Cas d’un fluide compressible

Reprenons les mêmes raisonnements avec un fluide compressible. Nous définissons encore en chaque point la direction et la vitesse de l'écoulement. Le produit de la densité (ici variable) par la vitesse d'écoulement est un vecteur qu'on peut supposer connu en direction et grandeur. Le flux de ce vecteur à travers une surface représente encore le débit matériel à travers cette surface.

Mais le flux n'est pas conservatif. La quantité de gaz à l'intérieur d'une surface fermée n'est pas constante à cause de la compressibilité.

L'expression débit à travers une courbe fermée n’a plus de sens.

A travers une surface fermée, le flux n'est pas nécessairement nul. À l'intérieur de cette surface, nous pouvons mettre un tube plein de gaz comprimé: ouvrons le tube : la sortie du gaz à travers la surface fermée n'est compensée par aucune rentrée.

Nous trouverons réalisés en Magnétisme et en Électricité les deux cas : tantôt le flux de force sera conservatif, tantôt il ne le sera pas.

18. Flux de force dans le cas d’un potentiel. Considérons maintenant comme vecteur la force dans le cas où elle admet un potentiel. Soit S une surface quelconque dont nous pouvons distinguer les deux faces. Menons les normales ; repérons les différents points de chacune de ces normales à l’aide de la distance n comptée sur elle à partir d'un de ses points arbitrairement choisi :

dV | dV Fcosa=—-, [fr cos a dS = — Le a:

1 Il va de soi que nous appelons ici surface fermée une surface mathématiquement 3 De 21 SG fermée et non pas physiquement étanche : la phrase n aurait aucun sens dans le second cas.

Pour calculer approximativement cette intégrale, menons une surface S' parallèle à la surface considérée à une distance invariable èn. Découpons la surface en petits éléments >S; mesurons pour chacun de ces éléments la variation moyenne 3V du potentiel quand on passe

de S à S'; le flux est :

— —. , àV.5S.

èn

Généralement les calculs sont impossibles, mais le sens de l'inté-

grale est clair.