PREMIÈRE PARTIE

gland commua diviseur entre 1^8 et 12; mais ce dernier, divisant 13 et'-i8X a, ditîsera leur somme 48; îl divisera donc 48 €t iS; il ne poorra donc pas être plus gratid que le plu» grand commun diviseur entre 48 ôt 18. Le plus grand commun (^i^ur entre 48 et 18, ne pouvant pas être plus grand que éelui qui existe entre 18 et la , et le plus granid commun ditisét* entre 18 et 12, ne pouvant pas être plus grand qtle celtii àes nombres 48 et 1 8 , ces deux plus grands communs diviseurs ne peuvent pas être plus grands Tun que Fautre ; ils «ont dôttc égaux. ^ '

57. Leé mîftaes raîsônnemens pouvant s'appliquer à deux maabres quelconques , il est démontré que le plus grand commun diviseur entre deux nombres, est le même que le plus grand commun disdsêur entre le plus petit de ces deux nombres et le reste de Iq, division du . plus grand nombre par le plus petit. Cela -posé ; le plus grand commun diviseur entre; 48 et 18 , étant le mlrnê que celui des nombres 18 et la , la difficulté est diminuée, car il ne s*àgît'plus que de trouver le plus grand commun diviseur entre deux nombres , 18 et 12, respectîvement moindres que 48 et 18. Opérant donc sur 18 et 12 , comme sur les nombres proposés, on divisera 18 par 12} ce qui donnera 1 au quotient et 6 de rest^ ; or le plus grand commun cUviseur entre4&«t' 18 , est le mêxiie que celui des nombres 18 et 12 et ce dernier e&t le même que le plus grand commun diviseur entre lâ et 6; le plus grand Commun diviseur entre 48 <t 18 , eat donc enfin te même que celui des nombres 12 et 6 ; pour l'datenir , eq divisera 12 par 6 , c« qui doxm^a k ^piotiént ejxact 2 ; 6 est donc le plus grand eommun divise^ur e&tre 12 et 6; il l'est donc entre lei9 nombres^ proposés 48 et 18. Et en effet,, si Ton divise 48 et 18, pât 8, les quoMétts, 8 ef 3, n'auront plus de facteui^s communs^

58. On en déduit cette •règle générale : Pour trouver te plus grand commun diviseur entre deux nombres ; divisez le plus grande par le plus peiit ; si k reste ëst zéro , U plus petit nombre sem h divisçvr cherché ;- s'JLy a um tiesU / divisez /«

plus petit des nombres, proposés , par ce premier reste; si té reste de cette nouvelle division est zéro , le premier reste sera le diviseur cherché ; dans le cas contraire, diviser Je premier reste par le deuxième; si le troisième est zéro, le deuxième sera le diviseur cherché, et s il nest pas zéro , diviset le deuxième reste par le troisième. Continuant à diviser le reste de chaque division par celui de la suivante ,- jusquà ce que vous par-veniez à un quotient exact , le reste qui aura exactement divisé le reste précédent, sera le plus grand commun diviseur demandé. Lorsque ce reste est T unité, cela indique que les deux nombres proposés ri ont que Funité pour commun diviseur; .on dit alors qu'ils sont premiers entreux. Un nombre premier, est celai qui ai*est divisible que par lui-même et par l'unité.

Le plus grand commun diviseur, divise exactement tousJes restes des divisions.

Dans l'application de cette règle , on dispose les divisions auo* cessives les imes à la suite des autres, en plaçant chaque quotient au-dessus du dividende qui l'a fourni , et effectuant les soustractions, sans écrire les nombres à soustraire. £n voici des es^emples..

Dans ]aLpremière opération , où l'on cherchait le plus grand commun diviseur entre 46a et 33o , on a divisé , 46ft par 33o ; ce qui a donné 1 au quotient , et i3a de reste ; on a divisé 33o , par le premier reste i3a ; ce qui a donné a au quotient , et 6S pour deuxième reste -, la division du premier reste i3a , par le deuxième 66 , a donné le quotient exact a ; le reste 66 , qui a divisé exactement le reste précédent i3a , est le plus grand commun diviseur entre 46a et 33o.

Dans la seconde opération , où l'on se proposait de trouyer le plus grand conuuaa diviseur, e^tre 17 et g , on a âitisé sucoe««