SECONDE
Mètres
PRESSION par
MÈTRE CkKKÉ
Kilogrammes
Les iomados présentent des chiffres encore supérieurs. A Syd-
exacte de reffort exercé par les vents les plus violents [Comptée rendus de t Académie des sciences i 31 mai 1887).
(*) Claudel. Formules, fables et renseignements usuels, partie pratique, p. 332. — Deiaunay. Cours élémentaire de mécanique, 1851, p. 462. — Bulletin aéronautique, décembre 1874, p. 351. — Collingwood. An Examination into the Method of determining Wind Pressures. American Society of civil Engineers, 6 avril 1881. — Stevenson. Experiments, etc. Journal of the Scottish meteorological Society, 1880. — Wolf. American Society of mechanical Engineers, 21 avril 1882. — Engineering, 23 septembre 1876; 14 janvier 1881. — Journal of Franklin ïnUitute, juillet 1882, p. 22. — Guidi. De l'action du vent sur les arcs de toiture. Atti délia H. Accademia délie scienze di Torino, t. XIX, p. 373.
ney, le 10 septembre 1876, on a observé (*), d'une manière soutenue pendant 12 minutes, une vitesse de 50 mètres, et, par rafales, celle de 68 mètres. La première produisait un effort de 500 kilogrammes, et celte dernière 485 kilogrammes par mètre carré (*).
On comprend facilement, d'après cela, l'intensité des ravages qiii sont occasionnés par de tels cataclysmes. Aussi devient -il nécessaire à'enverguer l'es toiles des moulins à vent, quand la vitesse de Tair dépasse un chiffre, même assez peu élevé. Cette opération présente évidemment le grand inconvénient de supprimer la récolte d'énergie , au moment môme où elle pourrait devenir plus fructueuse. De plus, elle n'est pas sans danger pour l'homme qui est chargé de l'exécuter. On s'est préoccupé, dans des appareils récents, de la remplacer par des manœuvres automatiques (').
On a essayé de représenter par une formule la variation de la
force du vent en fonction de sa vitesse ; mais les résultats qui ont été
mis en avant sont aussi peu concordants que possible. M. Goupil (*)
a proposé la formule :
laquelle donne des résultats très inférieurs à ceux qui sont inscrits dans le tableau précédent. La suivante (') :
(') Bulletin de V Association scientifique de France ^ iv 477, p. 180.
(') L'anémomètre enregistreur de Robinson installé au coHëge Romain a indiqué la vitesse de 2",28 comme moyenne de quinze années d'observations [Comptes rendus de r Académie des sciences^ t. LXXXHI, p. 1271).
C) Indépendamment des corps mobiles, tels que les moteurs éoliens ou les trains à Tapeur (Renversement de trains de chemin de fer par le vent. Mémoires de la Société des Ingénieurs civils^ 1868, p. 02; 1887, p. 642), l'action des courants aériens doit préoccuper pour la stabilité des édifices. H. Sliales Smith [Revue indtatrielle^ 1881, p. 168) admet, pour les projets de viaducs, un effort de 158 kilo^ammes, ce qui parait insuffisant. M. Nordling adopte le chiffre de 275 kilogrammes (Comptes rendus mensueU des séances de la Société de f Industrie minérale de Saint-Étienne^ 1887, p. 1^). La Commission du Board of Trade a inscrit l'effort maximum de 273^k,43. X. Eiffel (Mémoire* de la Société des Ingénieurs civils^ janvier 1885, p. 53) a employé, pour le projet de la tour de 300 mètres, une moyenne générale de 300 kilogrammes pour la pression, qu'il considère comme variant entre 200 et 400 kilogrammes depuis la base jusqu'au sommet.
(*) Bulletin de la Société des anciens Élèves des Écoles d'Arts et Métiers^ juillet 1885.
if] Bulletin de VAssociation française pour Vavancement des sciences. Congrès dp Grenoble, p. 101. — W. Fcrrel. American meteorological Journal, août 1887.
en approche beaucoup plus, tout en restant encore un peu audessous. La formule du Board of Trade :
qui se recommande à la vérité par sa simplicité, si on la met sous la forme :
(ly
donne, au contraire, des nombres beaucoup trop forts.
MOTELRN ÉOI.IEIV». — DESCRIPTION
357 — Moulins à vent. — Les moteurs coliens se rangent en deux catégories, suivant que leur axe de rotation est horizontal (ou du moins peu incliné), ou bien qu'il est vertical. Les premiei's portent le nom de moulins à vent ; ces derniers celui de panémorm.
Le moulin à vent (*) de l'ancien type s'installe au moyen d'une tour en charpente montée sur un pivot, autour duquel on lui ira-
(*) Smcaton. De la construction et des effets des moulins à vent. Traduction de Girard. — Goupil. Étude sur les moulins à vent. Bulletin de la Société des aneient Élh^es des Écoles d'Arts et Af^hVrx, juillet 1885. — Coulomb (Observations sur l'effet des moulins à vent et la forme de leurs ailes. Mémoires de V Académie des sciences, 1781.
— Traité des machines simples, p. 298). — Hachette. Traité des machines, p. 223.
— De Coriolis. Calcul de l'effet des machines, in-4", p. 210. — Dictionnaire dn arts et manufactures, au mot Moulin à vent. — HaUenberg. Les nouvelles roues dites moulins à vent américains, Leipsick, 1886. — VVolf. Ix Moulin à vent commf premier moteur, New- York, 1886. — Moulins k vent aux États-Unis. Mémoires de la Société des Ingéniexws civils, novembre 1884, p. 514: — Dulos. Cours de mécanique, 3« partie. — D'Alenibert. Traité de Véquitihte et du mouvement des fluides. — Rankine Manuel de .la machine à vapeur. Traduction de Richard, p. 227. — Euler. De cmstructione molai*um alatarum. Nouveaux commentaires de Saint-Pétersbourg, t. H, 1752. — Theatrum machinarum novum, Varsovie. Très ancien ouvrage. — Agostino Cavellero. Le macchine a vapore. — Appleton. Cyclopedia of mechanies, 1880. Arlick' Windmill. — Fairbairn. Mills and Millwork. — Engineering and mining journal, 7 octobre 1876. — Journal of Franklin Institute, juillet 1882. — Haton de la GoupilHère. Cours d'Exploitation des mines, t. I, p. 775.
MOTEURS ÉOUENS. S69
prime au besoin un mouvement de rotation à l'aide d'une longue barre, pour orienter le récepteur dans le vent(llg. 219). AcetelTet, des piquets sont plantés en cercle autour de la tour. Le meunier
Fig. Ï19, — Koalln k reni (coupe T«rlie«lc),
amarre à l'un d'eux un cabestan portatif, à l'aide duquel il agit pour déterminer la rotation. Souvent le secours d'un cheval est, pour cela, nécessaire. Dans d'autres cas, la tour est fixe et construite en maçonnerie. La toiture en forme de poivrière qui la surmonte
tourne seule sur son sommet» en roulant circulairement sur une couronne de galets. Les anciennes tours mobiles en charpente deviennent aujourd'hui d'un prix excessif, en raison du renchérissement des grosses pièces dont elles exigent Temploi.
Un arbre carré en bois, très court, de 0"\50 à 0",60 d'équarrissage, relie la roue extérieure avec le mécanisme situé à Tintérieur de la tour. Cet axe, ainsi qu'il a été dit plus haut (n" 3il), csl incliné de 8 à 15 degrés sur Thorizon. Il actionne, à l'aide d'une roue d'angle à lanterne, le mécanisme du moulin qui est groupe autour de l'axe vertical de la tour, et qu'il n'y a pas lieu de décrire ici. Tout cet outillage est massif, lourd, et consomme beau coup de travail pour surmonter les frottements.
A son extrémité, l'arbre porte quatre bras rectangulaires (*), d'une douzaine de mètres de longueur, et de 0'°,20 à 0",30 d'équarrissage. A deux mètres de distance de l'axe, on commence à implanter, dans le corps de ces longrines, des chevilles ou lattes de 2 mètres de longueur (1 mètre de chaque côté), en laissant entre elles un espacement de 0",40. L'angle qu'elles font avec le plan déterminé par les quatre bras de la roue est très variable. Il commence par une valeur de 30 degrés environ, pour se terminer à 6 ou 12 degrés, suivant le plus ou moins d'inclinaison de l'arbre moteur. La loi qui doit présider à cette variation, en vue de réaliser le maximum d'effet utile, est parfaitement déterminée. Sa recherche fera l'objet du paragraphe 3. Les extrémités des lattes sont assujetties ensemble par des longrines à double courbure; et, sur cet ensemble, on applique la toile, ou voile, destinée à recevoir l'impression du vent. Lorsque celui-ci devient trop fort, on serre les voiles, en les carguant le long du bras. Pour cela, on arrête la rotation à l'aide d'un frein énergique, et Ton maintient, l'une après l'autre, chacune des ailes dans une position verticale. I^ meunier y monte alors comme à une échelle. Celte manœuvre, longue et périlleuse, ne permet que difficilement de prendre des
{*) En Asie, dans les plaines de Murcie, el avec les nouveaux modèles répandus en France dont nous parlerons plus loin, on voit des moulins de 6, de 8, de i2 ailes. Parfois le récepteur affecte la forme générale d'un disque circulaire complet iyao< certains types, les ailes, au lieu de présenter grossièrement la forme d*un rectangle gauche, se rapprochent de celle d'un triangle.
ri$j pour obtenir une gradation intermédiaire suivant la force du Yent. On a reconnu, en ce qui concerne cette réglementation, que Tallure la plus favorable est celle pour laquelle le nombre de tours par minute est double de la vitesse du vent exprimée en mètres par seconde (*).
— M. Berton a cherché à éviter l'inconvénient dont il vient d'être question, en employant, au lieu de toiles, un système de laites plates, ou louvresy analogues à celles des jalousies. Un mécanisme spécial permet de les aplatir progressivement à volonté, de manière à constituer une surface complètement pleine, ou plus ou moins directement perméable, suivant le degré de violence du vent. Seulement on se voit alors forcé de renoncer, par l'emploi de la forme plane, au bénéfice que fournit , au point de vue de l'effet utile, la surface gauche indiquée par la théorie (*).
Pour éviter les longueurs et les dangers des manœuvres dans les sautes de venty on a imaginé divers moulins qui s'orientent d'euxmêmes. Je citerai d'abord, dans celte catégorie, le pantanémone de M. Sanderson f). Cet appareil qui a la forme d'une vis, est muni d'une grande girouette^ ou gouvernaily qui se place spontanément dans la direction du vent, en disposant, par cela même, le récepteur de manière à recevoir le vent debout.
Un autre type plus récent (fig. 220), du même inventeur, conserve un axe fixe, tout en fonctionnant avec presque tous les rumbs de vent, sauf pour une direction tout à fait voisine de la perpendiculaire. 11 porte, à cet effet, deux grandes palettes hémi-circulaires montées à 45 et à 135 degrés-
Le moulin de Smith (^) présente la forme des hélices propulsives de navire, que l'on dispose dans l'axe du vent (fig. 221).
(') Cetle règle concorde bien avec la valeur que npus donnerons plus loin pour a n« 509).
(*} Delaunay. Court élémentaire de mécanique^ 1851, p. 606.
{') Haton de la Goupillière. htUletin de la Société d'Encouragement pour V Industrie nationale, 2* série, t. XVIÏ, p. 492. — Journal d'agriculture pratique, 31 mai's 1870, p. 457. — Armengaud. Publication industrielle^ 2* série, t. X, p. iH, pi. il. — Happori de MM, Uumblol et Couronne au Conseil municipal de Paris^ 1878. — La Sature, 18 avril 1884.
/) Scientific American, 3 mars 1883, p. 130.
563 TUKRHODYNAMtQCE.
Cette cambrui'e est encore plus accusée dans la turbine almotphé' rique de H. A. Dumont ('), dont les spires, en forme de cmqvt (iig. 222, 223, 224), participent, par leur profil générateur, da
Fig. MO. — PinUndinone (coupe terlicile).
formes de l'épicycloïde ou de la développante de cercle, et présentent un ensemble élégant pour la décoi-ation des jardins. Le moulin l'Eclipsé de M. Corcoran (') s'oriente également de lui-
(') Itevai: indtutrieUe. S3 mai 1883, p. 200. — la Nalure, 23 féTrier I8M, p. 1S3 (') Construit par M. Heaume (De GrafTigiif. La molewi ancieai tt medma, f- S-
— James HiU. Scientific American ëupplement, iO iaitietltU, p- 7Hï. — O TkIik-
logUle, mû 1887).
HOTEUtS ËOLIENS. 565
même, mais d'une manière encore plus parfaite ; car, au lieu de se placer invariablement en face du vent, il se dispose suus l'angle le plus favorable, en raison des actions combinées qui sont exer-
Fig. Ml. — Haulîn i lent de Srailb (vue pepfpectiïe).
cées spr le moteur et sur une aile latérale; s'effaçant d'ailleurs complètement lorsque le vent soufHc en tempête, et risquerait de détruire l'appareil, si celui-ci se présentait autrement que par sa Iranche. Ce moulin porte six bras, et forme même quelquefois un disque circulaire complet, constitué par des lames obliques qui se
THERMODYNAHIQUE.
MOTEUBS ÉOLIENS.
S6S THERHODTNiUQDE.
recouvrent en projection, tout en laissant tamiser le courant d'air à travers leurs intervalles.
Le moulin à vent Halladay (*) présente douze ailes groupées en
Flg. m. — loulin i T«Dt flaltldsj (détail du mécioisme régnliteur).
couronne (fig. 225 et 226). Sur l'arbre, se trouve claveté un tourteau en fonte, dont les rayons reçoivent les bras des ailes. Celle ossature est complétée par des jambes de force. Les bras sont ea
(<) Construit par H. Scbabaver k Castres {AnnaUi inâmtrUUa, 1384, t. I, p. !08 - PorlefeuiUe écottomiqve dei machiaeë, 1B86, p. eS — Armengaud. PubUcttitmàdt' tritlU, S* série, 1. 1, p. 111. — BalUtin de ta Société da ancUnt Élèvet iti Ma d'Àrltel malien, avril I88S. — VbXtnd. Bereehnung uitd Coiulnietion der Molerai,^leiptig, ISSa, p. 135).
MOTEURS ÉOmMS. 5»7
outre contreventés par des entretoïaes, qui dessinent le périmèfre d'uo hexagone régulier.
Ua mécanisme régulateur (fig. 227) permet de réaliser des obliquités variables suivant le degré d'impétuosité du vent. Ce mode d'action est fondé sur les alternatives que subit la force centrifuge d'un contrepoids que l'on fait tourner avec le mécanisme.
Je citerai encore, comme un appareil très soigné, l'éolienne de U. BoUée, du Mans ('). En avant du récepteur proprement dit (fig. 228), se trouve un distributeur analogue à celui de la turbine Fontaine (d''190), mais disposé dans un plan vertical. Cet organe s'oriente avec la roue mobile elle-même; seulement il ne tourne pas comme elle dans son propre plan. Il est formé de contre-aubes directrices qui divisent le courant, et conduisent ses diverses branches sur les aubes du récepteur. Pour orienter ce
(<) Haton de la GoupiUiére. Revue p^g ggg Turbine éi
àet progrès récents de l'Exploitation dc« mines el de la eonatructioo des mschines i Tapeur. Annale4 det minet, 1' eérie, t. XVI, p. 101-
système, on le monte sur un chariot, dont une crémaillère circulaire permet le pivotement autour d'un axe vertical. Une petite turbine excentrée, rappelant le papillon d'anciens moteurs hollandais, est assemblée dans un plan perpendiculaire à celui de la turbine. Tant que celle-ci n'est pas orientée exactement en face du courant d'air, le papillon n'a pas son propre plan placé dans le vent. Il en subit donc Taction, et tourne sur lui-même. Or cette gyration commande un pignon denté qui engrène avec la crémaillère circulaire. Tout l'ensemble se trouve ainsi forcé de se déplacer, jusqu'à ce que l'orientation devienne précise. A ce moment, la rotation du papillon cessant d'elle-même, la roue s'arrête dans cette situation pour y effectuer son fonctionnement moteur. Ajoutons toutefois que l'efTet n'est pas tout à fait aussi simple que nous venons de le décrire. Pour se garantir contre les rafales trop brisantes, on présente le récepteur au vent, non pas constamment dans un plan perpendiculaire, mais sous un angle que l'on gradue d'après l'état du temps. Un petit pèse-vent très ingénieux permet d'obtenir ce résultat. Il est disposé de manière à effacer complètement l'appareil devant un ouragan.
859 — Je terminerai ces indications (^) en rappelant l'attention sur un moulin à vent, un peu oublié aujourd'hui, quoique bien à tort, et qui avait été établi avec un soin extrême, en 1830, par Amédée Durand ('). On a comparé, à juste titre, cet appareil à un corps organisé qui accomplit de lui-même toutes ses fonctions, tant ces dernières ont été exactement prévues par l'inventeur.
{*) On peut citer encore les moulins à vent Arastra, Aubry, Bernard, Bowlus, Cubbit d'Épinay-Prëhamont, Fustin, Hopkins, Huré, Jouanne, Lepaute, Marchand^ ^Vamer, United States Windmill Company, etc.
Uirsch. Les machines et les appareils de la mécanique générale. Rapports sur VExposition universelle de 1878, Groupe VI, Classe 54, p. 402. — Rankine. Manuel de la machine à vapeur. Traduction Ricliard, p. 234. — Annales industrielles, 1884, 1 1, p. 614. — Revue industrielle, 23 mai 1883. — Engineering news, 7 vfril 1883. — Joseph Stubbs. Doubling winding frame. Scientific American supplément, 13 août 1887. p. 9675.
(*) Amédée Durand {Nolice sur un moulin à vent self-aeting, 1836. — Description d'un moulin à vent. Bulletin de la Société d'Encouragement pour l'Industrie nationale, 1830, p. 153). — Rapport de Francœur, ibidem, 1820, p. 411. — Dictionnaire des arts et manufactures, au mot Moulin à vent.
La tour est complètement supprimée ((ig. 229 et 250), et, avec elle, la proue stagnante à laquelle elle donne naissance. L*axe devient horizontal. Toute la machine se monte sur un mât très élevé, dont le sommet peut facilement dépasser la cime des arbres. Ce montant est assujetti par des haubans en fer, amarrés à des massifs de maçonnerie qui sont noyés dans le sol. Une échelle de perroquet s'y trouve appliquée, pour permettre la visite de l'appareil. Le long du mât, se trouve également disposé Tarbre tournant, qu'une roue d'angle commande à sa partie supérieure. Le système
Fig. 229. — Moulin à vent Amédée Durand (vue d'ensemble).
reçoit le vent à l'arrière, et s'oriente seul sous son action. On n'a plus à carguer les voiles ; les ailes sont en tôle, et montées sur des vergues auxquelles un poids additionnel ramène le centre de gravité. Ces ailes s'effacent progressivement par l'action du vent, lorsque celle-ci devient excessive. Des poids, qui tournent avec la roue, développent dans ce but une force centrifuge croissante, que l'on maintient en antagonisme avec un ressort à boudin. On dispose cependant, pour les cas extrêmes, d'un frein qui se trouve installé au pied du mât.
Le moulin n'exécute jamais plus de 45 révolutions par minute. Sa masse fait volant, et régularise la rotation malgré les oscillations
570 THEHNODTNAWQDE.
du vent. Le système se graisse de lui-mâme. Un petit compteur dé* verse périodiquement une goutte d'huite sur les cous-
Isinets. On a soin d'employer à cet usage un mélange d'huiles appropriées, qui ne se congèle pas en hiver dans nos climats. L'appareil peut donc marcher seul, et ne réclame qu'une surveillance discontinue. On ajoute ainsi, à l'économie due k l'emploi d'une force graluile, celle qui résulte de la suppression du mécanicien.
S60 — Panémotiet. — Les panémones étant symétriques autour d'un axe vs'lical, se trouvent en équilibre au point de vue de la pesanteur. Ils sont en même temps toujours orientés , dans quelque aire que vienne à souffler le vent. Malheureusement les aubes se recouvrent plus ou moins les unes les autres dans la partie tangcnlielle à cette direction, et l'action motrice s'en trouve beaucoup diminuée.
Les panémones présentent, par rapport aux moulins à vent, une infériorité analogue à celle des roues à ,.,iv«iiAm*<iée Durand {ciév,ticn). aubcs sur l'iiélice propulslie
MOTEURS ËOUENS. 571
des navires. Celte dernière, complètement immergée, exerce l'action motrice par toute sa surface. Au contraire, une faible portion seulement de la couronne de la roue se trouve en rapport avec le fluide, ce qui entraîne un développement exagéré de ce propulseur.
Il est clair.que les appendices des panémones doivent, sous peine de rester en équilibre, se présenter à l'air de deux manières différentes dans les deux régions langenticlles à la direction du vent, de telle sorte qu'il résulte de cette différence d'action un moment moteur propre à déterminer la rotation.
Dans le panémone de Cornwall, de grands volets mobiles à charnières sur des cadres, à peu près comme des fenêtres sur leurs châssis, s'ouvrent d'un cdté dans le sens de la rotation, en laissant passer librement le courant. Ils se plaquent au contraire sur leur cadre, en ariivant de l'autre cdté, de manière à fermer la fenêtre pour recevoir alors l'action du vent. On a cherché è atténuer la violence très fâcheuse de ces chocs, en multipliant beaucoup le nombre des bras et celui des châssis que porte chacun d'eux.
Cette donnée élémentaire a été perfectionnée (') par MM. Lequesne et Leièvre (Qg. 231). Leur panémone incline ses ailes sous un angle de 70 degrés d'un cOté ou de l'autre de la circonférence, en les bu-
(') U Hatun, U juillet 18S0, p. 107.
573 TBGRHODYNAMIOUE.
tant contre deux arrjïts. La palette se rcpoiie de l'un à l'autre de CCS derniers, en passant par la tangente parallèle au vcnl; e1 l'action reste motrice sur une grande partie de la périphérie. Le passage s'efTectue sans choc important, car la paletle se trouve alors masquée par celle qui la suil immédiatement. Les arrôts peuvent du reste élrc ramenés vers le centre au moyen de fils gouvernés par un pèse-vent, de manière à laisser, quand le temps est démonté, toutes les palettes se placer parallèlement à l'ouragan.
Le panémone d'Andersea est fo^ mé d'aubes planes, inclinées toujours sous le même angle sur la couronne circulaire qui les porte.
De celle manière, elles se disposent d'une manière fuyante d'un cdlé de l'aie, en recevant alors, de la part du vent, une action peu sensible.
De l'autre côté, au contraire, l'air s'y engouffre en éprouvant une certaine difOculté à en ressortir. De là une pression beaucoup plus importante, dont nous avons donné ailleurs la théorie (n* 69, note 2).
Dans le panémone de Wood ('), ^ -- un régulateur à boules fait varier,
„ suivant la vitesse du veol, l'inch-
Fig. Ki. — Pauémon» de Wood.
(Tue penpeciivfl.) naisou SOUS laquelle il aborde les
aubes (fig. 252).
Dans le panémone à cuillers (lig. 233), les palettes planes sont remplacées par des hémisphères creux, qui se présentent altemati-
|i] Scientifii: Amrriean, 24 juillet 1880, p, 50.
Tement par leur convexité et par leur concavité d'un bord à l'autre de la roue, de manière à constituer une différence analogue à celle du cas précédent.
Fig. 253. — Panémone à cuillei's (coupe horizontale).
Certains panémones sont directement exposés au vent (fig. 235). Dans d'autres modèles, on dispose à Tentour un distributeur fixe
Fig. 25i. — Panémone à ailettes (coupe horiiontale).
(6g. 234), destiné à diriger le vent sur les palettes de la manière la plus avantageuse pour l'effet que Ton recherche.
861 — Formule du travail. — Pour établir la théorie des moteurs éoliensy nous appliquerons les lois de la résistance des milieux (^) au mouvement relatif (*) de l'aile par rapport au courant aérien. On sait que la force exercée sur un élément de surface courbe est proportionnelle à la fois au carré de la composante de la vitesse relative estimée suivant la normale à cet élément, et à l'aire du maître-couple , c'est-à-dire, dans le cas actuel, celle de l'élément superficiel lui-même, puisque ce maître-couple doit s'estimer en projection sur le plan perpendiculaire à la composante normale.
Fig. 235.
Prenons pour plan de la figure (fig- 235) celui qui serait mené par l'axe A du moulin perpendiculairement à l'un de ses bras B, lequel se projette dès lors en un seul point, à l'extrémité de cet axe. Une latle quelconque est parallèle à ce plan, et s'y projette en vraie grandeur en L. La surface de l'aile est donc celle d'un conoïde
(*) HatOQ de la Goupillière. Traité des mécaniêmeê renfermant la théorie géométrique des organe* et celle des réeietanceê paeeives^ 1864. Gauthier-ViUars, p. 4M.
(•) Sous réserve des différences qui existent, dans le régime des fluides, entre les lois du mouYement absolu et celles du mouvement relatif (Haton de la Goupilii^' Court d Exploitation des mines, t. H, p. 40i).
droit, qu*une génératrice décrit en restant parallèle à ce plan fixe, et s*appuyant sur sa perpendiculaire B. Le plan tangent en un point quelconque M de cette droite de striction sera déterminé par celte ligne elle-môrae et par la génératrice L. Il se trouve donc entièrement projeté sur sa trace L. Dès lors la normale est parallèle au plan de la figure, et se projette en N, perpendiculairement à L. Quant à la vitesse de rotation du point M, elle est perpendiculaire au plan qui le joint à Taxe, lequel, devant contenir MB, est perpendiculaire au tableau et entièrement projeté sur sa trace en AB. Cette vitesse sera donc parallèle au plan de la figure, et projetée en V perpendiculairement à Taxe A. L'angle 9, qui est compris entre elle et la normale N, ne diffère pas, d'après cela, de celui que forment cet axe et la latte L. C'est précisément le choix à faire pour la loi de variation de cet angle avec la distance BM comprise entre la latte et l'axe, en vue d'assurer le meilleur rendement, qui doit constituer l'objet de la recherche actuelle (').
362 — La composante normale de la vitesse u du vent, estimée suivant BN, aura pour valeur u sinç.
Quant à la vitesse linéaire de rotation, projetée sur BV, elle sera mesurée par ojr, si w représente la vitesse angulaire et r la dislance MB de l'élément à l'axe. Nous introduirons, pour simplifier le rapport p de r à la longueur totale R du bras :
La vitesse de rotation deviendra par là coRp. Quant au produit (dR, qui représente la vitesse circonférentiellc de la roue, nous l'envisagerons comme un certain multiple a de la vitesse du vent :
ftiR = au.
Dans ces conditions, la vitesse de rotation devient enfin apu, et sa composante normale apu cos 9.
;*) De Coriolls. Calcul de l'effet des machines^ in-4«, p. 210. — P. Julien. Problèmeê de mécanique^ t. I. — \V. Uankiiie. Manuel de la machine à vapeur. Traduction Ricbard, p. 229.
La vitesse relative s'obtient en construisant la résultante du parallélogramme formé sur la vitesse absolue et la vitesse d'entraînement prise en sens contraire. Sa projection sur la droite BN sera donc la somme algébrique de celles des deux composantes, c'est-àdire la différence des deux valeurs absolues que nous venons d'évaluer :
w(sin ç — ap CCS ç).
Quant au maitre-couple, il n'est autre que le rectangle infinitésimal qui a pour hauteur la distance dr, ou Rdp, des deux génératrices infiniment voisines» et pour largeur la dimension longitudinale / des lattes. Sa surface est donc IRdp.
Si nous désignons par k l'effort du vent par unité de vitesse et de surface de toile, la force normale imprimée à l'élcmcut du conoide aura pour expression :
k . liXdp . w'(sin ç — ap cos ?)'.
Son travail élémenlaire sera le produit de cette force par la projection sur sa direction du chemin parcouru apu.d- (si t désigne le temps). Pour rapporter à la seconde cette énergie motrice, il suffit de la diviser par dT, ce qui donne :
A/RM'(sin 9 — ap ces <?)V/p . apu cos 9.
Le travail total s'obtiendra donc en intégrant cette expression depuis la distance r^, à laquelle on a commencé à embrancher des lattes, jusqu'à R. Comme d'ailleurs l'intégration se fait par rapport à p, nous prendrons pour limites p^ et 1. Ce résultat, relatif aune seule aile, devra enfin être multiplié par le nombre de ces dernières, qui est ordinairement égal à 4, mais que nous désignerons d'une manière générale par n. Il vient ainsi définitivement pour l'expression du travail T recueilli par le récepteur en une seconde :
T = nkll{<xur 1 p cos 9 (sin 9 — ap cos 9)*c/p.
868 — Maximum du travail. — Pour connaître l'équation du
conoïde le plus avantageux, c'est-à-dire l'expression de 9 en fonction de p qui correspond au meilleur efTet utile, il s'agit maintenant de chercher le maximum de celte intégrale définie.
En général, ce genre de recherches dépend d'une branche spéciale de Tanalyse supérieure nommée calcul des variations. Mais lorsque, comme dans le cas actuel, l'expression renfermée sous le
signe d'intégration ne renferme aucune des dérivées -pf -r~» ...de
la fonction inconnue 0 par rapport à sa variable p, un élément quelconque de Tinlégrale définie garde une complète indépendance vis-à-vis des autres. Il suffit donc de rendre chacun d'eux maximum en son particulier. En d'autres termes, on n'a plus besoin alors d'autre secours que de celui du calcul différentiel, puisqu il ne s'agit que de rendre maxima l'expression complètement déterminée qui figure sous le signe d'intégration :
cos ç(sin ç — ap ces 9)*.
La recherche de la valeur de ç qui rendra cette quantité maximum pour une valeur déterminée de p, se fera en égalant à zéro sa dérivée, ce qui donne :
2 cos ?(sin 9 — ap cos 9) (cos 9 -I- «p sin 9) — sin 9(sin 9 — ap cos 9)* = 0.
II est permis de supprimer le facteur commun :
sin T — «P cos 9,
car en l'annulant à part, on ferait évanouir l'intégrale elle-même, ce qui correspondrait à un minimum, et non pas au maximum cherché (').
Il reste après cette simplification :
2 cos 9(cos 9 4- ap sin 9) — sin 9 (sin 9 — ap cos 9) = 0,
(*t II est facile de voir, en effet, que cette condition revient n placer chacun des ôtctnentji de l'aile dans la direction niùine de lu vitesse i*clutivc« qui n exercera |»luïi dès lors aucune action normale.
OU, 011 divisant par cos* 9 :
(44) lang* ? — 3ap tang ? — 2 = 0.
Cette équation du second degré, dont le deniier terme est négatif, a ses racines réelles et de signes contraires. La valeur négative est étrangère à la question, puisque Tangle 9 doit rester aigu, sous peine de renverser le sens de la rotation, ce qui serait sans intérêt. On a donc comme solution définitive (') :
(45) tang ? = y ap -f- i/-j «V -+-
864 — Telle est Téquation du conoide cherché. On pourrait la ramener à la forme cartésienne, en prenant pour axe des x celui de la roue, pour axe des z le bras, qui sert de ligne de striction à la surface, et pour axe des y la pei*pendiculaire au plan de ces deux droites dirigée dans le sens opposé à BV. Il viendrait pour ce changement de variables :
et Ton obtiendrait Téqualion suivante :
qui représente une surface du troisième degré facile à discuter.
Mais il sera beaucoup plus utile, sans nous engager ici dans cette voie, de conserver la relation sous la forme (45), comme étant la plus propre à faire connaître directement, pour toute distance
(') Cette formule, basée sur une théorie irréprocha!)le, semble devoir cire préfcK* â ccUc qui a été donnée dans une Dissertation on ttic Theory and Praetiee of Winàmilh (Engineering and Mining Journal^ 7 octobre 187G) et qui, avec nos notations, prendrait la forme :
tang ç = ap db y'i -f aV»
indiquant des inclinaisons beaucoup moindres. Nous verrons plu« loin (n" 569) que les observations pratiques sont bien d'accord avec la formule (45).
de l'axe, la direction dans laquelle il convient d'implanter une latte en ce point. Si l'on prolonge par la pensée le conoïde jusqu'à l'axe lui-môme, sans se préoccuper de l'enclievôtrement qui en résulterait en réalité avec les autres ailes, on aura pour la première latte idéale, en faisant p = 0 :
(46) tang*o = V^ *o = 54M4'8M88.
Quant à la première latte réelle , on lui donnera comme inclinaison :
(47) tang 9o = y «Po 4- y -j «Vo* 4-
La dernière sera, pour p = i, disposée sous l'angle :
(48) tang ?, = -| a -i- ^^ «« + 2.
365 — Maximum maximorum. — On connaîtra ainsi, pour une allure déterminée a, le conoïde de rendement maximum. Mais comme cette allure elle-même reste encore arbitraire, il se présentera autant de ces conoïdes que l'on voudra attribuer, par la pensée, de valeurs au rapport à établir entre la vitesse extrême du bras et celle du vent. On peut donc, en second lieu, se demander quelle est, parmi toutes ces hypothèses, la plus favorable à l'efficacité du moteur; en un mot, quel est, avec une valeur appropriée de a, actuellement inconnue, le conoïde de rendement maximum maximorum.
Pour cflectuer ce calcul, nous devons, au préalable, faire rentrer sous le signe d'intégration le facteur a, qui a maintenant cessé de désigner une constante déterminée. On écrira donc :
T = nklRtâ I oip cos (p(sin 9 — «p cos 9)V/p.
Mais les conditions sont actuellement profondément modifiées. Dans l'analyse précédente, 9 et p restaient absolument indépendants; et la formule faisait connaître le travail recueilli par n'importe quel
conoïde. Actuellement, il demeure expressément entendu que ç a clé, par la pensée, remplacé en fonction de p d'après l'expression (45) , qui fait de cette quantité une fonction complètement déterminée de a en môme temps que de p. I/intégrale est, à ce titre, une fonction connue de a, et c'est la valeur de ce paramèti'e, capable de la rendre maximum, que nous avons en ce moment à ^Jiercher.
866 — A cet effet représentons, pour abréger, par II la quantité subordonnée :
H =^ «P CCS ? (sin 9 — ap cos 9)*.
On pourra, de cette manière, écrire plus simplement :
T = nklRu^
Il faudra, pour le maximum de T, satisfaire h la relation :
ou, en différenciant sous le signe d'intégration, puisque les limites de l'intégrale définie sont numériques et fixes :
Or la différentielle -1— de la fonction II après substitution de ç
on fonction de p d'après l'équation (45) peut, d'après la règle de la différentiation des fonctions implicites (*), être remplacée par :
Mais la valeur de f (45), qui a été substituée pour former l'expres-
(*) En employant, suivant rnsajro, la raractôrlMiqnc ? ponr désifrnor les diflërenticnes part tel len
MOTEORS ÉOLIENS. 581
sion H à dîfféi'cncîor, provient précisément de l'équation différenlielle partielle (*) :
La relation actuoUo se réduit donc simplement à :
367 — On a d'après cela, par la différenciation de II relative à a, effectuée en traitant ç comme une constante :
'Ml
-^— = p ces ç (sin 9 — ap cos 9) (sin 9 — 5ap ces 9).
Mais Téquation (14) qui définit 9 peut s'écrire de la manière
suivante :
2 cos» 9 sni 9 — oap cos 9 = — ; •
SHl 9
Nous obtenons par suite finalement :
ol Téquation déterminée qu'il s'agit de résoudre par rapport à a devient :
/** p COS=* 9 / . X I A
\ — -. (sin 9 — ap cos 9) r/p = 0.
Ju sin9 ^
Pour y parvenir, au lieu de substituer, suivant la marche qui ^ clé tracée ci-dessus, 9 en fonction de p d'après la relation (45), en vue d'intégrer ensuite par rapport à cette dernière quantité, nous effectuerons au préalable un changement de variables, en remplaçant p et dp en fonction de 9 et d<^, et transformant en
(*; Cil orTct la (lifrércnciatioii exccutûo au ii« 365 sur la fonction II a été cfTectuéc eu con>iil4>rant « conunc une constante.
582 THERHODYNâMÏQUE.
même temps les limites. L équation (44) nous donne à cet eficl :
i — 3 cos* ç
3a sin 9 ces 9
, i -h ces» 9 , dp = -s — ^i 2 — «9.
3a sm* 9 cos' 9 Il vient d'après cela :
fît (1 -+- ces* 9) (i — 5 COS' 9) , n
En y remplaçant le cosinus en fonction du sinus, nous lui donnerons la forme :
Jf, sm»9 Jf, snî-9 J,, sni9
Or on a identiquement, au moyen de l'intégration par parties, pour une valeur quelconque de Texposant m :
/. -, , , cos 9 sin-"*-* 9 , w r ' m. I
En faisant successivement m=3 et m = l, on obtient, avec un logarithme népérien :
SHÎ* 9
dç
sm 9
