Opérations fondamentales sur les vecteurs

En Physique, on rencontre principalement deux espèces de quantités : les quantités scalaires, définies par un nombre et généralement susceptibles de signe; les quantités vectorielles ou dirigées, représentées par un vecteur, c’est-à-dire par une droite donnée en grandeur et direction.

Les vecteurs sont de deux sortes :

les vecteurs polaires, dont le type est un déplacement, une vitesse, une force... et dont la symétrie est celle du tronc du cône circulaire ;

les vecteurs axiaux, dont le type est une rotation, une vitesse angulaire, un couple... et dont la symétrie est celle du cylindre circulaire tournant uniformément autour de son axe.

Nous verrons que la force électrique est un vecteur Polaire, que la force magnétique est un vecteur axial.

Nous ne reviendrons que très rapidement sur la composition et les propriétés fondamentales des vecteurs. La question est traitée avec le développement nécessaire dans Le chapitre II de notre Mécanique rationnelle et expérimentale (Géométrie des vecteurs) et dans le chapitre XXII de notre Cours de mathématiques générales. Nous voulons seulement rappeler ici les propositions les plus usuelles, en nous plaçant au point de vue du Calcul vectoriel, dont on trouvera les éléments au chapitre XXIV de nos Exercices et compléments de Mathématiques générales.

Deux opérations fondamentales sont effectuées avec un vecteur défini en tout point d’une portion d’un espace, c'est-à-dire dans un champ :

1°. — son intégration le long d’une courbe tracée dans le champ, ce que nous appellerons son fravail ou sa circulation ;

D, — l'intégration de son flux à travers une surface tracée dans le champ, ou plus simplement son flux.

Mais ces opérations rentrent dans des opérations plus simples auxquelles il est nécessaire de s'habituer. Dans ce qui suit, nous emploierons souvent comme équivalents les mots vecteur et force. Il est entendu que tout ce que nous dirons de la force s'applique à un vecteur quelconque; mais le lecteur suivra mieux les raisonnements sur le vecteur force, auquel il est particulièrement accoutumé.

2, Règle du bonhomme d'Ampère; règle du tire-bouchon.

Posons d'abord quelques conventions essentielles.

1°. — Il est souvent nécessaire de relier un sens de translation et un sens de rotation; on y parvient commodément à l’aide d’un tirebouchon.

Tenons une bouteille verticalement, le goulot vers le haut.

Pour enfoncer le tire-bouchon dans le bouchon, nous devons tourner le manche dans le sens des aiguilles d’une montre qui serait posée sur le bouchon, les aiguilles en haut.

Évidemment, cette relation d’un déplacement vers la pointe du tire-bouchon le long de celui-ci, et d'une rotation dite à droite, tient à la construction conventionnelle du tire-bouchon qui est une vis à droite (de même que toutes les vis à bois utilisées en Europe et en Amérique).

Mais précisément parce que tous les tire-bouchons sont construits de même, cette convention est sans ambiguïté.

. En définitive, La translation suivant un axe et la rotation autour de cet axe sont conventionnellement de même signe, lorsque leurs directions correspondent aux mouvements de translation et de rotalion d'une vis ordinaire.

On dit que le système est à droite.

D, __ I] résulte de cette convention une disposition déterminée des axes formant le trièdre trirectangle de référence.

Nous considérons comme positives les translations suivant les +, les y, les 3 croissants.

D'autre part, nous considérons comme positive une rotation autour de Ox qui amène Oy sur Oz, une rotation autour de Oy qui amène Oz sur Ox, une rotation autour de Oz qui amène Ox sur Oy; Ox, Oy, Oz, désignent les moitiés positives des axes de référence.

A D RE OT RE PR I ARE A É | Lou RACE

Nous sommes donc conduits à disposer les axes comme l'indique la figure 1.

Pour reconnaitre les faces d'une surface, nous les affectons des signes — et —. La direction positive sur la normale à la surface traverse censément la surface de la face — à la face ..

Choisissons un sens de circulation sur le contour de la surface : les conventions suivantes, équivalentes, nous apprennent à relier ce sens aux signes des faces.

Un tire-bouchon qui pénètre dans la surface par la face négative, qui, par conséquent, avance dans le sens positif sur la normale, tourne dans le sens de circulation.

Le bonhomme d'Ampère, placé de manière qu'un mobile allant dans le sens de circulation entre par les pieds et sorte par la tête, et tenant entre ses mains la surface, a la face positive à sa gauche (fig. 2).

Il revient au même de dire que le bonhomme posé sur la face positive (face de sortie du tire-bouchon), voit le sens de circulation aller devant lui de sa droite à sa gauche (en sens inverse des aiguilles d'une montre qui repose sur la surface et dont la face est tournée vers lui). Le tire-bouchon lui entre par les pieds et Jui sort par la tête.

Ce ne sont là que des règles conventionnelles qui n'ont ni caractère de nécessité, ni bien entendu aucun rapport avec une loi physique. J’insiste malgré l'évi- Fig. 2. dence, parce que nos braves bacheliers s'imaginent qu'Ampère a découvert la loi du bonhomme; elle n’est qu'une manière entre beaucoup d’autres d’exprimer le sens des phénomènes.