Gradient d’une quantité scalaire définie dans un espace

4°. — Donaons le potentiel en tous points d’un espace, d’un champ de force. Nous définissons ainsi un nombre fonction du point considéré. Puisque à l’aide du potentiel nous pouvons calculer le travail pour tous les déplacements possibles, il est clair que nous pouvons déterminer la force en tous les points du champ. Nous sommes donc ramenés au problème fondamental : déduire un vecteur de la connaissance d’une quantité scalaire donnée en tous les points d’un champ. Le vecteur ainsi défini est (au sens près) le gradient de la quantité scalaire ; il est désigné par le symbole : + grad. V.

Nous pourrions raisonner in abstracto; pour être plus clair, nous utilisons les mots force et travail.

Do. __ SURFACES ÉQUIPOTENTIELLES, GÉNÉRALEMBNT SURFACES ÉQUI- NOMBRES.

Le potentiel (fonction du point considéré) variant d'une manière continue, relions par une surface les points où sa valeur est la même : nous définissons ainsi des surfaces équipotentielles (généralement surfaces équinombres). Deux surfaces de potentiels différents ne pouvant avoir des points communs, on peut donc considérer comme parallèles des surfaces équipotentielles voisines, c'est-à-dire correspondant à des cotes peu différentes.

Nous nous proposons de définir la force en tous les points du champ. |

Elle est normale à la surface équipotentielle qui passe par son point d'application. Soient, en effet, deux points voisins A et B d’une surface équipotentielle ; on a :

Gy=v,—V,—=0.

Le travail étant nul, la force est normale à l'élément de trajectoire AB.

Quand on décrit une courbe quelconque sans quitter une surface équipotentielle, le travail est identiquement nul.

Quand on passe d’un point quelconque A d'une surface équipotentielle à un autre point quelconque B de cette même surface, quelle que soit la trajectoire, le travail est nul; cela veut dire, non pas que tout le long de la trajectoire le travail est nul, mais que la somme des travaux positifs est égale à la somme des travaux négatifs.

3°. — GRADIENT.

Par un point A de la surface équipotentielle V, menons la normale. Soit An l'élément de normale compris entre les surfaces de potentiels V et VAV. La normale coupe la seconde surface en un point B. Soit F la grandeur de la force.

Nous avons par définition :

AV

Ga—=V,—V,=—AV=F.An;: F=—-——grad. Le

Cette formule définit conventionnellement le vecteur gradient d'après la connaissance du potentiel en tous les points du champ. Comme conséquence de la convention que le travail est positif quand le potentiel décroît, la force définie par le potentiel V est égale au gradient de ce potentiel changé de signe. Le module du gradient est donc le taux de variation du potentiel, dans la direction où celte variation est maxima, c’est-à-dire normalement à la surface équipotentielle.

La direction du gradient est la normale à la surface équipotentielle qui passe par son point d'application.

Le sens du gradient est la direction des potentiels croissants.

La force est done le vecteur dont le module est égal au gradient ; elle est de même direction, mais de sens contraire.