PREMIÈRE PARTIE. Zj

lîivement y le plus ^and nombre par le plus petit y le plus petit par le premier reste 8, et le premier reste par le deuxième reste i ; ce qui a donné 8 pour quotient exact. Le reste , qui divise exactement le reste précédent ji étant Tunité, on est certain que les nombres 17 et 9 n'ont pas d'autres diviseurs com^ inuns que l'unité ; ils sont donc premiers entr'eux.

D'après ce qui précède , si l'on reut réduire' les fractions ,

75 , -y^ , à leurs plus simples expressions , on divisera les

deux termes de la première^ par leur plus grand, commun divi* seur 6 ^ et ceux de la seconde, par leur plus grand commun

diviseur G6 , ce qui donnera et - , pour les fractions irré-»

ductibles équivalentes aux proposées. La fraction — est irré*

ductible « car il n'existe pas de diviseur commun entre ses deux termes (n®â53).

69. En général : Poitr réduire une fraction à sa plus simple expression , il finit d* abord chercher le plus grand commun diviseur entre ses deux termes (n**58). On divise ensuite les deux termes de la fraction proposée , par leur plus grand commun diviseur ; les quotiens expriment le numérateur et le dénominateur de la fraction irréductible équivalente à la proposée,

60. Le nombre de divisions à effectuer^ pour obtenir le plus grand commun diviseur entre deux nombres , ne peut jamais excéder le plus petit de ces deux nombres , car chaque reste étant un nombre entier, moindre que le diviseur, les restes diminuent au moins d'une unité à chaque division ; de sort^ qu*on pâirviendra au reste zéro , après un nombre de divisions tout au plus égal au plus petit des nombres proposés.

61 . La recherche du plus grand commun diviseur entre phi'* sieurs nombres , se déduit facilement de ce qui précède. Pour trouver, par exemple , le plus grand commun diviseur des trois opmbres 48^ 18 et i5, on dira : le diviseur cherché doit diviser

38 KOTES,

les deux premiers nombres ; il ne peut donc pas être plus grand que lear plus grand commun diviseur 6 ; les facteurs communs 9Mi% trois nojtbres proposés ^ le sont donc nécessairement entre 6 et i5 ; mais le seul faQ|:eiir commun entre 6 et i5 , est 3 ; le plus grand commun diviseur demandé est donc 5 ; et en effet , si Ton divise 48 , 18 et i5 ^ par 3 ^ les qnotiens 16 ^ 6 ^ 5 ^ n'auront plus de facteurs communs. On peut d'ailleurs démontrer directement que 5 est le plus graud commun diviseur des trois nombres 48 , 18 et 1 5. En effet ; le plus grand commun diviseur 6^ entre 48 et 18^ renfermant tous lea facteurs communs de ces deux nombres ^ le nombre 3 ^ qui contient tous les facteurs communs entre 6 et i5^ renferme tous les facteurs communs des nombres 48> 18 et i5; il esf donc leur plus grand commun diviseur. On voit que le plus grand commun diviseur entre trois nombres est celui qui existe entre un des nombres , et le plus grand commun diviseur des deux autres. On prouve-^ rait de même que le plus grand commun diviseur entre quatre nombres ; est celui qui existe entre un dea nombces et le plus grand commun diviseur des trois autrea > et qu'en général > pour obtenir le plus grand commun diviseu)r entre plusieurs nombres , il suffit de chercher successivement le plus grand commun diviseur, entre le premier nombre et le deuxième , entre le commun diviseur qui en résuHe et le troisième nombre y entre ce nouveau diviseur commun et le quatrième nombre , et ainsi de suite ^ jusqu'au dernier des nombres pressés • Le plus grand commun diviseur, obtenu dans M d^nière opération , est celui des nombres, proposés^ S*il a agit ,, par exemple , des nombres i5oi5, s3io, SSyo, 16470, on cherchera d'abord le plus grand commun diviseur 1 i5B des deux premiers namr bres ; le plus grand commun diviseur entre 1 1.55 et 3670, sera io5; en&n, le plus grand commun diviseur entre io5 et 16470 > étant 35 ^ on en conclura que le plus ^and çommim diviseur des quatre nombres proposés^ est 35.

**" 63. Je termiaerai la tMorb des fractions, ai dëmoulrmt «npriacipe ^A |>eQi servir k siioplifier la. di^isioiu Four diviser un nombre par uu pror duit , il suffit de diviser successivement ce, nombre par les, Jacteuis.di4

PREHIEAE PARTIE. ^

frrocftitf f et réeipnq^feinefA. Par «xemple , diviser 48» piir lèj^dint ia de<facuuïf 5 et 4 9 sevlent à diviser 48 par 3 et & diviser le quotient 16 par 4 {

eu le quotient dt la divisioa^^4^ P*^ 3.f est exprimé par k fracdon #^ »v

et cette fracùoo est égale à ^ divisé par 4*^ Récîproqaemeiit ^ diviser 49» par les facteurs 3 et 4 » revient à diviser /fi, par le produit 3 x 4} cas 43 divisé par 3, doxme %- «t 4- divisé par 4»^^ne ^ A ' dette démanttra* tioD peut s'étendre à an oomlyre ^çieleoiiqueile facteurs.

Théorie dés Décimales (ia* 65).

63. La simplicité dii calcul des nombres entiers , comparée iu Ta complication dû calcul des fractions , suffit pour faire apercevoir combien il serait «tile jd'àaBUJétîr les subdivisions de- Funité à une loi de décroissevient uniforme ; car on sent que c'est de cette uniformité que dépend la facilité des opérations derAritbmélique au^ les nomboes entière. On y est parvenu , en adoptait la «ubdîvisioa de runité principale , en parties dedix en dix fois plus petites^ que Ton nomme à cause de cela^ fractions décimales ^ on unités décimales ^ on décimales» Ce mode dé décroksement était ceilui. q^*iiidiquait la Md»ce de notre système de numération..

64* Le système des décimales iiest qu*Unê extension duu système adopté pour les nombres entiers; onaiconçu la série des dijférens ordres d'unités , continuée dé part et d^ autre dé tunîté principale. Par «xemj^ , oosmie en avangast succès-» sîvement d*Un rang vers la droite d*un nombre ^ on passe des ,ceutaines y aux dixièmes de centaines ou. dîxaines ; des dixaines , aux dixièmes de dixaines ou unités ; il est naturel de passer des unîtéa aux dixièmes â*iioité6 ou disàànes; de «euxHoi aux dixièmes ^e dixièmes ou centièmes; de ces der-* niées aux dixi^aes de centièmes on 7iu//iéme5; et aipsi de suite.

€5». Le système de Bnméjaatian fofirmt , "po&e-écrire lesjrac'^ iioMs décimales , une métbode analogue k celle qui a été exposée pour les nombres entiers , car un chiltre mis à la droite d'un autre j, exprimant des unités dijs fois plus petites (n** S), h

'4o NOTES j

premier chiffre , à droite des unités, exprimera des dixièmes; le second des centièmes , le troisième des millièmes; et c^nsi de suite. On a distiugaé le chiffre des uaités simples , en mettant une virgule de cette forme i sur la droite de ce chiffre. D*après cette convention^

^" ^ lO lo' ' ' loo' lOO lOOOO loooo'

/ e 4.5 4«> , 5 io5 0|04o5 = --^ -f- = -^ -f- ' = *-ï — .

* ^ 100 lOOOO lOOOO lOOOO lOOOO

SÎTon compare les nombres décimaux (^ ,

4t7 » OfO? 9 OfOioi , oto4o5, avec les fractions décimal^ équivalentes

47 7 loi joS lo' loo ' loooo' loooo'

on en déduira ces deux règles générales ( nos gg et 67 ) : '

66. Tout nombre décimal est équivalent à une fraction , dont le numérateur est le nombre décimal , abstraction faite de la virgule et dont le dénominateur est l'unité suivie d'autant de zéros vers la droite , qu'il y avait de chiffres sur la droite de la virgule. Ainsi ^ le nombre décimal Of0465 est équivalent

i la fraction — — , car on a

^ ^/«e 4 i 6 5 Loo , 60 , 5 4^5

Pto465 =3 — "h -f- — =s -^ — -f. — — -f- ' = -2 — .

100 1000 loooo fbOQO loooo loooo loooo