SOUSTRACTION

Fractions données.

il JL 4 . 19 — 1 J. 4 . IL

Dénominateur commun.

3x5X2XüX2X3 = 36o.

Transformation.

Différence

On voit que* cette opération ne diffère de l’addition que dans la disposition du calcul : au lieu d’une seule colonne, on en fait deux ; la première contient les numérateurs des fractions que Ton se propose d’ajouter; la seconde colonne contient les numérateurs de celles que l’on veut retrancher. Après avoir fait séparément les sommes de ces deux colonnes, on prend leur différence, et Ton place dessous le dénominateur commun.

- * Exemples.

’ ^4-1- 3 + |-f-2+li i ='Jl.

Multiplication.

i45. Pour bien comprendre ce que nous allons dire, il faut revenir à la définition de la multiplication des nombres entiers. '

Nous avons dit ( 2g ) que cette opération avait pour but de composer un nombre nommé produit, qui contint le multiplicande autant de fois que l’unité est contenue dans le multiplicateur. Ainsi , lorsque l’on dit

le produit 36 confient 3 fois le multiplicande 12, parce que le multiplicateur 3 contient l’unité 3 fois.

Par la même raison , si l’on multipliait par 6 , lé produit devrait contenir 6 fois le multiplicande, et, le produit d’un nombre par 8 contiendrait ce nombre'8 fois. *

On a étendu aux fractions l’application de ce principe , et • l’on a dit :

Pour multiplier par -, il faudra prendre le tiers /du mul-

tiplicande , puisque le multiplicateur contient le tiers de l’unité. Pour multiplier par ^ , on prendra la septième partie du multiplicande. Ainsi

,aX 3 = T =4 ’

146. Il y a ici une objection qui sç présente ordinairement à l’esprit. Il semble, puisque l’on prend le tiers ou le septième, que l’on fait une division au lieu d’une multiplication; cela est vrai; aussi est-on parfaitement libre de considérer l’opération sous ce dernier point de.vue, la multiplication

MULTIPLICATION. 8 r

par un tiers ou la division par 3 , étant deux opérations entièrement identiques.

Il arrivera quelquefois par la suite, dans l’étude des Mathématiques comme dans celle de toute autre science, que l’on rencontrera des dénominations qui paraîtront d’abord peu exactes. Cela vientde ce que celui qui trouve une nouvelle combinaison mathématique, imagine presque toujours, pour désigner cette combinaison , un nom qui rappelle la question particulière qui l’a conduit à ce résultat; et lorsque plus tard cette même combinaison est employée à un autre usage, le nom n’a plus rien de commun avec l’application que l’on en fait.

Ainsi, par exemple, le mot multiplication, qui signifie prendre plusieurs fois le multiplicande, ne rappelle évidemment à l’esprit que la multiplication des nombres entiers. De même, comme nous le verrons plus tard , le mot Géométrie, qui veut dire mesure de la terre , n’exprime qu’une partie des applications de cette science , qui a pour but la mesure de l’étendue en général.

Mais comme il y aurait incouvénient à changer continuellement les noms adoptés pour désigner les parties principales d’une science, on conserve ces noms, en se contentant de' donner plus de généralité aux définitions, à mesure que la science fait de nouveaux progrès ; à moins toutefois que l’on ne soit parvenu à un point où le peu d’accord entre les mots et les idées qui doivent s’y rattacher, n’exige une réforme complète dans la nomenclature : c’est ce que l’on a fait pour la Chimie, à la fin du siècle dernier.

147. Nous conclurons de ce qui précède, que ce n’est pas par le nom qui a été donné à telle opération de l’Arithmétique , que nous devons nous former une idée exacte de cet té opération, mais par sa définition. Ainsi donc, nous né regarderons pas la multiplication comme ayant pour but de* composer un nombre qui contienne plusieurs lois le multiplicande , mais plutôt de composer un nombre qui eou-

8a FRACTIONS.

tienne le multiplicande comme le multiplicateur contient l’imité.

Ainsi , comme nous l’avons déjà dit , multiplier par 5 sera

prendre la huitième partie du multiplicande, parce que le multiplicateur contient la huitième partie de l’unité.

Par la même raison , multiplier par 7 , sera prendre trois

fois le quart du multiplicande, puisque le multiplicateur contient 3 fois le quart de l’unité , de sorte que

. Ainsi l’on divisera 12 par 4, ce qui donnera le quart du multiplicande , et l’on prendra 3 fois ce résultat en multipliant le numérateur par 3.

t48. On conclura cette règle générale : Pour multiplier un nombre quelconque par une fraction, on multipliera par le numérateur de cette fraction , et l’on divisera par son dénominateur. J’ajouterai que cette opération n’est réellement ni une multiplication ni une division, mais une opération composée des deux , et à laquelle on n’a donné le nom de multiplication que par extension du principe énoncé (x47)-

1 49- 81 le multiplicande était une fraction, et que le multiplicateur fût un nombre entier, on opérerait conformément au principe démontré (119), c’est-à-dire que l’on se contenterait de multiplier le numérateur de la fraction. Ainsi

i5o. Enfin pour multiplier deux fractions lune par l' autre , n formera le produit des numérateurs, et l’on écrira dessous

le produit des dénominateurs. Ainsi

En effet multiplier la fraction par - , c'est prendre 3 fois

le quart de-. Or, en multipliant le dénominateur par 4 , on

obtient — qui représente lé quart de - ; il ne reste donc

plus qu’à prendre cette quantité 3 fois, ce que l’on fera en multipliant le numérateur par 3.