Calcul au trait

1°. — Le calcul au trait est l’ensemble des procédés qui permettent de résoudre des équations au moyen d'intersections de courbes, = Un exemple simple est fourni par l'équation du troisième degré

($ 226 et 371) : a + pr + q = 0. (4) Écrivons : at + pa? + qe = 0. Posons:; y= x. (2)

Les racines de l'équation (1) sont données par l'intersection de la parabole (2) [qu’on peut construire une fois pour toutes] avec le

cercle :

| D + y + (p— y + qe —0.

Ce cercle passe par l'origine ; les coordonnées du centre sont :

é——g:2, n—(1—p):2; il est donc complètement déterminé.

Il coupe la parabole en quatre points ou en deux.

Il passe par l’origine qui appartient à la parabole; mais la racine æ—=0 a été introduite au cours du calcul.

Nous conseillons au lecteur de discuter cet exemple simple dans

son détail (réalité des trois racines, signes, ...). La même parabole permet de résoudre à vue l'équation du second degré. Soit : 2? + pe + q —=0. (3)

Les racines de (3) sont données par l'intersection de la parabole Ï Ï

et de la droite :

y=ù, y—+pr+q—0.

La droite coupe les axes aux points :

E——qip, :n——Q.

On trouvera aisément une série d'exemples analogues portant en eux-mêmes leur vérification.

2%, — Il est extrêmement utile d'obliger les étudiants à représenter par des courbes les problèmes les plus simples, par exemple d'arithmétique. Si étrange que cela paraisse, nous éprouvons la plus

grande difficulté à faire comprendre à nos étudiants de licence l'emploi

de la représentation graphique pour la loi d'Ohm (qui est linéaire), tant est insuffisante l'éducation reçue.

ue Hé du ; < ait on cherche à tout réduire à gence. Par exemple, on conseille aux élèves de toujours réduire les données en CGS, les hectares en | centimètres carrés; les tonnes-poids en dynes, . De pareilles méthodes sont FaSS sdmissibles pour un enseignement dont le but: unique est de seriner res perroquets ; un enseignement utilitaire ne peut admettre de telles. fantaisies : à l’inverse des enseignements philosophiques, il est néces= saire qu il soit intelligent. .

Voici deux exemples pour fixer les idées. RD 3°. — Prenons d'abord le problème classique : Un fi ils a 5 ans, son père en a 25; quand l'âge du père sera- cy triple, Fe … de celui du fils? = Portons en abscisses les temps mesurés en années, en ordonnées

: Fig. 319.

les âges également mesurés en années. Les âges dé père et du ds sont représentés par des droites parallèles à la bissectrice de l'angle En. des axes, puisque leur âge augmente d’une année par année écoulée. Menons une ordonnée quelconque ABCD... Déterminons le por D. : par la condition :

pu ss AE OT OPOTS 104 AIT SI MOSE TS PT RO PRET PNR EN PT MST

Re D M d

Par le point D menons une parallèle D3 à la bissectrice des axes.

Le point à donne le temps (5 ans) qui doit s’écouler jusqu'à ce que l’âge du fils soit le tiers de celui du père.

Cette solution graphique, d'une précision limitée, ne supplée pas au calcul; mais elle éclaire remarquablement les conditions du problème. Elle montre qu'à mesure que le temps s'écoule, le rapport des âges tend vers l'unité; elle éclaire la loi de variation et le sens des solutions négatives (dans combien de temps l’âge du père sera-t-1l décuple de celui du fils?), elle remplace une solution numérique unique par l'étude d'une fonction.

#. — Autre exemple : Quel nombre faut-il ajouter à chacun des termes de la fraction 1 : 5 pour en obtenir une égale à 9:13?

La solution est immédiate :

te x 13° Mais ce problème ultra élémentaire devient intéressant si l'on

pose : y=({A+zx): (5x), ‘et si l’on étudie la manière dont y varie quand > varie. Sous une autre forme, c'est le problème traité au 4. On obtient une hyperbole, asymptote à des parallèles aux axes, sur laquelle on fait aisément la discussion. |

n'empêche pas l'intelligence des opérations qu'on ‘exécute. Disons mieux : on est bien db sûr de l’exactitude de la solution quand on l’obtient intelligemment. C'est à quoi la représentation graphique aide remarquablement. Malheureusement la discussion intelligemment conduite du moindre problème est très longue; si on s'en préoccupait au Lycée ou à la Faculté, on ne trouverait plus le temps de dicter les cours : évidemment ce serait un désastre!

: mais cela

520. Abaques, tableaux graphiques, papier quadrillé logarithmique.

Aux $S 368 et sq. je parle des abaques construits au moyen de points alignés. On peut en construire d'espèces très différentes et donnant lieu à d'intéressants exercices.

1°. — Les tables à double entrée, c'est-à-dire où le nombre qu'elles font connaître dépend de deux variables, se divisent en colonnes longitudinales et en colonnes transversales qui répondent respectivement aux grandeurs des deux variables ou, comme on dit, des deux arguments. La Table de Pythagore est le type du genre.

Une remarque est ici nécessaire. Il ne faut pas prendre toute table contenant des lignes et des colonnes comme représentative d’une fonction de deux variables. Les tables de logarithmes donnent la fonction d’une variable : y—logz; malgré leur disposition typo-

: à 4 620 CO URS DE MA THÉMA TIQ UES S GÉNÉRALES

graphique, ce sont des tables à el entrée. De toutes les tables numériques contenues dans le présent ouvrage, seules les tables des S 188 et 189, donnant les intégrales elliptiques, sont à double entrée.

De même qu’une table à simple entrée est représentée par une courbe y—/f{x), une table à double entrée est représentée par une surface z—/f{x, y).

On a pour la Table de Pythagore : z—xy; c'est un paraboloïde.

La représentation plane de la surface se fait au moyen de ses courbes de niveau. Par exemple, pour le paraboloïde de la table de Pythagore, ce sont des hyperboles équilatères. On en trace un