Théorie des images de Maxwell

Devant une plaque conductrice plane et indéfinie, de résistivité p, d'épaisseur e, on déplace un système d’aimants que nous supposerons d’abord réduit à un pôle. Des courants induits naissent dans la plaque. On demande comment ils réagissent sur le pôle. À

La solution a été donnée par Maxwell en utilisant la série des images du pôle par rapport à la plaque. FE

1°. — Pour faciliter l'exposé des résultats, divisons le temps en intervalles égaux 26.

Au temps £, soit A la position du pôle. Par hypothèse, un pôle A’ égal et symétrique (image positive de À par rapport à la plaque) se forme brusquement et s'éloigne sur une normale à la plaque, avec une vitesse constante W — p : 2re.

Au temps #—3f se forme un pôle négatif, image négative de la position du pôle À au temps t, qui accompagne l’image positive.

En définitive, à la position À du pôle au temps f, correspond un doublet a, qui, sans aucune modification, s'éloigne de la plaque avec une vitesse constante w.

Recommençons pour les positions successives B, C, D,... du pôle, qui correspondent aux temps é, #34, +23, A un instant quelconque {—- nt, pour lequel le pôle est en M, nous avons donc créé n— 1 doublets a, b, c,.…. qui s’éloignent du plan avec une vitesse w,

1 A passer dans une première lecture.

ni Ü

sur x — 1 perpendiculaires ; nous venons de créer une dernière image

positive M'. À

La figure suppose que le pôle A se déplace sur une droite et d’un mouvement uniforme.

Voici maintenant le théorème de Maxwell.

Diminuons l'intervalle 3f jusqu’à 0 ; construisons le train des images

Fate e— ot ©

pour tous les temps négatifs : le champ magnétique de ce train, en tous points de l’espace situé du côté positif de la plaque, est identique au champ des courants induits par le mouvement du pôle.

Le théorème se généralise immédiatement pour un système magnétique quelconque, en vertu de la superposition pure et simple des champs. È |

2. — Pour fixer les idées, appliquons à la création brusque d'un pôle immobile ({ 217).

Au temps 0 se forme une image positive, qui s'éloigne avec la vitesse w—p:2re. Aux temps 36, 4 93..., se forment au même point (puisque le pôle est immobile) deux images égales et de signes contraires dont les effets se détruisent. Donc l'effet des courants induits est le même que celui d’une masse unique positive, qui s'éloigne indéfiniment d'un mouvement uniforme.

La vitesse croît à mesure qu'augmente la résistivité et que diminue

l'épaisseur. Donc l'effet des courants induits sur le pôle est une

répulsion, qui décroît d'autant plus vite que la plaque est moins conductrice. Si la plaque était parfaitement conductrice, la vitesse w

OR Cp

serait nulle : les courants seraient permanents ; la répulsion demeurerait constante et égale à m°?:4z, où 3 est la distance OA du pôle à la plaque; m est la masse du pôle.

À un temps quelconque, supprimons le pôle. De nouvelles images ne se formeront pas; mais la dernière image négative ne sera pas neutralisée et se déplacera normalement à la plaque avec la vitesse w. Les courants induits seront donc les mêmes et décroîtront de la même manière que lors de la formation du pôle; mais ils seront de sens inverse. |

3°. — Comme second exemple, traitons le cas d’un pôle À qui, venant de l'infini, se rapproche normalement d'une plaque avec une vitesse constante W.

Au temps Ô, sa distance est AO—3; au temps {, sa distance est : = Ni.

Pendant ce temps f, des images positives en nombre #: dé sont émises. Elles occupent sur la normale une longueur (+0 + W}f. Elles correspondent donc à une densité linéaire uniforme :

l 1 RL 1 ET (ao EE WE SE wIW:

Par suite pour le phénomène total, nous avons (sur la normale indéfinie) cette densité linéaire positive à laquelle se superpose une densité linéaire négative égale, sauf tout à fait à l'extrémité. L'effet résultant est donc dû à cette extrémité, qui est ce dont la ligne positive dépasse la ligne négative. Sa longueur est ce dont le pôle avance dans le temps 3f, soit Wôf. Elle correspond à une masse :

m 1 dt wHW et à une répulsion normale :

TO NN 42 wIW:

On retrouve la formule précédente en posant W—<, ce qui correspond à la naissance brusque du pôle.

Cette formule ne s'applique pas au cas où le pôle s'éloigne, parce qu’il faut alors tenir compte des phénomènes produits par le pôle quand il est tout près de la plaque.

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