ÉQUATION DE CONTINUITÉ

14 — Les principes d'hydrostatique que nous venons de rappeler, nous suffiront pour passer à l'étude du mouvement des liquides. On a constitué, à cet égard, sous le nom d'hydrodynamique, une science purement rationnelle, fondée sur les mêmes bases expérimentales que le reste de la dynamique, et avec la même rigueur dans les déductions. Elle conduit à des développements analytiques très remarquables, mais dont la complication se trouve, en général, hors de proportion avec l'utilité pratique des résultats obtenus. Au contraire, la plupart des solutions indispensables à l'ingénieur restent inaccessibles par cette voie.

On a donc été amené à constituer parallèlement, sous le nom A' hydraulique, un corps de doctrine d'un caractère mixte, dans lequel, lorsque des aperçus rigoureux ne peuvent suffire pour surmonter les difficultés du problème, certaines approximations, quelques hypothèses et enfin l'expérimentation directe viennent apporter leur concours, pour permettre d'atteindre le résultat d'une manière plus ou moins satisfaisante.

16 — Les questions auxquelles donnent lieu les liquides, sont de deux sortes, et concernent, soit le monyemeni permanent, soit le

mouvement varié. Il est essentiel d'établir tout d'abord cette distinction fondamentale.

L'état instantané du milieu sera complètement connu, si Ton se trouve en mesure de déterminer, pour chaque point de coordonnées Xy j/, 2, et pour toute valeur du temps t, les trois composantes de la vitesse. Ces inconnues se présentent donc comme des fonctions de quatre variables indépendantes. Dès lors, on devra naturellement s'attendre à d'importantes simplifications pour les problèmes dans lesquels le nombre de ces variables s'abaisserait, de luimême, à trois, par la disparition du temps. La vitesse reste alors, à chaque instant, la môme en grandeur et en direction pour un même point de l'espace, tout en se modifiant quand on passe d'un point à l'autre. Les phénomènes du mouvement permanent présentent, d'après cela, une sorte de fixité qui les rend mieux saisissables pour l'esprit, et leur communique un intérêt particulier. On doit donc s'attendre à leur voir occuper, dans l'étude de l'hydraulique, une place prépondérante, sinon exclusive. Il sera, en effet, toujours sous-entendu que le mouvement considéré présente ce caractère, à moins que le contraire n'ait été explicitement spécifié.

16 — Envisageons, pour éclaircir ces considérations, une molécule M qui vient, en un temps infiniment petit d/, occuper une position Mj. Au bout d'une égale durée, elle arrivera de M^ en M,. Mais la molécule qui, pendant le premier intervalle, l'avait remplacée en M ne pourra, d'après l'hypothèse de la permanence, que reproduire ce qui aura été exécuté par la première. Elle se portera donc comme celle-ci de M en M,, en même temps que la première ira de M, en M,, et qu'une troisième molécule viendra prendre position en M. Dans un troisième laps de temps d/, le premier point matériel avancera de M, dans une nouvelle situation M5. Le second, parvenu en M,, devant reproduire en ce point les circonstances qui s'y sont déjà succédé, ne pourra que se transporter de M, en M,. Enfin le troisième, actuellement en M, ira, pour le même motif, de M en M,.

On voit, d'après cela, que chaque point matériel est suivi d'une série d'autres qui emboîtent le pas^ en quelque sorte, derrière lui, en

PRÉLIMINAIRES. i5

reproduisant rigoureusement, l'un après l'autre, les mômes circonstances. Cette file de molécules dessine par cela seul, à chaque instant, la trajectoire qui est parcourue successivement par chacune d'elles.

Une semblable file présente, par rapport à l'un quelconque N de ses points, deux segments qui s'y soudent mutuellement. Celui suivant lequel le mobile est parvenu à la position N constitue Vamont de ce point. Il est actuellement garni par l'ensemble des molécules qui sont appelées à passer successivement par N. La portion de la trajectoire vers laquelle se dirige, au contraire, la molécule N, est appelée Vaval de ce point. Elle est occupée par tous les mobiles qui sont déjà passés en N. Vécoulement d'une file de molécules a ainsi toujours lieu d'amont en aval, le long de cette trajectoire.

1^7 — Prenons maintenant une pareille file, envisagée comme

une simple ligne sans dimensions transversales, t'aisons, au point M,

une section par un plan normal à cette courbe, dans lequel nous

tracerons autour de M un contour de forme quelconque, renfermant

une aire infiniment petite w. Diverses molécules M', M", M'"...

occupent les points de ce périmètre, ainsi que ceux de son inté-

rieur. De chacune d'elles parlent, de la même manière, des files

M'M/M;M;...; M"M/'M;'M,"...; W" m,'" M^'"}i^"\..;...Ce pinceau de

files juxtaposées porte le nom de filet liquide, ou encore de veine

liquide. L'unedes files qui le constituent, par exemple celle MM^M^M,. . .

qui nous a servi de point de départ, constitue, en quelque sorte, le

profil en long de ce canal ou tube élémentaire; et si, en ses divers

points M,, M,, M,,.., l'on pratique d'autres sections normales, on

obtiendra par là ses différents profils en travers. Leurs aires w,,

fû^j o,,... pourront parfois rester égales. Mais, généralement, elles

varieront et iront en croissant ou en décroissant, de manière à

présenter, dans leur succession, certains maxima ou minima. Les

premiers portent le nom de ventres; les seconds sont les nceuds-ée

celte veine liquide.

18 — Les mêmes aperçus peuvent s'appliquer, dans certains cas, à l'écoulement qui s'effectue sur des dimensions finies, à travers

des tubes ou gaines plus ou moins importants. Toutefois, rien n'autorise ordinairement à affirmer alors que les molécules qui occupent à un même instant la section droite û, dessineront, après divers intervalles égaux à dty des surfaces û^, û,, û,, . . . précisément planes et normales au profil en long. Cet état de choses peut se présenter, à la vérité, mais à titre de cas particulier, qui ne se réalisera pas d'une manière générale.

Les cas spéciaux dans lesquels il se produira présentent, par cela seul, beaucoup d'intérêt, en raison des simplifications dont cette circonstance sera la source. On a donné à ce mode particulier d'écoulement le nom de conservation des tranches. Si, en outre, le profil en long est rectiligne, on obtient le parallélisme des tranches. Ces deux expressions sont souvent prises l'une pour l'autre, attendu que l'on raisonne ordinairement pour des sections infiniment rapprochées ; et alors leur plan ne peut se dévier dans l'espace que d'une quantité infiniment petite, négligeable vis-à-vis des angles finis qui définissent l'orientation de ce plan.

Par une vue analogue, nous pourrons dire que la conservation des tranches est toujours admissible pour un filet de dimensions transversales élémentaires. Supposons, en effet, que la section plane w se soit transformée rigoureusement, au bout d'un temps infinitésimal, en une calotte courbe w,, et menons, au point M,, le plan tangent à cette surface. On sait que tous les points de cette calotte resteront à des distances de ce plan infiniment petites du second ordre, c'est-à-dire négligeables vis-à-vis des dimensions de la section. Concluons donc en disant que le parallélisme des tranches, qui constitue pour les veines finies une exception relativement rare, est toujours admissible, au point de vue de la méthode infinitésimale, pour un filet élémentaire.

19 — Imaginons, d'après cela, un tel filet, ou une veine finie qui présente en particulier le caractère du parallélisme des tranches. Tous les points de sa section devant rejoindre en même temps le plan parallèle, avec des directions qui ne peuvent différer qu'infiniment peu, seront animés d'une même vitesse v. La section (I) engendre donc, dans un temps dt, un cylindre qui a pour volume

PRÉUHINAIRES. 17

le produit de celle aire par le chemin parcouru vdt, c'est-à-dire tùvdL

Appelons d'autre part Q le débit ou la dépense , c'est-à-dire le volume (') liquide qui .passe dans Punité de temps à travers cette section. Il franchira également toutes les autres dans les mêmes conditions. En effet, le liquide est incompressible; il n'éprouve ni dilatation ni contraction; il ne se crée, il ne s'anéantit en aucun point (*). Un jaugeage exécuté dans n'importe quelle section devra donc toujours fournir la môme valeur. Par l'introduction de cet élément fixe, le volume qui passe en un temps dt aura pour expression Qdt.

Si donc nous égalons ces deux quantités, nous obtiendrons la relation fondamentale :

On l'appelle Véqualion de continuité. Elle montre que la ^vitesse varie^ d^une section à Vautre^ en raison inverse de la surface de cette section. Elle sera donc maxima aux nœuds, et minima aux ventres que présente la veine liquide.

f) Oa distingue le débit en volume Q et le débit en poids P. Pour Tcau, ces deux constantes présentent la relation nécessaire :

P = lOOO Q,

rtr le premier nombre est rapporté an kilogramme, et le second au métré cube.

(*) Kous résenrons le cas des affluents, aussi bien que celui des parois perméables, ou des conduites débitant en route (n* 86) pour lesquelles on ferait abstraction des dérivations dans la considération de la veine principale, et enfin l'influence de l'évaporation (Boussinesq. Mémoires présentés par divers savants à V Académie des sciences^ t. XXIV, p. 57). J'ai eu également & considérer, dans certains problèmes, des surfaces mobiles pour lesquelles le débit du courant continu qui vienl les traverser dans runité de temps, varie avec leur degré d'obliquité, (llaton de la Goupillière. Théorèmes relatifs à l'actinométrie des plaques mobiles. Comptes rendus de V Académie des sciences^ t. C, p. 953 h 058.)

18 HYDRAUUQUE.