Exemples de forces admettant un potentiel
1°. — Camp UNIFORME.
Au voisinage d'un point à la surface de la Terre, la pesanteur admet un potentiel. Nous savons que le travail accompli quand on passe d'un point A à un point B ne dépend pas de la trajectoire. Les surfaces équipotentielles sont des plans horizontaux; aussi les appelle-t-on quelquefois surfaces de niveau, en souvenir du nom qu'elles portent dans le champ de la pesanteur. La force, normale aux surfaces équipotentielles, est verticale. Elle reste constante approximativement quand on se déplace suivant la verticale.
Prenons pour axe des 3 la verticale et comptons les z positivement vers le zénith : soit p le poids du corps; le potentiel a pour
expression : Ve, Fe», la pesanteur est dirigée verticalement vers le nadir.
Le champ est uniforme ($ 8).
2. — FORCES CENTRALES PROPORTIONNELLES À UNE PUISSANCE DE LA DISTANCE. |
Posons que la force qui s'exerce en tout point À du champ, passe par un point fixe O et que sa grandeur est proportionnelle à une certaine puissance n de la distance r à ce point. Les surfaces équipotentielles sont des sphères ayant le point O pour centre.
Le potentiel n’est fonction que de la distance r: il a pour expres-
Sion : krt*1,. où k est une constante.
La force radiale est :
D'après le paragraphe 9, il existe encore un potentiel si les forces sont dues à l'attraction ou à la répulsion d'autant de centres qu'on voudra, agissant en raison d'une puissance quelconque de la distance et suivant la droite qui les joint au point agi (forces centrales).
En particulier, le champ de force admet un potentiel, si les centres en nombre quelconque agissent en raison inverse du carré de la distance.
Nous reviendrons longuement sur ce cas fondamental.
11. Cas où le potentiel peut prendre plusieurs valeurs discontinues au même point. Généralisation de la définition du potentiel.
Étudions un champ de force qui semble bizarre, mais dont l’importance est énorme, puisqu'il est réalisé approximativement au voisinage d'un courant quelconque, rigoureusement dans tout l’espace pour un courant rectiligne indéfini.
Par hypothèse, les surfaces équipotentielles sont des demi-plans s'arrêtant à une droite indéfinie dont la trace sur un plan normal est en D. Les lignes de force, normales aux surfaces équipotentielles (S 8), sont des circonférences situées Fig. 7. dans des plans normaux à la droite D, et ayant pour centre sur chacun des plans la trace de la droite D. Ce sont donc des courbes fermées.
Enfin prenons comme expression du potentiel l'équation : V— x, où x désigne l'angle du demi-plan $, considéré avec l’un d'eux P pris pour origine des azimuts.
La figure 7 représente une des lignes de force.
Cherchons quelle est la grandeur de la force sur la ligne de force ABC de rayon r. Nous avons généralement :
Fds == — AN.
Or ds—rdas AV —hde, RTS AE LOL RER D'où : — TE Ft
La force est en raison inverse de la distance au point D; elle est constante en tous les points d'une ligne de force.
Partons d'un point À pour y revenir : deux cas peuvent se présenter.
1° La trajectoire n’entoure pas le point D. — Quand nous revenons au point À, l'angle « reprend la même valeur : le travail est nul. Il y a potentiel au sens ordinaire du mot.
Let \ 4
