THÉORIE GÉNÉRALE
875 — Théorie générale. — On peut généraliser la question ('), et montrer que risochronisme est réalisable avec une masse unique convenablement déterminée. La figure schématique 540
Fig. 540.
représente la moitié de l'appareil, que nous supposons symétrique par rapport à Taxe de rotation. Aux deux potences que l'on monte, l'une sur cet axe lui-môme, l'autre sur le manchon mobile, sont articulées deux tiges de longueur /, formant la moitié d'un
(*) Yvon Yillarccau {Exposé concernant les régulatextrs isochrones à ailettes., in-^*, Vendôme. — Comptes rendus de V Académie des sciences ^ 3 et 10 juin 1872). — Rankinc. Manuel de la machine à vapeur. Notes de M. Gustave Richard, p. 592. — Bulletin de la Société d' encouragement ^ 3* série, t. II, p. 687. — Génie civil, t. IV, p. 336. — Ledieu. Nouvelles machines marines, t. II, p. 299. — La Lumière électrique, t. IX, p. 67. — Bévue industrielle, 1876, p. 145. — La Nature, 19 février 1876, p. 187. — Comptes rendus de l'Académie des sciences, t. LXXIY, p. 1437. — Bévue des Sociétés savantes, 2* série, t. IV, 1869.
RËGULATEURS Â FORGE GENTRIFL'GE. 461
losange articulé. La branche supérieure, qui oscille sur la charnière 0, se termine par un solide de forme quelconque. Nous représenterons par a — é l'écart qui la sépare de la verticale, en marquant par s l'angle fixe que fait cette branche avec la droite Oa:, tirée de la charnière 0 au centre de gravité G de l'ailette.
Nous rapporterons les divers points matériels de ce corps au système de coordonnées mobiles ocOy. Nous emploierons en même temps un système fixe de coordonnées XOY dirigées suivant Thorizontale et la verticale. On passera des unes aux autres au moyen des formules :
.. . X = a: cos ot — y sin a,
Y = a; sin a -f- y CCS a.
Occupons-nous d'écrire l'équation d'équilibre relatif entre les forces centrifuges et les forces réelles, qui sont ici le poids Q de l'ailette, appliqué en G, et celui P du manchon mobile avec sa surcharge.
876 — Nous réduirons les forces centrifuges à celles de l'ailette, en négligeant pour plus de simplicité la branche inférieure du losange. Leur travail virtuel est le produit du déplacement angulaire da par la somme dé leurs moments relatifs à la charnière 0. Pour évaluer ces derniers, il est permis de raisonner comme si tout le système était aplati dans le plan de la figure.
Le rayon de rotation de la masse élémentaire m d'un point quelconque M est Y + a, sa force centrifuge ma)'(Y + a), et le bras de levier de cette dernière X. Le moment sera donc :
ma»«X(Y-|-a).
En ajoutant ces expressions pour tout l'ensemble du corps, et substituant pour X et Y leurs valeurs, il vient :
«'2m {x CCS a — y sin a) {x sin a -{- y cos a + a).
ou en développant :
[a (cos oL^mx — sîn aj,my) n
-+- sin a cos a 2m (x* — y') -h (cos* « — sin* a) 2mxyJ
Or on a identiquement :
2mx = AU, 2my = 0,
en désignant par Ç la distance OG du centre de la gravité à la charnière.
D'un autre côté, le travail de la pesanteur n'introduira pas de nouveaux termes du second degré en sin a et cos a; et comn^e, pour risochronisme, ceux-ci doivent s'évanouir identiquement, il nous faut poser séparément :
(15) 2mxy = 0, ^mx* = lmy\
Telles sont les conditions nécessaires de constitution auxquelles doit préalablement satisfaire le corps (*); ce qui sera d'ailleurs facile d'une infinité de manières au gré du constructeur.
En les supposant remplies, le moment des forces centrifuges se réduit à Mu^a; cos a, ce qui donne pour leur travail virtuel :
(14) Mco^aS cos acta.
877 — Le poids Mgr de l'ailette, appliqué en G, a pour bras de levier Çsina. Son moment est de signe contraire au précédent. Son travail virtuel a donc pour valeur :
(15) — Ugl sin a dd.
(*) Ilaton de la Goupilliére. Mémoire sur une théorie nouvelle de la géométrie des masses. Journal de VÉcole Polytechnique^ t. XXI, 37*^ eahier, p. 55.
RÉGULATEURS A FORGE GENTRIFL6Ë. 463
Quant au poids P du manchon et de la surcharge, nous n'en devons rattacher que la moitié à la partie de Tappareil sur laquelle portent nos raisonnements. Si z marque la distance de ce corps à Tarticulation supérieure, le ^travail virtuel aura pour expression :
Nous invoquerons, pour éliminer cette variable, l'identité :
s = 2/ ces (a — i), dz = — 2/ sin (a — e) da^
ce qui donne pour l'expression du travail :
P/ (sin a ces E — cos a sin «) d<t.
878 — Quand on égale à zéro la somme de ces divers termes, dcL disparait de lui-même, et il reste :
(16) (M«»a5 + P/ sin e) cos a — [Wgl + VI cos e) sin a = 0.
Pour que ce résultat conduise à une identité, indépendamment de la valeur de a, il nous faut poser :
(17) P/ sin « = — M««aÇ,
(18) P/ cos t == — M^Ç.
Cette dernière égalité exprime une nouvelle condition de constitution que doit remplir le corps, pour être capable de procurer l'isochronisme. La première fait alors connaître la vitesse de ce régime, en fonction des divers éléments du système. Elle permettra par suite de disposer de l'un de ceux-ci, en vue de régler à volonté l'allure.
iU MACHINES A. VAPEUR.
87» — Régulateur Cosintit. — On doit à M. Buss (') un appareil qui est très répandu sous le nom de régulateur Cosinus (*).
H réalise théoriquement le type précédent (lig. 541) au moyen d'un varlet à boules égales et à tiges de même longueur, qui satisfait évidemment aux conditions (13). On peut également associer ensemble deux varlets dissymétriques , mais inverses , dont les influences se compenseront mutuellement, pour satisfaire à ces relations. Un bras agit sur un coulisseau pour soulever le manchon avec sa surcharge; cl l'on a soin de l'établir conformément à l'équation (18), de manière à réaliser une vitesse angulaire u qui reste liée aux éléments du mécanisme par la formule (17).
(') Buchelli. Lei moehintM i vapeur
aduelltt, p. 227. — ttankine. Uanutt dt
Fig. 5H. — Régulsteur Buss. '" machine à vaptur. Notes de G. Richard,
(Coupe leniMle). p. 50t- — Dwelshauvers-Dpry [BulUtin Je
la Société indaHritlU de Malhoiite, t. LDi.
p. 38 et 68. — kaue univeritlU dtt mintt et de la métallurgie, t. XSil, 1872,
(*| Cette eipression, qui pourraii d'ailleurs tout aussi bien convenir i un grand Dombre d'autres régulateurs isocbrones, provient de ce qu'api'ès qu'on a salîifnit aui conditions (13), le travail virtuel des foi'ces cenirifuges (U) reste proportionnel au cosinus de l'écart; et qu'il en est aussi de même de la lolalité des Iravaui \irluel? [l(j). quand on a rempli en outre la condition (ISJ.
RËGUUTEUIiS A FORCE CENTRIFUGE. 465
