II
comme constante. On emploie également une fourchette qui soutient la chape, et est elle-même portée par un levier, dont la queue se
trouve sollicilée par un contrepoids convenable. L'inventeur s'est même préoccupe de Tinfluence exercée par le passage d'un côté à l'autre de l'axe d'une partie des tiges dans le soulèvement des boules, qui aurait sans cela pour effet de modifier le jeu des forces centrifuges. 11 en a encore trouvé la compensation dans le ressort dont nous avons parlé, et que l'on détermine en conséquence.
Il est facile d'exprimer la vitesse d'isochronisme que procurera un tel régulateur, en fonction des deux éléments essentiels de sa construction : la potence a et la longueur / du bras. Nous avons trouvé comme valeur de la sous-normale h de la courbe d'équilibre :
Fig. 535. — Régulateur Farcot à bras croisés (élévation).
d'où :
Fig. 536.
Or on a d'après les liaisons actuelles (fig. 536) :
h = ces a — a cotang a.
Pour que cet élément reste sensiblement constant, comme l'exige sa relation avec w, nous égalerons à zéro sa dérivée :
/ sin a -+-
sm' a
ce qui donne :
rm __ '
sm a
et en substituant :
Vv'-(T)*-«\/œ--<'
Des dispositions plus ou moins analogues se rencontrent dans les régulateurs à bras croisés de Galloway f ), de Lautsheer (*), de ProellO, deTchebitchefO.
869 — Régulateur Girard. — On doit à Girard (*) une solution toute différenle (fig. 537), qui mérite d'être signalée pour son principe, bien qu'elle ne se soit pas répandue dans l'application.
Une tige oscillant sur un axe A (fig. 538) porte deux lentilles opposées B, 6, ainsi qu'un secteur denté G, qui engrène avec une crémaillère D. Une pièce AB,6,G, indépendante de la première engrène de même avec D,. La fourchette qui porte ces deux crémaillères en présente également une troisième D'; celle-ci commande le secteur denté G', dont le rayon primitif est exactement la moitié de celui de G. Il se trouve à l'extrémité d'une tige qui oscille sur le centre de courbure A' du secteur, et dont l'extrémité filetée traverse une boule B'.
(*) Dwelshauvers-Dery. Revue universelle des mines et de la métallurgie^ t. XXXV, p. 43. — Revue industrielle, 20 février 1884, p. 70.
(*) Spineux. De la ditlribuUnn de la vapeur dans les machines^ p. 2G0.
(') Résal. Mécanique générale, t. HI, p. 208. — Buchetli. Lee machines à vapeur actuelles, p. 224. •— Dwelshauvcrs-Dery (Bulletin de la Société industrielle de Mulhouse^ t. LIX, p. 51. — Revue universelle des mines et de la métallurgie, t. XXXV, p. 41, 56). — Génie civil, 15 août 1882. — Kennedy. The méchantes «f machiner g, p. 384.
(*) Résal. Mécanique générale, t. III, p. 208. — Ilirscli. La mécanique à l'Exposition de 1878, p. 280. — Dwclshauvers-Dery. Revue universelle des mines et de la métallurgie, t. XXXV, p. 34, 100. — Revue industrielle, 25 août 1887, p. 334. — Les Mondes (t. XXXI, p. 27. — 5 juillet 1882, p. 261).
(') Trcsca. Cours autographié de VÊcole centrale des arts et manufactures, i860, p. 404.
4$) HACIllNES A VAPEUR.
La pièce BfcC est exactement centrée sur son axe A, et se trouve
par là soustraite à l'action de la pesanteur.
La force centrifuge est, pour chaque lentille : MuV sin a ; son bras de levier par rapport à la charnière A s'exprime par / cos a.
La somme des moments est donc, pour l'ensemble des deux boules, en négligeant le reste du solide :
2Mu'P sin a cos a.
Fig. 5S7. — Régulateur Girard {éléiation).
D'autre part, la résistance F exercée par la tige fourchue se partage en deux moitiés, dont l'une agit sur la crémaillère D, avec le
Fr bras de levier r, et le moment -0"
Nous avons donc finalement comme équation d'équilibre relatif
de la pièce B&C :
^ = 2Mu'I'8inacoso.
RÉGULATEURS A FORGE GENTRIFUGE. 453
Considérons d'autre part le corps qui pivote sur le point A', la
force F qui lui est imprimée par la crémaillère a pour bras de
V Vv
levier ^ = 0' ^^ P^'' suite pour moment -3-
Le poids M'^ de la boule B' admet comme bras de levier V sin a'. On a d'ailleurs a = 2a, car les arcs dentés ra et rV qui sont mis en communication par la môme crémaillère, ont nécessairement des longueurs égales. Le moment devient donc M' j/' sin 2a, et l'équation d'équilibre prend la forme :
— = 2Wgl' sin a ces «.
En égalant entre eux les seconds membres de ces deux relations, pour éliminer l'inconnue F, on voit disparaître en même temps l'angle a; ce qui montre que la condition d'équilibre est indépendante de l'écartement, ou, en d'autres termes, que le régulateur est isochrone, à la seule condition que ses éléments satisfassent à la condition :
M«»/« = WgV.
Je ferai remarquer que l'on reste maiti'e de la valeur u> de la vitesse de régime que l'on veut maintenir d'une manière constante. On peut en effet la régler à volonté, en disposant de la longueur /', et déplaçant à cet effet la boule B' le long de la tige filetée.
870 — Régulateur Rolland. — Rolland (*) a proposé une série de régulateurs isochrones (*) fondés sur l'emploi d'un organe élé-
(*) Rolland (Mémoire sur l'établissement des régulateurs de vitesse. Journal de fErole polytechnique, t. XXVI, p. 35, 44, 52, 53. — Sur la théorie dynamique des régulateur. Comptée rendus de V Académie des eciencee^ 14 août 1870, p. 418. — Sur les effets des variations du travail et les moyens de les régulariser. Ibidem, 8 janvier 1872, p. 09). — Résal. Mécanique générale^ t. HI, p. 211. — Ledicu. Nouvelles machines marines^ t. II, p. 503.
(*) Indépendamment des régulateur à force centrifuge que nous avons déjà passés en revue* je mentionnerai encore les suivants :
Adabiê. Mémoire sur un nouveau régulateur à toupie, 1868, in-8*. — Abaouie. — AcMK. — Agée. Scientipc American, 7 septembre 1880, p. 147. — D'Auiia {Revu€
mentairc, qui est formé de deux boules portées par les bras rectan-
titduslHelle, il novembre 1880, p. 455. — Journal de Franklin, a\Til 1880, p. 266}.
— De Bakge. Worms de Romilly. Annales de* mines, ?• série, t. I, p. 44. — Bre*. (Ilirscli. La mécanique à CExposition de 1878, p. 277. — Victor Lebeau. Def régulaleurs appliqués aux machines à vapeur, 1890, p. 56. — Bulletin de la Société industrielle de Mulhouse, t. LIX, p. 54. — Buchetti. Les machines ô vapeur actuelles, p. 231. — Engineering, décembre 1875, p. 432). — Biêtrix. — Biggart et Loxdoi. Régulateur à action différentielle. Revue universelle des mines et de la métallurgie j 1" série, t. II, p. 446. — BoKiocR. — Bôttchsr. Ibidem^ !'• série, t. VI, p. 326. — BoDRDiLLAT. — Bro\\'2i (Buchctti. Lcs machiTies à vapeur actuelles, p. 233. — Scientifie American, 28 septembre 1880, p. 19i). — Glaytor et Shuttleworth {American mfichiniit, 26 septembre 1885, p. 4. — Engineering, 8 mars 1889, p. 241): — Demar. — Dkzbwibcki. — Elwell. Revue universrlle des mines et de la métallurgie, 1** série, t. VI, p. 326. — Friedrich. Ibidem, t. XXXV, p. 45. — Gand et Guillotbaux. — Gardher. American machinist, 20 septembre 1884, p. 1. — Georges (Chronique industrielle, février 1887, p. 66. — Compte rendu mensuel des séances de la Société de C industrie minérale de Saint-Étienne, 1885, p. 218). — Granddenaxoe. Dwelshauvers-Dery. Exposition de 1889, p. 50. — Grosshans. Revue universelle des mines et de la métallurgie, t. XXXI, p. ^28; XXXV, p. 57. — Hall et >Vindsob. Marié. Annales des mines, 7* série, t. XIV, .p. 504. — Hewbr. La Lumière électrique, 1883, p. 436. — Huxtooii. Les Mondcê^ t. XX, p. 495. — Jacoiu. Spineux. De la diUribution de la vapeur dans les machinée, pi 272. — JouFFROv. Coste et BJaniquct. Traité des machines à vapeur, pi. i^, 24, 26, 27., — . Kessblmeter et Nakb. Revue des sociétés savantes, 8* série, t. IV, p. 378. — KiXG. La Lumière électrique, 1883, p. 436. — Lawrekcb. American machinist, 8 avril 1882, p'. 7; 17 mai 1883. — Lf.ffbl. La Lumière électrique, 1883, p. 436. — Liede. Engineering, Janvier 1^86, p. 4. — Ludr. Revue industrielle, 15 mars 1886, p. 193. — Mac-Farlane. Bulletin technologique de la Société des anciens Élèves des Écoles d*art9 et métiers, juillet 1887, p. 457. — Marshall. Dwelshauvers-Dery. Exposition d'Amsterdam. Revue universelle des mines et de la métallurgie, p. 17. — Mas. Régulateur dtirérenticl (Bulletin de la Société des anciens Élèves des Écoles d'arts et métiers, octobre 1875, p. 183. — Revue industrielle, 24 octobre 1883, p. 423). — Meteji. Rcsal. Mécanique générale, t. III, p. 206. — Mimilaiid. Buchetti. Les machines à vapeur actuelles, p. 232. — Newtoïi. Revue unitursclle des mines et de la métallurgie, 1" série, t. YI, p. 326. — Nobl. llii^ch. La mécanique générale à VExposi^ tion de 1878, p. 980. — Paxman. — PicHACLT.*6/^iiie civil, t. I, p. 202. — Prvxibr Scientifie American Supplément, 4 août 1883, p. 6313. — Radinger. Engineering, 15 mai 1874. — Rakel^^e (Dwelshauvers-Dery. Revue universelle des mines et de la métallurgie, t. XXXÏ, p. 243. — Dwelshauvers-Dery. Bulletin de la Société industrielle de Mulhouse, t. LIX, p. 39, 54. — Rankine. Manuel de la machine à vapeur. Traduction Richard, p. 593). — Bergers. Revue universelle des mines et de la métallurgie, t. XXV-XXVI, p 431. — Hedleacx. — Rico. Ibidem, t. XXXV, p. 33. — Riggat.
— Safety. — Sciiœffer et Bodenbeiig (Revue industrielle, 16 janvier 1884, p. 21; 12 "novembre 1885, p. 455. — American machinist, 22 août 1885, p. 4). — Sha^ck!!. Annale* industrielles, 1883, t. I, p. 317. — Simnohd. Engineering, 15 décembre 1871, p. 398. — SoMOART. llirsch. Jji mécanique à l'Exposition de 1878, p. 280. — Tabor. American machinist, 13 septembre 1884, p. 1. — Targte. — Thblbx et Wctdemeteb. Buchetti. Les machines à vapeur actuelles, p. 233. — Trancbast. Spineux. De la distribution de la vapeur dans les machines, p. 248. — Tremper. Buchetti. Les machines à vapeur actuelles, p. 232. — Tulpin. Bulletin de la Société d'encouragé* ment, 1671, t. XVIII, p. 52. — W^itbt. — Wischbegradsii. Revue industrielle, 1876, p'. -3'26. -^ Wright et Uastings. American machinist, 3 décembre 1881, p. 5.
gulaircs d'un varlet indéformable oscillant autour de son sommet. Je choisirai parmi eux, pour l'étudier ici, celui que Fauteur luimême considérait comme le plus satisfaisant.
La figure schématique 539 représente le système élémentaire, que Ton doit supposer reproduit n fois, dans n plans méridiens symétriquement espacés autour de Taxe de rotation AA'A"; le nombre n étant tout au moins égal à 2.
Une articulation fixe 0 est assemblée à cet axe par une potence OA de longueur a. En 0' et 0" se trouvent des articulations mobiles. Les potences qui les portent O'A', (X'A" sont implantées sur des manchons A', A" susceptibles d'un c glissement longitudinal.
Deux losanges articulés OBB.O', OCC,0" sont constitués par les varlets rectangulaires indéformables BOC, B,OC,. Leurs huit côtés ont la môme longueur /, et le même
poids p. Sur les tiges OC, OB^ sont montées deux boules D, D^ ayant pour poids P^P,, et comme distances à la charnière X, \. Nous désignerons par a Tanglç que fait OC avec la verticale, et enfin par Q', Q" la n* partie des poids des manchons A', A" avec leurs surcharges.
Proposons -nous d'établir l'équation du travail virtuel relatif au déplacement compatible avec les liaisons. Nous envisagerons d^abord les forces centrifuges, et en premier lieu celles des deux lentilles.
Fig. S39. — Bégulateur Rolland (figure schématique].
871 — La masse de la boule D peut être condensée en son centre
in<> 860). Sa force centrifuge totale est donc :
— û)' (a-f-> sin a).
Un déplacement virtuel élémentaire Xda a pour projection sur la direction de cette force Idx. cos a. Le travail virtuel est par conséquent pour ce premier solide :
— Xw* (a + X sin a) cos «da.
On aura de même pour la boule D,, dont le bras est perpendiculaire au précédent :
— ^ X.o)* (a — X. cos a) sin ad a;
et finalement pour l'ensemble des deux :
' vt
(ù'da
[PaX cos a -f- P^aXj sin a -f- (Px« — PjX^*) sin a cos a]
Je ferai remarquer dès à présent que, lorsque Téquation des travaux virtuels sera complète, il faudra pour Tisochronisme que l'équilibre reste possible sous toutes les inclinaisons, et par suite que cette égalité ait lieu quel que soit a. Le coefficient de sin a cos a devra dès lors être annulé à part. Or, aucune autre force n'introduira plus dans l'égalité de termes de cette nature. Nous poserons donc de suite :
Px« — P^x,» = 0.
De là une première condition imposée aux poids et aux bras de levier des boules. On y peut évidemment satisfaire d'une infinité de manière; mais la plus simple consiste à prendre :
P=Pj, XrziXj.
RfiGULATEURS Â FORGE CENTRIFUGE. 457
Nous supposerons que Ton ait adopté cette solution/ qui réduit le travail virtuel des forces centrifuges des deux corps à l'expression :
PflXw
(sin a -f- C08 a) da.
87» — Considérons en second lieu, au point de vue des forces centrifuges, l'ensemble des huit tiges. Nous remarquerons d'abord que la moitié supérieure du losange 00', si on la réunit par la pensée à la partie inférieure du losange 0(y\ donne avec elle, en raison de la symétrie, le même résultat que le faisceau des quatre branches concourantes : OB, OB,, OC, OC,. Or, je dis que ce dernier fournit un total nul. Il en sera dès lors de même pour tout l'ensemble.
Considérons en effet la tige OC. Si cr désigne son poids par unité
Tsdoc de longueur, sera la masse d'un élément dx situé à la dis-
tante x de l'articulation 0. Il a pour rayon de rotation a + a: sin a,
et comme force centrifuge :
mit - . , . .
tù^ (a-hx sm a).
Le déplacement virtuel étant xdoLf sa projection sur la direction de la force est xd%. cos a, et par suite le travail virtuel :
to* (a + j: sin a) x cos ada,
ce qui donne pour la lige entière :
ry«* cos a
9 Jo
ou en effectuant :
da l (a + x sin «) xdxy Jo
ntù^ cos a / a/* /' .
sm a 1*
Quant à la tringle OC,, les inclinaisons sont les mêmes, mais le rayon de rotation a pour valeur a — xsina. En outre, la projection du chemin virtuel devient négative, car elle est dirigée vers Taxe de rotation. Le résultat sera donc, si Ton opère ces divers changements dans l'expression précédente :
CTW* COS a
/al* P . \
d*où il résulte pour Tensemble des tiges OC et OC,
Sm a COS a.
Pour passer de là au groupe OB, OB,, il nous faut changer a en 90 — a, ce qui n'altère pas le produit sina cosa. Mais les signes des déplacements virtuels se trouveront respectivement intervertis ; car, dans la rotation que subit le varlet rectangulaire, OC s'écarte de l'axe, tandis que OD s'en rapproche; et l'inverse a lieu pour OC,, OD,. Le résultat sera donc égal et de signe contraire au précédent; ce qui donne zéro pour l'ensemble des quatre branches concourantes, et finalement pour celui des deux losanges.
873 — Arrivons maintenant au travail virtuel de la pesanteur. Le poids P de la boule D a pour travail virtuel :
— Px sin ada, et celui de D, :
— PX COS ada.
Le manchon A', auquel est appliqué la force C éprouve un déplacement vertical double de celui du point B. Il donne donc lieu au travail :
— 2Q7sma(ia.
On a de môme pour A" :
— 2Q'7cos«da.
Quant aux côtés des losanges articulés, si nous réunissons par la pensée les deux éléments égaux qui sont situés en M et M\ nous pouvons en condenser la massé au milieu N de la distance qui les sépare. Ce point s'élève de la quantité — Zcosada. Si donc p désigne le poids efleclif de Tune des tiges, nous aurons pour tout Tensemble du parallélogramme supérieur :
— Api ces ada.
Le losange inférieur donnera de même :
— Api sin ada,
874 — Finalement l'équation des travaux virtuels devient par la réunion des divers résultats précédents, et la suppression du facteur commun da :
?altù
(sin a -h ces a) =
(Px-h2Q'/+4p/) sin a -+- (Px-hâQ'7-f-4p/) cos a.
Pour réaliser Tisochronisme, nous devons égaler séparément à zéro les coefficients de sin a et cos a, ce qui fournit leè deux égalités :
PaXco
ou sous une autre forme :
' = Px -h 2/(Q' -h 2/>) = Px + 2/ (Q"-f- 2/)),
(12) Q' = Q- = pA-(^l)^2;,.
Nous obtenons ainsi les valeurs égales nQ^nQ* qu'il faudra donner au poids des manchons accompagnés de leurs surcharges, pour réaliser la vitesse constante co.
Il suffira, si Ton veut pouvoir la régler à volonté, de se ménager un moyen de modifier les surcharges.
