Potentiel

La force admet un potentiel, si le travail accompli par elle, quand le point d'application M passe d'un point À de son champ à un point B, est indépendant de la trajectoire parcourue.

Désignons par G,, le travail accompli par la force, quand on passe de A à B. Par hypothèse, il ne dépend que de la position des points À et B. On a de plus par définition :

L Ci = — Ca. £ Cas doit s'exprimer à l'aide des coordonnées x, y, 3; æ', y', z', des points À et B; d’où :

Gus 9(?, y, 2: 2, y", 7) —=o(A,B).

Par une courbe quelconque, allons d'abord de A à B: puis par deux autres courbes quelconques, allons de A à D, puis de D à B.

Dans ces trois opérations les travaux sont ©, ©,,, G,.. Par hypothèse nous avons identiquement : |

Cis — Can + Em (A, B)=o(A, D)+o(D, B).

Cette relation étant satisfaite, quel que soit le point D, les coordonnées de ce point doivent disparaître; ce qui exige qu'on ait : p(A, B)=o(A)— o(B)=o(x, y, 3) —o(x!, y', 7).

Cette fonction des coordonnées s'appelle potentiel et se désigne par la lettre V :

Es=e(A)—o(B)= VV.

En définitive, une force admet un potentiel si le travail effectué par elle, quand on passe d’un point À de son champ à un autre point B, s'exprime par la différence des valeurs que prend, en ces deux points, une certaine fonction des coordonnées qui est le potentiel :

Gin Vi — Ve.

Onabien: G,;——6,, puisque: Gi—V,—V..

De même :

(es VV On + Cn = (Va V,) +- (Vis — V,).

Si la trajectoire est fermée, si l'on part d’un point À pour y revenir, le travail est nul :

Gin V= V0.

Cette conclusion est cependant trop particulière, comme nous le verrons plus loin ($ 11).

Le potentiel n'est pas une quantité dirigée : en chaque point du champ, sa mesure est exprimée par un nombre : c’es{ une quantité scalaire, un scalar, comme disent les Anglais.

De la nature d’un travail, le potentiel s'exprime généralement en kilogrammètres ou en ergs, suivant le système d'unités choisi.

Nous poserons toujours le potentiel nul à très grande distance du point où nous sommes. Le potentiel mesure donc le travail qu'il faut dépenser pour amener le système sur lequel s'exercent Îles forces considérées, de l'infini à sa position actuelle; ou encore le travail que les forces agissant sur le système sont capables de produire quand il va de sa position actuelle à l'infini :