ANAMORPHOSE GÉOMÉTRIQUE
On facilite singulièrement la construction des abaques par un changement de variables.
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Posons par exemple : æ'—logæ, y'—logy.
La surface z—:xy devient :
log zx + y.
C'est un cylindre dont les lignes de niveau sont des droites horizontales, parallèles entre elles et perpendiculaires à la bissectrice des axes. Nous avons maintenant pour coordonnées log x et logy; mais rien ne nous empêche d'écrire sur les axes les nombres x et y euxmêmes et de donner comme cotes aux lignes de niveau non log 3, mais z. La complication du problème est reportée sur la graduation des axes; une fois construites ces graduations, le travail ultérieur devient très simple, puisqu'il se réduit à tracer des droites.
On trouvera dans la construction des abaques un nombre considérable d'exemples intéressants qui apprendront à l'étudiant tout le parti qu'on peut tirer d’un changement de variables (anamorphose). 3°. — PAPIER QUADRILLÉ LOGARITHMIQUE.
On facilitera la construction de bon nombre d’abaques au moyen du papier quadrillé logarithmique (Morin, Paris, les 100 feuilles 26 francs). Les échelles de chaque côté sont logarithmiques au lieu d'être uniformes.
521. Procédés pour représenter une relation entre des droites, situées dans un plan et fonctions d’un paramètre, qui se correspondent une à une.
1°. — LES DROITES CON- JUGUÉES SONT L'UNE ET L'AUTRE DONNÉES EN POSI- TION.
Elles sont alors représentées par les équations :
y =a(t).æ + b(b), Y—=a(t).XHLB(é) (1)
À chaque valeur du paramètre variable { correspondent une droite de l'un des systèmes et une droite de l'autre.
Elles enveloppent généralement deux courbes e et E que l'on obtient ($ 129) en éliminant la variable £ respectivement entre les équations :
y=a(t).&æ+b(#), a'(t).æ + b'(t) = 0; (2) et : Y=a(t). X+HR(6), «(t).XHG'(t) = 0. (3)
Fig. 321.
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Chaque droite y coupe sa conjuguée Ÿ sur une be Gi | y —= f(x), (4) qu'on obtient en éliminant { entre les équations (1).
De ce qui précède résulte la construction suivante. Soient données les enveloppes e et E. Par le point a de e, menons la tangente aC, ; puis de C, menons à E la tangente CA. Les droites conjuguées sont aG, et AC, (fig. 321).
d%, __ UNE DES DROITES EST DONNÉE EN POSITION : L'AUTRE N’EST DONNÉE QU'EN DIRECTION.
C’est généralement ainsi que le problème se pose. Les éiabiens (1) représentent encore les droites conjuguées ; mais la fonction &(f) est arbitraire, puisqu'on peut mener chaque droite Y par un point quelconque. Nous profiterons de cette circonstance pour choisir La courbe E ou la courbe C.
Dans la première hypothèse, nous prendrons f(f) telle que le résultat de l’élimination de # entre les équations (3) soit l’enveloppe E choisie.
Par exemple, posons identiquement f({)—0; la droite Y est assujettie à passer par l’origine des coordonnées : elle enveloppe un point.
Posons : f({)—Y,;—a(t).X,;, la droite est assujettie à passer par le point de coordonnées X,, Y,.
L'élimination de { entre les équations (1) donne la courbe d'’intersection y —/f(x), qui permet d'achever la construction. La figure 322 suppose que la droite Y est assujettie à passer par le point fixe E.
Dans la seconde hypothèse, nous prendrons la fonction £(é) telle que le résultat de l'élimination de { entre les équations (1) donne une courbe C choisie à l'avance, par exemple une droite, un cercle,… une courbe de forme simple. L'élimination de £ entre les équations (3) fournit alors l'enveloppe E correspondante. C'est ainsi quon à coutume d'opérer pour représenter les résistances à la translation dans un fluide (voir Mécanique physique).
Comme cas particulier de la première hypothèse, on peut citer la relation qui existe entre le rayon vecteur à une courbe donnée en coordonnées polaires, et la tangente à cette courbe. L’enveloppe E des rayons vecteurs est l’origine des coordonnées, l'enveloppe e est
Fig. 322.
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la courbe elle-même: enfin la courbe C se confond avec l'enveloppe e.
On trouvera un grand nombre d'exercices intéressants en prenant pour point de départ les considérations précédentes.
