D, __ GÉNÉRALISATION

Le courant, au lieu de passer dans un fil, est défini en tout point de l’espace par ses composantes u, v, w.

Un courant d'intensité totale ® passe dans un conducteur dont l'aire de la section droite est dS.

Soit ds la longueur de l'élément dont la projection est dæ.

ddx : ds est la quantité qui passe parallèlement à l’axe des +, d’où :

Court induit

P a — udS; Pdx = udsdS — udw,

do est l'élément de volume. Re Si donc le courant est réparti dans tout un espace, il vient :

fe ee (0

F, G, H, sont les potentiels de trois matières fictives agissant en raison inverse du carré de la distance et dont les densités sont u, 0, w.

Mdr +

98. Flux d’induction à travers un feuillet. Énergie potentielle d’un feuillet.

Soit un feuillet ®’, Nous désignons par +’, y', z', les coordonnées des points de la courbe qui le limite; ds! est un élément de cette courbe. Par définition, le flux à travers ce feuillet est égal à La circulation du potentiel vecteur :

| (r% dy' ds \ ie.

[CE Gr + M ja

l'intégrale est étendue au pourtour entier.

Le feuillet tend à se déplacer de manière que F augmente. La force suivant une variable à est :

EI

| dE P "0a :

D'après la définition même de l'énergie potentielle W , cette force est égale à : | 0W Sr

D'où L'expression de W :

ur , à dx dy' ART We (rc du dar

99. Énergie potentielle d’un feuillet dans le champ d’un autre feuillet; formule de Neumann.

1°. — Dans la formule précédente, substituons les valeurs de

F, G, H, calculées au $ 97 :

RL ER EX 1/dx dzx' dy dy’ dz dz' :

We [A ds ds’ Ge ds ds Arr TJ ds.

Or la parenthèse est le cosinus de l'angle < des éléments ds et ds' considérés. D'où la formule de Neumann : |

W — — PŸ' (Je ds ds’.

Elle est symétrique par rapport aux deux contours : deux feuillets de même puissance s’envoient l’un dans l’autre le même flux.

Le plus petit crée un champ moindre dans un espace plus grand.

Proposition fondamentale qui explique l'existence d’un coefficient d'induction mutuelle ($ 92).

Si le flux envoyé par le feuillet 1 dans le contour du feuillet 2

est M®, le flux envoyé par le feuillet 2 dans le contour du feuillet 4 est M’. |

Yo ‘4 : : T | 2. — Donnons à l'énergie potentielle W une autre forme classique:

Soit OC, O'C' (fig. 116), les deux contours.

Joignons le point E repéré par la distance s à une origine O (distance comptée sur le contour) au point E' repéré par la distance $ à une origine À’.

Soit 6 et 9 les angles de EE’ avec les éléments ds et ds'; soit «

l'angle des deux éléments.

On a évidemment en grandeur et en signe :

1e dr \ dr cos0—=—— COS =.

ds ? ds’

Projetons l'élément ds sur la tangente ÉESrat as

EM—rcos0, EN—(r—+dr)cos(6+ db);

RO dooucud pe. (pee : : ds ds ee Ô ni ELA dr PAL TS ve rs NE 0 Ds OU NOEOS PÉARANT dSdS'

On a identiquement :

° [cos e À cos 6 cos 0 ; d?r : [| Es MIRE

ces intégrales sont étendues aux deux contours.

La seconde intégrale du second membre est nulle, à la seule condition que l’un des contours d'intégration soit fermé.

Considérons, en effet, un élément ds et le contour fermé dont ds’ fait partie; intégrons d'un point À jusqu'au même point À :

® dr : OT de fonr as] =0

La nouvelle expression de l'énergie potentielle est :

W —— he Be V qsds.

On trouve encore W sous la forme évidemment équivalente : Me 1 dr ùr Rs OVr dr W—æ? Ja Fr dsds' — LD [| FPNETA dsds.

100. Énergie potentielle de deux courants en présence. 1°. — L'expression précédente s'applique à deux circuits fermés parcourus par des courants :

x Fe COS € 2 cos 0, cos 6 W—— ii ff dsdS —— it J fees ds,ds,.

On peut écrire plus généralement :

LR [cos < PAT Er W— ci ff -- re ) side, ;

o étant une fonction de la distance seule des deux éléments, condition nécessaire et suffisante pour que o disparaisse dans l’action de deux circuits fermés.

‘ L'énergie mutuelle de deux portions ouvertes de circuits, d'extrémité À, B, et C, D, peut donc se mettre sous la forme :

A AT. . COS € wii] ff dsid83 + ic + On — Dan — One ’ ee

Pac est la valeur que prend la fonction o relativement aux extrémités À et C; et ainsi des autres symboles. Nous reviendrons làdessus en traitant de l'induction électromagnétique. 9, — Pour légitimer la formule d'Ampère, montrons qu'elle conduit à la même expression de l'énergie pour des circuits fermés. Utilisant les relations démontrées au $ 99, on peut écrire (en négligeant le facteur &,1,) :

ni uE ds,ds, É dr 2» d?r LINE dsids; dr