Ets VF. n0s0ss E

Considérons un élément ds, du cireuit 1 (fig. 117); donnons au circuit 2 un petit déplacement de 2 en 2'; calculons le travail effectué correspondant à ce déplacement.

La force d?F étant considérée comme positive quand elle est attractive, le travail est en grandeur et en signe :

AT — Ads, | = IH ADR PEN 1e >Vr Ra E

L'intégrale doit être étendue à tout le contour 2; le symbole 5 représente la variation de la distance r ou d'une fonction quelconque de r pendant le déplacement.

Fig. 117.

La simplicité de l'expression obtenue tient à ce que la force calculée par Ampère est dirigée suivant la droite qui joint les éléments. Son travail est par conséquent le produit de sa valeur par la variation àr de la distance.

Intégrant par parties et remarquant qu'on peut intervertir les

‘ signes à et à, on trouve :

, 10 & JE Te £ ne ei = VIS dr ras ds, Jo, dS: ds,

Le terme entre crochets est nul pour un circuit 2 fermé. TS [1 Le travail correspondant au déplacement de 2 en 2 est pour le circuit À fermé tout entier :

oT = ff À 2 ds;ds::

Le mouvement relatif intervenant seul. les deux circuits doivent

entrer de la même manière dans l'expression du travail; on peut

écrire. :

ms | de .à de . ds,ds, = ffPY à ne = . à Or Jasds, m2 [fu 0 ds,ds..

Nous retrouvons donc bien l'expression de l’énergie potentielle du , $ 99, puisqu'on doit avoir :

àT +5 W—0.

L'expression de l'énergie potentielle que nous venons d'obtenir n'a de sens que si le milieu indéfini dans lequel les circuits sont plongés est homogène. Elle n’est numériquement exacte que pour le vide et les diélectriques non aimantables. Dans un milieu homogène indéfini aimantable, elle doit être multipliée par un facteur constant: la perméabilité y. du milieu. Ainsi des circuits plongés dans une dissolution de perchlorure de fer agissent l'un sur l'autre avec des forces plus grandes que dans l’air (Voir tome ED}

Si le milieu n'est pas homogène, si par exemple on introduit entre les circuits des pièces de fer de formes quelconques, il devient impossible d'exprimer a priori l'énergie potentielle par une formule. L'énergie reste bien égale au flux d’induction envoyé par un des circuits dans l’autre; mais l'expression de ce flux dépend de la définition complète du milieu.

Nous retrouverons les mêmes questions à propos de l'induction et des écrans magnétiques.

101. Application à des circuits circulaires de même axe. | . Appliquons la formule fondamentale :

M— re dsds' nt

à deux circuits circulaires de même axe, dont A et a sont les rayons et dont la distance est +. Le résultat est d’une importance pratique capitale, puisqu'il permet de calculer l'attraction de deux tels circuits.

1°. — Repérons les points des circuits au moyen des angles Fet ».

On a : ds—AdW,. . ds —adÿ;, é—=W—#; r— a? + (A cos Ÿ — a cos y}? + (A sin W— a sin d)?, r— a+ A%L 42 2A a cos : —æ? (AH a) — LAa cos! —.

ACTION DES CHAMPS SUR LES COURANTS ais”

Tous les éléments de l'un des circuits sont placés identiquement de la même manière par rapport à l'autre circuit. On a donc :.

M fras fees es farense € r ie

Posons : e—m—+2», ds—2a.do. Il vient:

ya [sine —1)dp M ras | Fe ar PTS rê= a+ (A a}.

Les limites de l'intégrale sont: —::2 et +» :2.

Fig. 118.

Rappelons maintenant les définitions des intégrales elliptiques complètes dont nous donnons des tables abrégées au $ 187 de notre Cours de Mathématiques générales : ;

T2 n°2 Ce … ; = f NTFS . do.

Posons : kr, —2VAa. Il vient :

Mir VAe Le-Ar+ |

qui donne très simplement W en fonction de quantités dont (depuis Legendre) on possède des tables extrêmement étendues.

bi.

D, — Passons à l'attraction suivant l’axe commun. On vérifiera d'abord les formules suivantes : 1 RO ; . MUR EUR fat: F dE — A(1—#) RAR, OR D SET OU

On se souviendra que, pour obtenir la dérivée d'une intégrale : définie par rapport à un paramètre, on dérive par rapport à ce paramètre la quantité qui multiplie la différentielle (Mathématiques générales, $ 301).

OMR æk

D'où : Er HAT RU jee 2 0 [(2 LE k£) E— (2 — 2/2) F] L

On donne à cette expression une autre forme.

Soit r, et r, la plus grande et la plus petite valeur de r. On a :

r—a+(ALa}, ra +(A—a).

Posons : COS LEE TTL SUN:

On trouve :

dM 7.

dT VAa rs | 2e (+ ) :|

dans ce cas, les intégrales elliptiques sont exprimées au moyen du module sin &.

Pour A =, ipo— 22 7e

dM “e D 2raus | 28 (+ ) :|

Maxwell, à qui sont dus ces calculs, a donné des tables étendues de log (M : 4rV Aa ),

qui est une fonction de Æ ou de «.