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Généralisons. Représentons les sections droites des deux conducteurs À et B qui agissent l’un sur l'autre; les aires de leurs sections sont A et B. 1

Posons que les densités 6 et s/ des courants sont respectivement uniformes.

L'action réciproque dépend du potentiel (fig. 162).

V=— 0,02. se / ff. log r.dA . dB,

où dA, dB, sont les éléments d'aire.

La distance R(A, B) qui satisfait à l'équation :

AB. log R(A, B) = [ff or dA. dB,

est par définition {a moyenne distance géométrique entre les aires A et B.

Il revient au même de calculer la moyenne distance ou l'intégrale. Le théorème suivant simplifie la besogne.

2. — Soit à calculer la moyenne distance entre l'aire formée par À et B et l'aire d’un troisième conducteur C. On a par définition :

(A+ B)C. log R(A LB, C)= ff log r . dA | aC+ ff 108 r.dB. dC | — AC. log R(A,C)+ BC. log R(B, C):

d’où la relation : | (A + B). log R(A+B,C)—A .log R(A, C)+B.logR(B, C), qui donne l'action d’un système de courants quand on en a calculé l’action des parties.

3°. — Au fond, ce que nous désirons connaître est le champ créé en un point B par un système de courants rectilignes, parallèles et indéfinis, traversant l’aire À avec une densité constante c.

Posons que l'aire B se réduit à un seul élément; soit connue la moyenne distance entre Fig. 162, l'aire À et le point B. Nous connaissons done l'action du système des courants À sur le courant B, ce qui permet de calculer . immédiatement le champ produit au point B par l'aire A. En effet, après avoir dérivé le potentiel, il nous suffira de porter le vecteur champ à angle droit du vecteur que le potentiel définit,

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GALVANOMÈTRES ET ÉLECTRODYNAMOMÈTRES 201

puisqu'en vertu de la loi de Laplace, la force électromagnétique est à angle droit sur le champ mägnétique.

Aïnsi, dans l'emploi de la moyenne distance géométrique pour calculer le champ créé au point B par un système de courants parallèles, on prend comme intermédiaire la force électromagnétique exercée par ce système sur un courant parallèle passant par le point B. |

æ. — Enoncçons, dans le langage qui vient d’être défini, les propositions ci-dessus démontrées.

La moyenne distance entre un anneau mince et un point inférieur quelconque est égale au rayon de l'anneau. Nous savons en effet que le champ en tout point intérieur est nul : d’où résulte que le potentiel est constant. La moyenne distance est donc indépendante du point considéré : nous pouvons la calculer pour le centre pour lequel le résultat est immédiat.

Si l’action est nulle en tout point intérieur pour un anneau mince, elle est nulle pour un anneau quelconque. Donc la moyenne distance est. indépendante du point considéré : nous la pouvons encore calculer pour le centre. Soit a et bles rayons de l'anneau. On a par définition :

r(a — b?) log R—. 2zrdr .log r —27 doom [e) ) le) m , € b b

a? log à — }°?log h a? — 1? Je à

La moyenne distance entre un anneau mince, un anneau quelconque, enfin un conducteur cylindrique circulaire plein et un point extérieur, est égale à la distance de ce point au centre; cela résulte de ce que nous avons démontré que l’action d'un courant de densité uniforme passant dans ces conducteurs est la même que s’il était concentré sur l'axe.

La moyenne distance entre deux cercles extérieurs l’un à l'autre est égale à la distance des centres de ces cercles.

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