Divergence d’un vecteur. Théorème de Green
f°. — Soit un vecteur F défini dans un champ; son module et sa
direction varient d’une manière continue. Soit do un petit volume
autour du point P. On appelle divergence du vecteur F au point P
une quantité telle, que son produit par le volume do représente le flux du vecteur F à travers la surface limitant le volume do.
La divergence du vecteur F est définie indépendamment d'un système particulier de coordonnées ; la définition suppose que le flux infiniment petit à travers la surface limitant un volume est proportionnel au volume limité. L'existence d'une divergence pour un système quelconque de coordonnées résulte de son calcul pour un système déterminé, par exemple pour les coordonnées cartésiennes.
%, — Tant au chapitre XXII du Cours de Mathématiques générales, qu'au chapitre II du Cours de Mécanique, nous avons prouvé
que la divergence d’un vecteur de composantes cartésiennes X, Y, Z (continues dans un espace), a pour expression :
: OX ON OL Div. (X, Y, 2)= + dy Sr TS le flux est considéré comme positif quand il sort du volume considéré.
Nous avons donné l'expression de la divergence en coordonnées sphériques et cylindriques au $ 48 du Cours de Mécanique; nous ne
reviendrons pas sur ces démonstrations élémentaires. Quand le vecteur admet un potentiel V, on a en coordonnées cartésiennes :
Ham oNe ES dV NT Te NE UE Re À OR ue DEV OV EE UTEMN :
Dir. PF A (+ dy? à dz? )=—av, en posant pour abréger :
OV NOV ENS AV — dx® Toys Ôz2 ‘ 90, — [La connaissance de la divergence en tous les points d’un
volume fini permet de calculer le flux à travers la surface qui le
limite. En effet, il est évident que ce qui sort de la surface fermée entière est la somme algébrique de ce qui sort de tous les volumes élémentaires qui la constituent. On a donc l'identité :
[FF -c0s2.48— [TT Div. F. du. (1)
L'intégrale double est étendue à la surface fermée entière ; l’intégrale triple est étendue au volume qu'elle limite. Dans le cas d’un potentiel, l'équation (1) devient :
[frise [fs ff] AY . do. (2) n
Au surplus, voici la démonstration très simple de ces identités. Nous avons montré plus haut qu'on à :
d [xay d= ff REED CM TUN
Si X est une quantité continue et n’a pas de valeurs infinies entre met dv, æ, et æ,, .… (ce que nous supposerons toujours dans l’application du théorème), on peut poser :
= fx de xx [Le 2 dx & dx
7 es On a donc : [fra ff] À Gr dy dz.
Opérant de même sur les intégrales :
[fx ds dr, jé Z dx dy,
on trouve, en posant : dx dydz=—do :
/® ox dY 02 ffreensns= [ff ++) = ff foire
Les normales à la surface sont prises positivement vers l'extérieur.
Le flux est conservatif dans tout l’espace considéré , si la fonction V satisfait à l'équation (dite de Laplace) : AV: 0:
On dit qu'elle est harmonique (Mécanique rationnelle, $ 52).
