Définition des mesures; formules qui les expriment

1°. — Une mesure consiste à comparer une grandeur à l'unité de même espèce : elle a pour résultat un nombre abstrait.

Le langage vulgaire peut conduire à des idées fausses.

On dit qu'une longueur a 4 mètres; pour parler correctement, il faut dire : l’unité est le mètre, le résultat de la mesure est 4.

On dit que l’aire d'un rectangle a pour mesure le produit de la base par la hauteur. Cette locution est une pure absurdité : une longueur ne peut être multipliée par une longueur au sens arithmétique de la multiplication. Il est vrai qu’on peut inventer une telle opération, mais d’une manière assez arbitraire pour que nous en ayons défini non pas une, mais deux qui ont pour résultats le produit scalaire et le produit vectoriel. Dans le premier cas, le produit des deux longueurs est un nombre; dans le second, c’est encore une longueur.,

On doit dire : en prenant comme unité d’aire un certain carré, l'aire du rectangle s'exprime par le produit des nombres qui sont les résultats de la comparaison des côtés du rectangle au côté du carré. Ou plus rapidement : l'aire du rectangle a pour mesure le produit de la mesure de ses côtés, quand on prend pour unité d’aire l'aire du carré, pour unité de longueur la longueur de son côté.

Toute autre locution est vicieuse.

Bref, il n'entre dans les formules que des nombres : les opérations arithmétiques et algébriques ne sont définies que pour des nombres.

2. — Les mathématiciens semblent du reste n'avoir que des idées rudimentaires sur ces questions. On lit dans toutes les trigonométries cette phrase absurde : décrivons une circonférence de cercle