renferme ce qui est relatif aux appareils réclamés par cet ordre de travaux. Les considérations relatives aux opérateurs ne tiendront, d'après cela, dans le Cours actuel, qu'une place très secondaire (*).

L'étude des mécanismes doit, pour être complète, embrasser trois points de vue distincts : 1^ leur théorie cinématique, dans laquelle on s'attache aux circonstances de leur fonctionnement géométrique; 2"^ leur théorie dynamique, envisagée au point de vue des résistances passives, genre d'appréciation indispensable pour permettre d'établir ces organes en vue du meilleur rendement; et, en outre, pour éviter de s'y heurter à des impossibilités physiques que la cinématique est impuissante à prévoir, telles que l'arc-boutement dû au frottement ; 3« leur théorie élastique, destinée à établir les pièces dans des conditions qui assurent leur conservation, sous les efforts qu'elles sont chargées de transmettre, tout en réalisant la meilleure économie de matière première, tant au point de vue du prix de revient que de lallègement de la machine, afin de diminuer les frottements, qui sont proportionnels aux forces mises en jeu. Les deux premières parties de cette triple exposition appartiennent à l'enseignement de la mécanique géné-

[') Par exemple, les compresseurs, les machines soufflantes, les appareils frigorifiques, les élévateurs, etc.

PRËUMINAIRES. 5

raie (*) ; la troisième formera Tune des divisions du Cours actuel, sous le nom de théorie de la résistance des matériaux.

Quant à celle des récepteurs, elle constituera la plus grande partie de notre étude. Ces appareils , si Ton écarte ceux qui ne . tiennent dans cette exposition qu'une place secondaire, peuvent se ranger en deux grandes classes : les récepteurs hydrauliques et les récepteurs thermiques. Il sera d'ailleurs nécessaire, pour que leurs théories puissent être convenablement approfondies, de faire précéder chacune d'elles de l'exposition des lois générales qui régissent ces deux ordres de phénomènes.

D'après cela, l'ensemble que nous avons à parcourir se divisera en cinq parties distinctes, sous les titres suivants :

n. — Moteurs hydrauliques.

m. — Thermodynamique.

lY. — Moteurs thermiques.

Y. — Résistance des matéruux.

PRlNCirES D'HTDROSTATlftUE

B — L'étude des forces qui agissent sur les liquides comprend deux divisions distinctes : V hydrostatique et ï hydrodynamique , suivant que l'on envisage ces corps dans l'état de repos ou de mouvement. L'exposition de l'hydrostatique fait partie du Cours de mécanique générale. Toutefois, comme nous n'aurons à lui faire qu'un très petil nombre d'emprunts, je crois utile de présenter directement ces divers résultats, de manière à pouvoir m'y reporter à l'occasion, mais sans chercher d'ailleurs en aucune façon à les relier ici en un corps de doctrine complet.

(*) Haton de la Goupilliére. Traité des mécaniêmes^ renfermant la théorie géométrique deë organes et celle des résistance* passives, 1 toL in-S*. Paris, chez Gauthier- Viilars, 1864.

On appelle pression rapportée à runilé de surface, ou, plus simplement, pression en un point d'une paroi baignée par le fluide, la limite du rapport que supporte un petit élément de . cette surface à l'étendue de sa superficie, lorsque l'on fait, par la pensée, tendre cette dernière vers zéro. La pression n'est donc pas une force, mais le quotient d'un nombre de kilogrammes, par un nombre de mètres carrés. Il faut, pour obtenir une force, multiplier une pression par une surface (*).

On envisage de même la pression en un point quelconque de rintérieur d'une masse liquide. On imagine pour cela que l'on fasse passer une cloison par ce point, et que l'on vide le compartiment situé sur l'une de ses faces, de manière à la transformer en une paroi, comme dans le cas précédent. On obtient ainsi la pression en un point et dans une certaine direction, qui est celle de la normale à cette cloison idéale. Mais cette notion de direction s'élimine immédiatement d'après le théorème suivant : La pression e$t la même dans toutes les directions autour d'un point déterminé.

Si, en effet, pour un point M (fig. 1), F et F' désignent deux directions quelconques, isolons par la pensée le liquide renfermé dans un prisme triangulaire que nous formerons de deux plans AB, AB' respectivement perpendiculaires à F et F', deux autres parallèles à celui de ces deux directions, et un cinquième BB' perpendiculaire à ces derniers, et également incliné par rapport aux deux premiers.

Appliquons à l'équilibre de ce système matériel l'équation de projections des forces extérieures sur l'arôte BB' du prisme. On y devra comprendre : 1* les forces de masse analogues à la pesanteur, qui sollicitent toutes les molécules individuellement, et dont la somme de projections sera de l'ordre du cube des

(<) Cette remai-que est d'autant plus essentielle que, par un véritable abus de langage, assez difficile du reste à éviter dans l'usage, il arrive souvent que l'on parle de la pression supportée par une paroi, là où il conviendrait de dire Veffort exercé sur ceUe enveloppe.

dimensions, si l'on fait, par la pensée, tendre ces dernières vers zéro, en laissant la figure semblable à elle-môme autour du centre d'homothétie M; 2* les forces de surface provenant des actions exercées par le liquide environnant, pour empêcher celui que Ton considère de se disperser dans Tespace. Celles-ci seront, dans les mêmes conditions, de l'ordre du carré des dimensions. Les premières formeront donc, par rapport à elles, des infiniment petits d'ordre supérieur, qui devront être négligés, conformément à la méthode infinitésimale. Il ne restera plus en présence, par conséquent, que les cinq sommes de projections relatives aux faces du prisme. Or, les trois derniers plans sont parallèles à BB^ et les forces qui leur sont normales, disparaîtront d'elles-mêmes. Les faces AB, AB' interviendront seules. Comme elles sont d'ailleurs également inclinées sur BB', ainsi, par suite, que leurs normales respectives, l'égalité des projections impliquera celle des eflbrts eux-mêmes. En divisant euHn ces derniers par les superficies correspondantes, qui sont égales entre elles, nous obtiendrons, à la limite, l'égalité des pressions par unité de surface estimées suivant les deux directions considérées.

6 — Pour un liquide pesant^ la pression reste constante dans toute retendue d'un plan horizontal.

Si, en effet, nous concevons deux points quelconques M et M' d'un pai^eil plan, nous pourrons, en tirant la droite finie MM^ qui les joint, la prendre pour axe d'un cylindre infiniment mince de section o), isoler par la pensée le liquide qu'il renferme, et appliquer à son équilibre l'équation de projections sur son axe des forces extérieures qui le sollicitent. La pesanteur et les forces exercées par le liquide environnant étant normales à celte droite, disparaîtront spontanément. Il ne restera que les efforts imprimés sur les deux bases du cylindre, dont l'égalité impliquera, en les divisant par la valeur commune o) de ces sections, celle des pressions par unité de surface en ces deux extrémités.

7 — Dans un liquide pesant^ la pression croît proportionnellement à la profondeur.

Envisageons, en effet, deux points N, N' d'une même verticale,

8 HYDRÀUUQUE.

séparés par une hauteur infiniment petite dh, en désignant par h la profondeur comptée vers le bas à partir d'un niveau fixe No- Imaginons, autour de NN', un cylindre analogue au précédent, et appliquons-lui l'équation de projections verticales. Les efforts exercés sur les parois latérales disparaîtront encore d'eux-mêmes. Celui p(ù que supporte la face supérieure figurera en vraie grandeur. La base inférieure introduira de même le terme — (p -f- dp) w. Quant au poids, qui entrera également en vraie grandeur, il aura pour valeur XS5 iù dhj en marquant par cj le poids spécifique du liquide, c'est4dire celui de l'unité de volume. Si donc, dans l'équation :

/)« H- xs(àdh — (p + dp)ùi = 0,

on supprime le facteur o), il restera :

dp = xsdhj d'où, en intégrant :

(1) P == PO + ^hy

si l'on appelle p^ la pression dans le plan de comparaison N^ dont le choix reste, bien entendu, arbitraire.

8 — Imaginons, en particulier, une masse liquide surmontée du vide absolu, et adoptons pour plan de comparaison la suriace libre de pression nulle, en désignant par U les profondeurs comptées à partir de ce niveau spécial. L'équation (1) prendra, dans ces conditions, la forme plus simple :

p = ctH.

On en déduit :

Ces quotients d'une pression par le poids spécifique jouent un

grand rôledans la mécanique des liquides. On les dif^Ue hauteurs pié2ométriques{^). On voit, en effet, qu'elles représentent la hauteur du liquide considéré qu'il faudrait établir au-dessus du point considéré, en la prolongeant théoriquement jusqu'au vide, pour déterminer, en ce point, la pression en question.

On peut toujours, d'ailleurs, lorsqu'un liquide, comme c'est le cas ordinaire, se trouve, en réalité, surmonté d'une atmosphère de . pression p^,, rentrer par la pensée dans le cas précédent, en sur-

montant le bain donné d'ime couche idéale, de hauteur—; ce qui

tu ^

devient simplement à mettre l'équation (1) sous la forme équivalente :

B — Les pressions se comptent, le plus ordinairement, en kilogrammes par mètre carré. Mais on peut aussi employer, pour leur évaluation, certaines unités intrinsèques ou pressions4ypes, dont toutes les auti^s deviennent de simples multiples, et que la formule (2) va nous permettre de définir.

Dans l'étude des phénomènes naturels ^ on emploie ordinairement, sous le nom d'atmosphère^ la tension déterminée par une colonne de 0",76 de mercure, pris à la température de la glace fondante et surmonté du vide. Elle équivaut, d'après la densité de ce métal, à une hauteur d'eau de 15,6 x 0",76 = 10",336; ou encore à une pression de 10336 kilogrammes par mètre carré.

Pour les questions qui concernent les générateurs de vapeur, la législation a fixé une unité plus simple, égale à un kilogramme par centimètre carré, ou dix tonnes par mètre carré. Elle revient à une hauteur de dix mètres d'eau, ou de 0",7352 de mercure. On l'appelle quelquefois atmosphère métrique, mais plus souvent pression d'un kilogramme ; sans s'astreindre à rappeler explicitement, dans le langage usuel, que cet effort correspond à une surface d'un centimètre carré.

Pour éviter, dans ce dernier cas, toute confusion, il faut encore

(*) nUffif, pression ; |MT/9cty, mesurer.

distinguer la pression absolue et la pression effective. La première est celle que supporterait la paroi solide, si Ton avait fait le vide derrière elle. La seconde s'exerce dans les conditions ordinaires, contre-balancée en partie par la tension de Tair qui se trouve situé sur la face opposée. Si, pour plus de simplicité, et aux termes du décret du 30 avril 1880, Ton confond cette dernière avec l'atmosphère métrique, on voit que, si n désigne en kilogrammes la pression absolue, n — 1 sera la pression effective.

C'est expressément cette dernière qui constitue le timbre légal des chaudières, et qui doit former la graduation des manomètres réglementaires; cette dernière marquant zéro, lorsque le générateur est librement ouvert. Mais, en dehors de cette question de réglementation administrative, la quantité p exprimera toujours, dans nos calculs, la pression absolue, et sera évaluée en kilogrammes par mèlre carré.

iO — L'effort total supporté par une aire plane d'un contour quelconque, et inclinée d'une manière arbitraire^ a pour valeur le produit de cette aire par la pression rapportée à l'unité de surface qui s'exerce en son centre de gravité.

Nous venons de voir, en effet, que Ton peut toujours raisonner comme si la masse liquide se trouvait, à un niveau convenable, surmontée du vide. Dans ces conditions, l'effort élémentaire supporté normalement par une aire infinitésimale étant exprimé par le produit de cette aire et de la pression, qui est alors proportionnelle à la profondeur, deviendra le moment de cette aire par rapport au plan de pression nulle. La somme de toutes les forces analogues formera donc le moment total ; et l'on sait que celui-ci est le même que si toute la masse se trouvait réunie en son centre de gravité (*).

ff — Dans un milieu de pression uniforme, la somme des projections sur un axe des efforts exercés sur les divers éléments

(^) Ou ne devra pas perdre de vue que le centre de gravité ne figure ici que pour l'évaluation de l'effort total, mais ne concerne nullement la situation du point d'application de cette résultante. Ce dernier point, appelé «w/rc dépression, est absolument différent du premier ; mais nous n'aurons pas besoin d'invoquer ici les théories qui s'y rapportent.

PRÉLIMINAIRES. il

d'une surface courbe quelconque a pour valeur le produit de celle pression par la projection de la surface sur un plan perpendiculaire à Vaxe.

En effet 9 la force imprimée sur un élément co a pour valeur pu, et se trouve dirigée suivant la normale. Sa projection sera donc jMi> cos a, si a désigne l'angle que fait avec Taxe cette normale, ou, ce qui revient au même, l'angle dièdre compris entre le plan tangent et le plan perpendiculaire à Taxe. D'ailleurs co cos a mesure, dans ces conditions, la projection de l'élément sur ce plan fixe. Enfin, quand on fait la somme des termes analogues, la pression constante se trouve en facteur commun de toutes les projections élémentaires, ce qui démontre le théorème.

\% — On remarquera en particulier que la somme des projections sur un axe des efforts exercés par la pression atmosphérique sur une surface fermée quelconque est toujours nulle.

En effet, la surface étant fermée, le cylindre projetant d'un élément quelconque la traverse nécessairement deux fois. Il projette en même temps, d'après cela, deux éléments qui supportent, suivant deux sens opposés, en projection sur l'axe, l'action du fluide intérieur. La somme des projections des forces sera donc nulle pour chacun de ces groupes individuellement, et, par suite, pour tout leur ensemble.

13 — Le travail développé par la pression atmosphérique sur une masse liquide incompressible y qui se déforme d'une manière quelconque^ est toujours identiquement nul.

Supposons, en effet, qu'une pression constante p s'exerce sur tous les éléments d'une surface quelconque S (fig. 2), qui devient S' par une modification infinitésimale. Envisageons un élément o) de la superficie, limité par un contour quelconque AB. Les molécules qui en occupent le périmètre se retrouveront, après la déformation, en A'B'. Elles y parviennent en parcourant un faisceau de trajectoires, telles que AA' et BB'. Un point quelconque M de l'intérieur de cette aire décrit de même l'arc MM'. Si l'on représente, suivant la nor-

maie MN, Tensemble (*) pw des forces que la pression ambiante exerce sur cet élément, le travail sera le produit de po) par la projection sur MN du chemin décrit MM'.

Pour projeter l'extrémité M', il nous est permis de nous servir du plan tangent en ce point ; car ce plan, n'ayant pu se dévier qu'infiniment peu de sa direction première, doit être considéré comme perpendiculaire à la normale MN. Le travail sera donc pw.MK. Or, le volume ABA'B' peut être envisagé comme un cylindre oblique de base cd et de hauteur MK. Le produit (o.MK représente, par suite, son volume. Si donc V désigne celui du corps S , dV sera l'accroissement compris entre les surfaces S, S'; et d*V en représentera l'élément ABA'B'. Il vient ainsi, en définitive, pour l'expression différentielle du travail :

Fig. 2.

d^T = pd»V,

et, en intégi'ant dans toute l'étendue de la surface S, sur laquelle la pression reste constante :

On ne saurait intégrer de nouveau sans spécifier la manière dont la pression p variera, s'il y a lieu, suivant les modifications qu'éprouve la surface terminale et les autres circonstances du phénomène. Nous ne pouvons dès lors, dans le cas général, qu'indiquer cette seconde intégration :

(') Pour évaluer la somme des travaux, nous n'avons pas besoin de prononcer le mot de résultante^ qui ne serait pas ici à sa place, puisqu'il ne s'agit pas d'une paroi solide.

Mais si la pression reste, au contraire, constante pendant la défoimation, il vient simplement :

d'où ce théorème : Le travail exercé par une pression constante sur un corps qui se dilate d'une manière quelconque est le produit de celte pression par la variation du volume.

Si donc il s'agit d'un fluide incompressible, qui change de forme sans changer de volume, on voit que le travail s'annule, conformément à l'énoncé précédent.