COROLLAIRES

1°. — Le flux étant indépendant de la position de l'élément dS, on peut parler sans ambiguïté du flux envoyé dans un cône do : le flux est le même à travers les éléments qu'il découpe sur des surfaces quelconques.

2%. — Les flux s’additionnant algébriquement (ici arithmétiquement), la proposition s'applique à un cône d'angle fini quelconque w.

3. — Nous pouvons parler sans ambiguïté du flux à travers un contour fermé; c'est le flux envoyé dans le cône qui a pour sommet le point agissant et qui s'appuie sur le contour.

Æ#. — A travers une surface fermée quelconque le flux est :

mÈdo —4rm,

si le point agissant est dans la surface.

5°. — Si le point agissant est hors de la surface fermée, le flux total est nul. En effet, considérons le contour apparent de la surface vue du point agissant. Il la sépare en deux portions $, et 8,, à travers lesquelles le flux est le même en valeur absolue (3°). Mais dans un des cas il entre dans la surface, dans l'autre cas il en sort : la somme est nulle. Nous pouvons affecter d'un signe la face externe et du signe contraire la face interne; la proposition s’énonce en disant que la somme algébrique des flux est nulle.

6°. — La surface fermée est traversée deux fois ou un nombre pair de fois par une droite émanant du point agissant. Les propositions 4 et 5° s'appliquent, quelles que soient les complications de la surface, en considérant comme positifs les flux qui sortent et négatifs les flux qui entrent, ou inversement.

7°. — S'il existe un nombre quelconque de masses (positives ou négatives) à l'intérieur de la surface fermée, le flux total est 4x Em.

-Le flux sortant est en excès, quand Ym>>0; il est en défaut,

quand Èm<t0.

25. Équations de Poisson et de Laplace. Le flux du vecteur F à travers l'élément de volume dv—dx dy dz,

est ($ 19) :

| RON oz Doc do—( + a + jé.

Quand le vecteur F admet un potentiel, on a ($ 19) : Div. F. du —— AV do.

Écrivons que le flux à travers l'élément du est égal à kr fois la somme des masses contenues dans l'élément ; il vient :

— AV dv = Axe dv, AV 4e — :

où » est la densité de volume,

C'est l'équation de Poisson; Laplace l'avait déjà considérée dans le cas où p—0.

En tous points où il n’y a pas d'agent libre :

se 0 A Me 0:

Le flux est alors conservatif; à travers une surface fermée quelconque, il est nul ($ 14).

CoroLLaire I. — Le potentiel ne peut présenter ni maximum ni minimum en dehors des masses agissantes.

Si au point A existe un véritable maximum, À est entouré de surfaces équipotentielles fermées, intérieures les unes aux autres. En tous les points de chacune d'elles, la force est dirigée vers l'extérieur : le flux total ne peut être nul. Donc, au point À, l ya une masse positive. Même raisonnement si au point À existe un véritable minimum; la masse est négative.

Corozzaire IL. — Soit À un point d'équilibre en dehors des masses agissantes. Il est sûrement d'équilibre sfable pour certaines directions, d'équilibre instable pour d'autres. En effet, sur les lignes menées du point À, le potentiel à partir du point À ne peut (d’après le corollaire I) décroître partout ni croître partout. Donc au point À le potentiel est sûrement un maximum par rapport à certaines directions, un minimum par rapport à d’autres ($ 7, 3°).

Le potentiel est constant sur les lignes ou surfaces équipotentielles passant par le point À; on aura dans ces directions un équilibre indifférent.

26. Le fiux est conservatif à l’intérieur d’un tube de force qui ne contient pas de masses agissantes. Champs uniformes.

Le flux total à travers une surface fermée est nul. Il est nul par définition sur la surface latérale du tube, puisqu’en un point quelconque de cette surface, la force est dirigée dans le plan tangent. Donc ce qui entre par une surface quelconque S, limitée au tube sort par une autre surface S, quelconque. Tout se passe comme pour un tube rempli de liquide incompressible. ;