Connectivité de l’espace

Le cas précédent se rattache à la notion générale de connectivité de l’espace (fig. 8).

Soit dans une As d'espace deux points quelconques À et B, et deux chemins 1 et 2, allant de À à B à travers cet espace. On dit que l’espace est simplement connexe lorsqu'on peut passer du trajet À au frajet 2 par déformation continue sans sortir de l’espace considéré.

Ainsi l'intérieur d'une sphère

est simplement connexe.

Au contraire, l'espace compris entre deux cylindres concentriques \ n'est pas simplement connexe \ (fig. 8). Parmi les trajets joignant deux points quelconques À et B de cet espace, certains (1 et 3, par Fig. 8. exemple) ne jouissent pas de la propriété de pouvoir, par déformation continue et sans sortir de l'espace, se transformer les uns dans les autres; ce sont ceux qui font autour du cylindre intérieur des nombres de tours différents.

Le cas traité au $ 11 rentre dans celui-ci: en effet, la force devient infinie sur la droite D; elle n’est donc Das que Ra l'espace extérieur à un cylindre ant pour axe la droite D, et dont le rayon, aussi petit qu'on veut, doit rester fini. Le rayon du cylindre extérieur limitant l’espace devient infini, ce qui ne change pas le degré de connectivité.

Si on introduit une cloison C et si l'on pose que les trajets ne traverseront pas cette cloison, l’espace compris entre deux cylindres

concentriques devient simplement connexe. On dit qu'avant l’établissement de la cloison, il était doublement connexe,

L'intérieur d’un tore est de même doublement connexe.

D'une manière générale, la connectivité d'une portion d'espace est définie par le nombre, plus un, de cloisons qu'il faut établir pour la rendre simplement connexe, ces cloisons étant considérées comme infranchissables. Par exemple, l’espace traversé par deux courants électriques rectilignes est triplement connexe pour la force magnétique.

Nous n'aurons pas souvent l'occasion d'utiliser explicitement ces notions ; le lecteur s’apercevra cependant qu’elles interviennent implicitement à chaque instant. C'est pourquoi nous en parlons.