Nappe de courant sphérique

1°. — Sur une sphère de rayon R, nous enroulons un fil régulier en spires parallèles équidistantes; par suite, le nombre de spires compris entre deux petits cercles est proportionnel à la distance des plans de ces cercles. D’après l'assimilation des courants et des feuillets, nous obtenons l'équivalent d’une sphère uniformément polarisée (S 139). |

Soit 1:n la distance (en centimètres) des plans de deux spires consécutives, I l'intensité du courant; l'intensité d’aimentation est :

d—= nl.

Le calcul du champ produit à l'intérieur de la sphère se ramène donc au calcul du vecteur induction dans une certaine masse polarisée. Nous connaissons l'intensité d’aimantation; calculons la force magnétique due au magnétisme libre (K 42).

Fig. 163.

En vertu du théorème général ($ #1), à la surface de la sphère existe une densité superficielle :

o— 3 cos 0 —= nl cosé.

®%. — Je prie le lecteur de se pénétrer du raisonnement suivant, qui est le type des raisonnements sur ces matières. Je pose Ja solution et je montre qu'elle convient, profitant du théorème général que la solution est unique; par suite, que si l’on en connaît une, on connaît la bonne. Quant à la découverte de cette solution, ce fut une pure affaire de tâtonnement. Nous profitons du tâtonnement antérieur, ce qui n'est pas une raison pour avoir l'air de croire qu'il y a autre chose à faire qu'une vérification.

Je dis que le champ dépend : hors la sphère du potentiel V, dans la sphère du potentiel V' :

Ne ni rnlr cos 6.

Remarquons d'abord que ces potentiels satisfont à l'équation AV—0; ils représentent en effet le potentiel d’un doublet (f 46) et celui d'un champ uniforme.

Puisque la sphère est uniformément aimantée, son moment magnétique est le produit du volume par l'intensité d'aimantation :

M — 2 rR°J — : rR'nl.

à, À 'inge Le 8 ALU TT ASARE EE DAC dm Av dr n4 " :

GALVANOMÈTRES ET ÉLECTRODYNAMOMÈTRES 203

Mais le potentiel dû à un petit aimant est pour tout point suffi-

TR M cos samment éloigné : N RER

Nous sommes donc assurés que le potentiel V convient au loin. Cherchons les composantes radiales F et F' des forces dues aux potentiels V et V' au voisinage du point S de la sphère (r—R); elles sont comptées positivement vers l'extérieur :

ù A = TE rnl cost, , Ô V' F = = Sont cos .

Mais en vertu du théorème général du paragraphe 36, la discontinuité doit être due à la couche de magnétisme libre. Effectivement nous avons : EF —F'— Z4rnl cos 0 — 4xo. :

Donc les potentiels sont correctement choisis, puisqu'ils conviennent aux deux seules conditions à satisfaire.

3. — La force magnétique dans l'intérieur de la sphère est : = ss —— [5er .r COS = [5 É cent.

L'induction est :

force magnétique + 4rI — — 2 Fnl + 4rn] — = #nl.

Tel est le champ magnétique produit par le système de courants.

On obtient donc ainsi un champ parfaitement uniforme; malheureusement l’enroulement de la bobine sur la sphère, sans être impossible, n’est guère commode.