DE LA MARINE ET DU COMMERCE
Notions préliminaires sur la nature et les différentes
espèces de Nombres.
1. VJn appelle, en général» quantité^ tout ce qui est suscep^ tible d*augmefitation ou de diminution. L*étendue , la durée , le poids , etc. , sont des quantités. Tout ce qui est quantité est de l'objet des Mathématiques ; mais l'Arithmétique , qui fait partie de ces aciences , ne considère les quantités qu'en tant qu'elles sont exprimées en nombres.
â, L'Arithmétique est donc là science des nombres : elle en considère la nature et les propriétés ; et son but est de donner des moyens aisés , tant pour représenter les nombres que pour les composer et décomposer ; ce qu'on appelle calculer.
3. Pour se former une idée exacte des nombres, il faut d'abord savoir ce qu'on entend par unité,
4. L'unité est une quantité que l'on prend ( le plus souvent arbitrairement ) pour servir de terme de comparaison à toutes les quantités d'une même espèce : ainsi lorsqu'on dit, un tel corps pèse cm<7 livres, la livre est l'unité, c'est la quantité à laquelle on compare le poids de ce corpâ ; on aurait pu également prendre l'once pour l'unité \ et alors le poids de ce corps eût été marqué par quatre-vingts.
B. Le nombre exprime de combien d'unitéa ou de parties d'unité une quantité est composée. ^
Anthm. Marine et Artillerie^ T. I. i.
• couns
Si la quantité est composée d'unités entières , le nombre qui Texprime s'appelle nombre entier; €t si elle est composée d unités entières et de parties de l'unité, ou simplement de parties de l'unité, alors le nombre est dit fractionnaire y ou fraction; trois et demi font un nombre fractionnaire ; trois quarts est une fraction.
6. Un nombre (|u'onénonfce.sans désigner l'espèce des unités, comme quand on dit simplement trois ou trois fois , quatre ou quatre fois y s'appelle un nombre abstrait ; et lorsqu*oa énonce en même temps l'espèce des unités , comme quand on dit quatre Jiôres, cent tonneaux, on l'appelle nombre concret.
Nous définirons les autres espèces d^ nombres à mesure qu'il «n sera question.
De la Numération et des Décimales.
7. La numération est l'art d'exprimer tous les nombres par i^ne quantité limitée de noms et de caractères : ces caractères «'appellent chiffres.
Nous nous dispenserons de donner ici le nom des nombres; c'est une connaissance familière à tout le monde.
Quant à la manière de représenter les nombres par des chiffres, plusieurs raisons nous engagent à en exposer les principes.
8. Les caractères dont on fait usage dans la numération actuelle, et les noms des nombres qu'ils représentent, sonttel« fju'on les voit ici.
zéi^, nn, deus/troif, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf.
Pour exprimer tous les autres nombres avec ces caractères, on est convenu que de dix unités on en ferait une seule, à laquelle on donnerait le nom de dixaines , etique l'on compterait par dixaines comme on compte par unités , c'est-à-dire, que l'on compterait deux dixaines, trois dixaines , etc., jusqu'à g: *l[ue pour représenter ces nouvelled unités, on emploierait le* ciêmei cMiTres que pour les unités (impies^ mais qu'on !«• e«
DE MATHÉMATIQtJES. S
ârstinguerait par la place qo*on lenr fei'ait occuper, en les mettant à la gauche des unités simples.
Ainsi, pour repf'ésfentcr cinquante-quatre, quirenferment cinq dhtaines et qiiatre unités , on est convenu d^écrire 54« Pour représenter soixante, qui contiennent un nombre exact de dixaines et point d'unités, od écrit 60, en mettant un zéro, qui marque qu'il n'y a point d*unités simpks, et détermine le chiffre 6 à marquer un nombre de dixaines. On peut, par ce moyen, compter jtisqu'à quatre-vingt^x-nenf inclusivement.
9. Remarquons, en passant, cette propriété de lanumératiofi actuelle ; savoir, qu'un chiffra placé à la gauche d'un autre, ou suivi d*un zéro, représente un nombre dix fois plus grand qtie s'il était seul.
Jo. Depuis 99 ou peut compter jusqu'à neuf cent quatre^ i^ingt 'dix-neuf , par une convention semblable. De dix dixaines on composera une seule unité qu'on nommera centaine , parce que dix fois dix font cent; on comptera ces centaines depnis un jusqu'à neuf, et or le$ représentjera par les mêmes chiffres , mais en plaçant ces chiffres à la gauche des dixaines.
Ainsi , pour marquer huit cent cinquante-^euf, qui con-^ tiennent huit centaines , cinq dixaines et neuf unités , on écrira 869, Si l'on avait huit cent neuf , quicontiennent huit centaines, point dé dixaines , et neuf unités , on écrirait 809 ; c'est-à-dire que l'on mettrait un zéro pour tenir la place des dixaines qui manquent. Si les unités manquaient aussi , on mettrait deux zéros : ainsi, pour marquer huit cents , on écrirait 800.
1 1 . Remarquons encore qu'en vertu de cette convention , un chiffre suivi de deux autres , ou de deux zéros , marque un nombre cent fois plus grand que s'il était seul.
1 2. Depuis neuf cent quatre-vin^t-dix-neuf on peut compter, par le même artifice , jusqu'à neuf mille neuf cent quatre-vingt^ dix-neuf en formant de dix centaines une unité qu'on appelle mille , parce que dix fois cent font mille ; comptant ces unités comme ci -devant , et les représentant par les mêmes chiffras pWoés à la gauche des centaines.
Ainsi, pour marquer sept mille huit cent cinquante-neuf, on écrira 7869; pour marquer sept mille neuf, on écrira 7009 , et pour sept mille, on écrira 7000 , où Ton voit qu'un chiffre suivi de trois autres^ ou de trois zéros ^ marque un nombre mille fois plus grand que s*ii était seul.
i5. En continuant ainsi de renfermer dix unités d'un certaia ordre , daùs une seule unité , et de placer ces nouvelles unités dans des rangs de plus en plus avancés sur la gauche , on parvient à exprimer d'une manière uniforme , et avec dix caractères seulement^ tous les nombres entiers imaginables.
14. Pour énoncer facilement un nombre exprimé partant de chiffres qu'on voudra, on le partagera, par la pensée-, en tranches de trois chiffres chacune» en allant de droite â gauche : on donnera à chaque tranche les noms suiyans, en partant de la droite, unités, mille, millions , billions, trillions ^ quatrillions, quintillions y sextillions, etc. Le premier chiffre de chaque tranche, en partant toujours de la droite, aura le nom delà tranche, le second celui de dixaines^ et le troisième celui de centaines.
Ainsi y en partant de la gauche, on énoncera chaque tranche 'Comme si elle était seule, et Ton prononcera à la fin de chacune le nom de cette même tranche : par exemple , pour é#ioncer le nombre suivant :
quatrillions, trillions, billions, millions, mille, unîtes.
On dira vingt-trois quatrillions , quatre cent cinquante -six trillions , sept cent quatre-vingt-neuf ^///iortJ, deux cent trentequatre millions , cinq cent soixante et cinq mille, quatre cent cinquante- six unités.
i5. Delà numération que nous venon* d'exposer, et qui est piiremenjt de convention, il résulte qu'à mesure qu'on avance de droite à gauche , les unités dont chaque nombre est composé, font de dix en dix fais plus grandes , et que par conséquent , pour rendre un nombre dix fois , cent fois , mille fois plus
grand, il soffit de mettre à la suite du chiflTré de ses uaité<j, un , deux , trois , etc. , zéros : au contraire , à mesure qu on ré— ^ trograde de gauche à droite ^ les unités soat de dix en dix fois plus petites.
16. Telle est la numération actuelle: eUe est là base de tontes les autres manières de compter, quoique dans plusieurs^ arts on ne s'assujétisse pas toujours à compter uniquement par dizaines, par dixaines de dixaines, etc..
17. Pour évaluer les quantités plus petites que l'unité quonr a choisie y on partage celle-ici en d'autres jinîtés plus petites. Lr nombre en est indifférent en lui-même ^ pourvu qa oir puissemesurer les quantités qu'on a dessein^de mesurer; mai&cequon doit avoir principalement en vue dans ces sortes de divisions , c'est de rendre les calculs le* plus commodes qu'il sera possible,;' c'est pour cette raison qu'au lieu de partager d'abord l'unité en un grand nombre de parties , afin de pouvoir évaluer les pi utpetites, on ne la part£|^e d'abord qu'en. un certain nombre de parties » et qu'on subdivise celles-ci ,en d'autres plus petites. C'est ainsi que dans les monnaies on partage la livre en ao par-* lies qu'on appelle sous y le sou en imparties que Ton appelle deniers* De même , dans les mesures de poids, on partage la livre en a. marcs y le marc en 8 onces y l'ouce en 8 groSy etc.; en sorte que dans le premier caaton compte par vingtaines et par douzaines; dans le second par deuxaines et par huitaines, etc..
18. Un nombre qui est composé de parties rapportées ainsi à différentes unités, est ce qu'on appelle un nombre complexe; et par opposition , celui qui ne renferme qu'une seule espèce d'unités , s'appelle nctmbte incomplexe. 8^, ou 8 livres , sont un nombre incomplexe. 8* 17*^8^ ou 8 livres 17 sous. 8 deniers, sont un nombre complexe.
13. Chaque art subdivide à sa manière>r»nïté principale qu'il s'est choisie. Les subdivisions de la. toise sont différentes de celles de la livre; celles de la livre, différentes de celles di» jour^ de l'heure; celles-ci différentes de celles, du marc; etain^ii
de suite : nous les ferons connaître lorsque nous traiterons des sombres complexes.
ao. Mais de toutes ks dmsioBS et subdiTisîons qu'on peut faire de l'unité, celle qui se fait par décimales , c'est-à-dire, en partageant l'unité en parties de dix en dix fois plus petites , est incontestablement la plus commode dans tous }es calculs (*). Elle est fort en usage dans la'pratique des Mathématiques; la formation et le calcul des décimales sont absotuBieirt les mêmeii que pour les nombres ordinaires ou entiers r nous alton» les faire connaître.
SI. Pour ëv^aluer en décimales les parties plus petites qu« l'unité, oh conçoit que cette unité , telle qu'elle aoit, livre'^ toise , etc. , est composée de dix parties , comme on imagine la djxaine composée de dix unités simples , ou comme on imagine la li^re composée de so sous. C«s nouvelles >iinités , par <oppo<sitioD aux dixaines , sont nommées dixièmes; on tes représenta par les mêmes chiffres '4}ue les unités s^iples ; et comme elles sont dix fois plus petites que ceHes-ci , on les place à la droite du chiffre qui représente les unités simples.
Mais pour prévenir l'équivoque , et ne point donner lieu de prendre ces dixièmes pour des unités simples , on est convenu €n même temps de lixer, imé fois pour toutes , la place des unités par «ne marque pai^Kïulière : celle qui est le plus eji usage est une virgule que l'on met à la droite du chiffre qui re« présente les unités, ou , ce qui est la même chose , entre les unités et les dixième ;,SLïn^i , pour marquer vinjgt^uatre unités et trois dixièmes ^ on écrira 24>3.
23. On peut , de même , regarder actue^Iemfent ]bs dixièmes comme des unités qui ont été formées de dix autres , chacune 'dix fois plus petite que les dixièmes , et par la même/raison d'analogie, les placer. à la droite des dixièmes. "Ces nouvelles unités, dix fois plu^ petites ^e les dixièines , seront cent fois
(*) Tdlcs sont !cs nouvelles divisions adoptées par le Gouvcrnemcnly divisions doM nous donnerons bientôt les dcnoimnaiions ce le csdcul.
pim pefitiss que le» unités principales; et pour cette raison ^. seront nonimées centièmes^ Ainsi , poiur marquer vingt-qiuUre' unités , trois dixièmes et cinq centièmes, on écrira û4,35v
â3. Concevons pareillement les c&itièmeSy comm«^ formé» de dix parties ; ces parties seront mille fois plus petites que Funité principale , et pour cette raison seront nommées mi/lièmes; et, comme dix fois plus' petites que les centièmes, oit les placera à la droite de celies-ci. En continuant de subdiviser ainsi de dix jen dix, on formera de nouvelles unités qu*on nom-*' niera successivement des dix-millièmes y cent-millièmes, mil^ lionièm^s , dix - millionièmes , cent - millionièmes ^ bilUo^ nièmes , etc. et qu*on placera 4ans des rangs de plus en plus reculés sur la droite de la virgule.
24* ^3 parties de Tiinité .que nous venons de décdre, sont ce que J*an appelle le* dA^imaies.
a5. Quant à la manière de l^s énoncer, elle ^est la même que p^ur les autres nombres. Après avoir énoncé les chiffres qui sont À la gauehe de la virgule , on énonce les décimales de la même manière^ mais on ajoute à la fin le nom des unités dé-' clmale^ 4â la dernière espèce : ainsi *, pour énoncer ce nombre, 34>572, on d[rait trente-quatre unités et cinq cent soixante, et douze millièmes; si c étalent xles toises^ par exemple, on dirait trente-quatre toises e^ pinq cent soixante et douze nUl^ lièmes de toise
La raison en e^t facile à Apercevoir, si Ton fait attention que dans le nombre 34>57a, le chiffre 5 peut indifféremment être rendu ou par c\nc^ dixièmes , ou par cinq cent millièmes, puis^ que le dixième (2i3) valait dix centièmes, et le centième (â5) yalant dix millième , le dixième contiendra dix foîs^ dix mi/lièmes y ou cent millièmes; ainsi les cinq dixièmes valent cinq cent mUJièmes, Par une rai^ion semblable, le chiffre 7 pourra s'énoncer en disant soixante et dix millièmes, puisque {oS} diSLque centième vaut dix -millièmes.
a6. A regard de l'espèce des unités du dernier chiffre, on la UrouTeca loi^ours facilement en comptant aucc(^ivement de
gauche à droite sur chaque chiffre depuis la virgule , les ootf»» suivans : dixièmes , centièmes , millièmes , dix millièmes , etc.
37. Si Ton n'avait pas d'unités entières ,- mais seulement dey ' parties de Tunité , on mettrait un zéro pour tenir la place de» unités ; ainsî^ pour marquer cetit vingt-cinq m,illièmeSf on écrirait o,ia5. Si l'on voulait marquer 25 millièmes^ on écrirait o,oa5 en mettant un zéro entre la virgule et les autres chiffres, tant pour marquer qu'il n'y a point de dixièmes , que pour donner aux parties suivantes leur véritable valeur. Parla même raison, pour marquer six dix-millièmes, on écrirait 0,0006.
28. Examinons maintenant les changemens qu'on peut faire naître âîkns un nombre, par le déplacement de la virgule.
Puisque la virgule détermine la place des unités, et que tons les autres chiffres ont des valeurs dépendantes de leurs distances à cette même virgule, si Ton avance la virgule d'une, deux , trois, etc. places sur la gauche, on rend le nombre 10, 100, 1000 , etc. fois plus petit; et au contraire on le rend 10, 100, 1000, etc. fois plus grand, si l'on recule la virgule d'une , deux , trois etc. places sur là droite.
En effet , si l'on a 43^7» 5264 , et qu'en avançant la virgule d'une place sur la gauche, on écrive 4^2, 70264, il est visible que les mille du premier nombre sont des centaines dans le nouveau ; les centaines sont des dixaines ; les dixaines , des unités f les unités , des dixièmes; les dixièmes, des centièmes ; et ainsi de suite. Donc chaque partie du premier nombre est devenue dix fois plus petite par ce déplacement. Si au contraire , en reculant la virgule d'une place sur la droite , on eût écrit 43275 ,264, les mille du premier nombre se trouveraient changés en dixaines de mille, les centaines en mille, les dixaines en centaines, les unités en dixaines, les dixièmes en unités, et ainsi de suite. Donc le nouveau nombre est dix fois plus grand que le premier.
29. Un raisonnement semblable fait voir qu'en avançant sur la gauche , de deux ou de trois places , on rendrait le nombre , cent ou mille fois plus petit , et au contraire, cent ou mille foi»
DE MATHÉMA'HQUES. 9
plus grand , en reculant la virgule de deux ou trois places sur sa droite.
3o. La dernière observation que nous ferons sur les décimales, est quon ne change point la valeur en mettant à la suite di^ dernier chiffre décimal tel nombre de zéros qu*on voudra. Ainsi 43> ^5 est la même chose que 4^ j 260, ou que 43, âSoo, ou que 43 , 225ooo , etc.
Car chaque centième valant dix millièmes ou cent dix-mil-^ lièmes , etc , les vingt-cinq centièmes vaudront deux cent cinquante millièmes ou deux mille cinq cent dix-m^illièmes , etc. En un mot, c'est la même chose que lorsqu'au lieu de^ dire 25 pistoles , on dit a5o livres , et que lorsqu'au lien de dire a5 quintaux, on dit a5oo livres.
Des opérations de VJlriihmétique.
Z\ , Ajouter; soustraire, multiplier et diviser, sont les quatre epérations fondamentales de l'Arithmétique. Toutes les questions qu'on peut proposer sur les nombres , se réduisent à pratiquer quelques-unes de ces opérations, ou toutes ces opérations. Il est donc important de se les rendre familières , et d'en bien saîâir Fesprk.
3â. Le but de. l'Arithmétique est, comme nous Tavons déjà dit, de donner des moyens de calculer facilement les nombres* Ces moyens consistent à réduire le calcul àea nombres les plus composés, à celui des nombres plus simples, ou exprimés par le plus petit nombre de chiffres possible. C'est ce qu'il s'agit d'exposer actuellement.
De V Addition des nombres entiers , et des Parties
décimales.
33. Exprimer la valeur totale dç plusieurs nombres , par un seul , est ce qu'on appelle faire une addition.
Quand les nombres qu'on se propose d'ajouter n'ont qu'un seul chiffre, on n'a pas besoin de règle-, mais lorsqu'ils ont plu-
î» COURS,
weurâ chiffres, on trouve leur valeur totale qu'on appelle sommé^ en observant la règle suivante.
Écrivez , le» uns sous le* autres , totts les nombres proposés^ de manière que les chiffres des unités de chacun soient dans une même colonne verticale ; qu'il en soit de même des dizaines , de même des centaines , etc. Soulignez le tout»
Ajoutez d'abord tous les nombres qui sont dans la colonne désunîtes; si la somme ne pasae pas 9, écrivez-la au-dessous; si elle surp^se neuf» elle renfermera des dizaines ; n'écrivez au-* dessous que l'excédant du nombre des dixaines : comptez ce» dixaines par autant d'unités , et a><n»tez-les avec les non^res de la colonne suivante : observez , à Regard de la somme des nombres de cette seconde colonne , la même règle qu'à l'égard de la première , et continuez ainsi de colonne en colonne jusqu'à la dernière , au-dessous de laquelle vous écrirez la somme telle que^ vous la trouverez. ÉcLaircissons cette rèjgle par des exemples.
EXEMPLE I
Qu'il, soit question d'ajouter .64925 avec floaS : j'écris ce& deux nombres comme on le voit ici.
5(1943 .soiyme»
Et après avxnr êoulrgné k tout , je commence par les unités ^ en disant : 5 et 3 foiît 8,* que j*écris sous cette même colonne.
Je passe à celle des dixaines , danslaquelle je dis : a et s font 4> n^® j*écris au'-^ssous.
A la colonne^des centaines ^ je db 19 e,t p font ^,j .qnfe j*écris. sous cette même colonne.
Dans la colonne des mille, je dis : 4 et a font G, que j'écris «o^d cette colonne.
Enfin , dans la colonne des dixaines de mille , je dis : 5 et rien font 5 , qtie j'ééris de même au-dessous.
Le nombre 56948, trouvé par cette opération , est la somme
DE MATHÉMATIQUES. ii
des deux' nombres proposé», puisqu'il en renferme leg unités , les dixaines, les centaines, les mille , et les dixaines de millo que nous ayons rassemblés successivement.
EXEMPLE II
On demande la somme des quatre nombre sui vans ;.... 6go3> 7854 > 953, 73^47 : je les écris comme on les voit ici,
a3o37 somme.
Et en commençant comme ci-dessus , par la droite , je dis : o et 4 font 7 , et 3 font 10, et 7 font .17 ; j'écris les 7 unités sous la première colonne , et je retiens la dixaine pour la joindre « comme unité , aux nombres de la colonne suivante , qui sont aussi des dixaines.
Passant à cette seconde colonne : je dis ; 1 que je retiens et o font I , et.5 font 6 , et 5 font 1 1 , et a/ont 1 3 ; j'écris 3 sous la colonne actuelle , et je retiens pour la dixaine une unité que j'ajoute à la colonne suivante, en disant : une et 9 font 10, et 8 font 18^ et 9 font 27, fit 3 font 3o ; je pose o sous cette colonne, et je retiens, pour les trois dixaines, trois unités que j'ajoute à la colonne suivante , en disant pareillement : 3 et 6 font 9, et 7 valent iG, et 7 font 23 j j'écris 3 sous cette colonne, et comme il u*y a plus d'autre colonne , j'avance d'une place les deux dixaines qui appartiennent à la colonne suivante , s'il y en avait une. Le nombre ^3o37 est la somme des quatre nombres proposés.
34* S'il y a des parties décimales, comme elles »e comptent^ ainsi que les autres nombres , par dixaines , à mesure qu'on avance de droite à gauche , la règle pour les ajouter est absolument la même , en observant de mettre toujours les unités ^^ ibême ordre dans une même colonne.
Ainsi , si l'on propose d'ajouter les trois nombres 72,957^» , n 2,8. .. 124,03, fécrirai
1 i ^ COURS
309,787 somme.
En suivant la règle ci-dessus, j'aurai 209,787 pour la somme.
De" la Soustraction des nombres entiers, et des
Parties décimales.
S5. La soustraction est Topération par laquelle on retranche un nombre d'un autre nombre. Le résultat de cette opératiom •*appelle reste ^ excès ^ ou différence.
Pour faire cette opération , on écrira le nombre qu'on veut retrancher au-dessous de Vautre, de la même manière que dans l'addition j et ayant souligné le tout , on retranchera, en pliant de droite à gauche , chaque nombre inférieur de son correspondant supérieur; c'est-à-dire les unités des unités, les dixaines des dixaines , etc. : on écrira chaque reste au-dessous , dans te même ordre , et zéro lorsqu'il ne restera rien.
Lorsque le chiffre inférieur se tsouvera plus grand que le chiffre supérijeur correspondant , on ajoutera à celui-ci dix unités qu'on aura en empruntant, par la pensée, une unité sur «on voisin à gauche , lequel doit , par cette raison être regardé comme moindre d'une unité dans l'opération suivante.
EXEMPLE I
On propose de retrancher 543a de 8954, j'écris ces deux sombres comme il suit :
35a2 reste.
Et en commençant par le chiffre des unités , je dis : 2 6té de 4 y reste a , que j'écris au-dessous : puis , passant aux dixaines , je dis > 3 ôté de 5, il reste 2, que j'épris sous le^ dixaines. A 1a
troisième colonne , je dis : 4 ôté de g , il reste 5 , que f écris soua cette colonne. Enfin à la quatrième , je dis : 5 ôté de 8 , il reste 3 , que f écris sous 5 , et j*ai 35aa pour le reste de 543a retranché de 89 54. .
EXEMPLE II
On veut ^ter 7987 àe 27646
On écrira 27646
19659 reste.
Comme on ne peut ôter 7 de 6 ^ on ajoutera à 6 dix unités qu'on empruntera en prenant une unité sur son voisin 4 > et on dira : 7 ôté de iS , il restera 9 qu'on écrira sous 7.
Passant aux dixaines^ on ne dira plus, 8 ôté de 4» mais 8 ôté de 3 seulement , parce que l'emprunt qu'oii a fait a diminué
4 d'une unité : comme on ne peut dter 8 de 5, on ajoutera de même à 3 dix unités qu'on empruntera , en prenant une unité sur le chiffre 6 de la gauche^ et on dira 8 ôté de i3, il reste
5 qu'on écrira sous 8. Passant à la troisième colonne , on dira de piême, 9 ôté de 5 , ou plutôt 9 ôté de i5 (en empruntant comme ci-dessus) , il reste 6 pour écrire sous 9.
A la quatrième colonne , on dira par la même raison , 7 ôté de 6 , ou plutôt de 16 y il reste 9 , qu'on écrira sous 7 ; et comme il n'y a rien à retrancher dans Ja cinquième colonne , on écrira sous cette colonne, non pas 2, parce qu'on vient d'emprunter une unité sur ce 2 , mais seulement 1 , et on aura 19669 pour le reste.
36. Si le chiffre sur lequel on doit faire l'emprunt était un zéro, l'emprunt se ferait, non pas sur ce zéro, mais sur le premier chiffre significatif qui vfendrait après ; or , quoique ce soit alors emprunter 100, ou 1000, ou loooo, selon qu'il y a un , deux ou trois zéros consécutifs , on n'en opérera pas moins comme ci-dessus; ç'est-à-dire qu'on ajoutera .«eulenient 10 au cbi(fre pour lequel on emprunte; et comme ces 10 sont
«ensés pris sur les lop ou iooo,\etc. qu'on a enïpruntés , pour employer les 90 ou les qgo , etc., cjui restent , on comptera les s^éros suivans pour autant de 9 ; c'est ce que t'exemple ci-après va éclairqir.
EXEMPLE m.
Si de 2ood4
©n veut retrancher 1 74^9
2575 reste.
On dira d'abord : g ôté de 4> ou plutôt de j4 (en empruntant sur le chiffre suivant) , il reste 5. Puis, pour ôter 8 de 5, comme cela ne se peut, et qu'il n'est gas possible non plu» ' d'emprunter sur le chiffre suivant qui est un zéro, on empruntera sur le 2 une unité, laquelle vaut mille à l'égard du chiffre «ur lequel on opère. De ce mille, on ne prendra que dix unités qu'on ajoutera à 5 , et oh dira : 8 ôté de 1 5, il reste 7.
Comme on n'a employé que dix unités sur mille qu'on a empruntées , on emploiera les 990 restantes , pour en retrancher les nombres qui répondent au-dessous des zéro^; ce qui revient au même que de compter chaque zéro comme s'il valait 9. Ainsi l'on dira : 4 ô^^^c de 9 , reste 5; puis 7 ôté de 9, reste 2 ) et enBff 1 ôté de 1 , il ne reste rien.
37. S'il y a des parties décimales dans les nombres sur lesquels on veut opérer, on suivra absolument la même règle; mais pour éviter tout embarras dans l'application de cette règle , il Vy aura qu'à rendre le nombre des chiffres décimaux le même dans chacun des deux nombres proposés ., en mettant un nombre suffisant de zéros à la suite de cejnî qui a le moins de décimales : cette préparation ne change rien à la valeur de ce nombre (3o).
EXEMPLE IV
De 54o3,ti'>
QiivtftttvteV 3o5,653a
DE MATHÉMATIQUES, i5
' Se mets d^ux zéros à la suite des décimales du sombre supérieur; après quoi fopèré sur les deux nombres ainsi préparés, précisément selon 1 énoncé de la règle do;anée pour les iK)mbres entiers.
54o3,a5oo
De la preui^e de V Addition et de la Soustraction.
38. Ce qu'on appelle preuve d'une opération arithmétique est une autre opération que l'on fait pour s'assurer de l'exactitude du résultat de la première.
La preuve de l'addition se fait en ajoutant de nouveau , par parties, mais en commençant par la gauche, les sommes qu'on a déjà ajoutées. On retranche la totalité dé la première colonne, de la partie qui lui répond dans la somme inférieure ; on écrit au-dessous le reste, qu'on réduit, par la pensée, en dixaines, pour le joindre au chiffre suivant de cette même somme, et di^ total on retranche encore la totalité de la colonne supérieure ; on continue ainsi jusqu'à la dernière colonne , dont la totalité étant retranchée ne doit laisser aucun reste.
Ayant trouvé que ci-dessus les quatre nombres.
GgoS
%nt pour somme. , a5o57 '
Pour vérifier ce résultat, j'ajoute les mêmes nombres en commençant par la gauche , et je dis : 6 et 7 font i3, et 7 font 30, lesquels ôtés de â3 , il reste 3 ou 3 dixaines , qui , avec lé chiiFre suivant zéro , font 3o. Je passe à la seconde colonne , et je dis : 9 et 8 font 17 , et 9 font aS, et 3 font ag , que j'ôte «fe 3o; il reste 1 ou unt di?caine qui, jointe au c^btiiFre su£*
î6 COURS
\ant 3 , fait 1 3. J'ajoute tous les nombres de la troisième colonne, en disant : 5 et 5 foiït lû^ et a font la , qui , ôtéti de i3 , il reste i ou une dixaioe, laquelle aj-eatée au chiffre suivant j, fait ly ; j'ajoute pareillement tous les nombres^ de la dernière colonne , en disant : 3 et 4 font 7 , et 3 font 10 , et 7 font 17, qui, ôtés de 17, il ne reste rien : d'où je conclus. que la première opération est exacte.
On est fondé à cqnclure que la première opération a été bien faite, lorsqu'après cette preuve il ne reste rien, parce qu'ayant ôté successivement tous les mille, toutes les centaines , toutes les dixaines ^ et toutes les unités , dont on avait composé la somme , il faut qu'à la tin il ne reste rien.
3g. La preuve de là soustraction se fait en ajoutant le rester trouvé par l'opéraîion, avec le nombre retranché : si la première opération a été bien faite , on doit reproduire le nombre dent on a retranché : ainsii que je vois dans le troisième exemple que nous avons donné ci-dessus, l'opération a été bien faire ^ parce qu'en ajoutant 17489 (nombre retranché) avec le reste ^575 je r<3produis 20064 ^ nombre dont on a retranché.
de 30064
ôtez «7489
reste 2675
preuve .... 30064
De la Multiplication,
40, Multiplier un nombre par un autre , c'est prendre !• premier de ces deux nombres autant de fois qu'il y a d'unité« dans l'autre. Multiplier 4 ^^^ 3, c'es^t prendre trois fois le nombre 4*
41. Le nombre qu'on doit multiplier s'appelle le multiplia cande; celui par lequel on doit multiplier s'appelle le multipti-^ cateur; et le résultat de l'opération s'appelle produit*
4^- Le mot produit a communément une acception beau- * coup -plus étendue y maict n^ous avertissons expressément quo
nous ne l'emploierons que pour désigner le résultat de la multiplication.
Le multiplicande et le multiplicateur se nomment aussi les facteurs du produit : ainsi 3 et 4 sont les facteUrs de 1 2 , parce que 3 fois 4^ont 13.
43» Suivant l'idée que nous venons de donner de la multiplication , on voit qu'on pourrait faire cette opération en écrivant le multiplicande atitant de fois qu'il y a d'unités dans le multipflicateur, et faisant ensuite Tadditton. Par exemple, pour ttitiltiplier y par 3^ on pourrait écrire
ai
Et k somitie ai résultante de cettô addition^ setait le produit.
Maib lorsque le multiplicateur est tant soit peu considérable ^ l'opération devient fort longue. Ce que nous appelons propre-* ment multiplication y est la méthode de parvenir à un même résultat par une Voie plus courte ^
44* Tant qu'on ne considère les nombres que d'une manière abstraite, c'est-à-dire sans faire attention à la nature de leurs imités , il importe peu lequel des deux nombres proposés pour la multiplication on prenne pour multiplicande ou pour multiplicateur. Par exemple, si l'oî^ a 4 à multiplier par 3 , il est indifférent de multiplier 4 par 3f ou 3 par 4\ ^^ produit aéra toujours la. En effet 3 fois 4 ^^ sont autre chose queé le triple de 1 fois 4 > et 4 fois 3 sont le triple de 4 fois i Or il est évident que 1 fois 4 et 4 fois ï , sont ta inênie chose et on peut appliquer le mêmç .raisonnement à tout autre nombrCé ...
45. Mais lorsque, parTénoneé de la question, le multîplî^ dateur et le multiplicande sont des nombres concrets , il importe de distinguer le multiplicande du multiplicateur : cette at-
Atiih. Marine et Artillerie, T. L 'a
i« CDiJiiiS
tentîoh est principalement nécessaire dans la multiplication det nombrea complexes, dont nous parlerons par la suite.
Au teste, cela est toujours aisé à distinguer : la question qui conduit à la^multiplication dont il s'agit , fait toujours connaître quelle est la quantité qu il s'agit de répéter plusieurs fois , c'est*à-dire , le multiplicande , et quelle est celle qui marque combien de fois on doit répéter le multiplicande, c'est-à-dire quel «st le ttiultiplibateur.
4S. Comme le multiplicateur est destiné à marquer combiem de fois on doit prendre le multiplicande , il est toujours un nombre abstrait : ainsi quand on demande ce que doivent coûter 5a toises de bois , à raison de 36 livres la toise, on voit que le multiplicande est 3S liv. , qu'il s'agit de répéter 52 fois , soit que ce 5fl marque des toises, ou toute autre chose.
4iJ* Le produit qui est formé de l'addition répétée du multiplicande, aura donc de« unités de même nature que le multiplicande (*).
Après cette petite digression sur la nature des unités du produit et de ses facteurs , revenons à la méthode pour trouver ce produit.
48. Les règles de la multiplication des nombres les plus con^posés , se réduisent à multiplier on nombre d'un seul chiffre par un nombre d'un seul chiffre. Il fout donc s'exercer à trouver soi-même le produit des nombres exprimés par un seul chiffre , en ajoutant successiven^nt un même nombre à lui*-même. On peut aussi, si on le veut, faire usage de la table suivante, qu'on attribue à Pythagore.
(*) Nous n''eii exceptons pas même la multiplication geome'triqae, don( nous ne parlerons quVn Géomëtrie, comme cela nous paraît assez naturel. Les nnitës du multiplicateur ne sont jamaii qat des unitcf al^traitet, comme dans toute aetre muUipli«atioB.
ïj
Tahle^ de Multiplication^
lO
la i5 i8
ao
ao
La première baade de cette table se forme ea ajbutant i i lui-même successivement.
La seconde en ajoutant a de même.
La troisième en ajoutant 3 > et ainsi de suite.
49* Pour trouver, par le moyen de cette tab}e, le produit d« deux nombres exprimés par un seul chiffre chacun , on cherchera l'un de ces deux nombres , le multiplicande, par exemple,, dans la bande supérieure , et en partant de ce nombre , on descendra verticalement jusqu'à ce qu'on soit vis-à-vis du mutiplicateur qu'on trouvera dans la première colonne. Le nombre fur lequel on sera arrêté sera le produit. Ainsi pour trouver^ par exemple, le produit de 9 par 6, ou combien font 6 fois 5 , je descends depuis 9 , pris dans la première bande , jusque vis* à-vis le 6 pris dans la premièi*e colonne : Ip nombre sur lequel je m'arrête est 54 '>, par conséquent 6 fois 9 font 54-
£n voilà autant qu'il en faut pour passer à la multiplicatioa des nombres exprimes par plusieurs chil&es.
fl.«
ao COURS
De la Multiplication p(tr Ufi ùé^Akre à^un seul
chiffre.
5o. Éafivôz le mîiltLpKcatetir , qta'oâ suppose îci d*un seul chiiFre , 90U5 le multiplicaitdie ^ peu impoirte sous quel cbiifre ; mais pour fi^er les idées , supposons que ce soit sous lé chifFre des unités. ^
Multipliez d'abord le nombre des unités par votre aiultiplicateur, et si le produit ne contient que des unités;, éctîvez ce produit au-dessous % s*il contieât des unités et des dtxaines , écrives seulanent les unités^ et comptant left>dixMifs pour autant d'unités , retenez ceHes-ci.
Multipliez I d^ même, lé' nombre de» dîxaânéi dit nlultiplî-* cande y et ^u prc^duit ajoutez les unités que vous avez retenues ^ écrivez le tout au-dessous , a*il peut être marqué par un seul chiffre , sinon n'écrivez que les unités de ce produit , et retenez- «n les dîxaiàes , qui sont des dentîlines , pour tes ajouter au produit suivant qui sera pareillement des centaines.
Continuez de multiplier successivement, suivant la même règle , tous les chiffres du multîplîcande ; la suite des chiffres que vèiM aurez écrits , marquera Je proiâuif .
EXEMPLE
^ On demande combien â86/( .toises valent de pieds ?La toise €stde 6 pieds. La question se féduit à prendre 528^4 P^^^^ ^ fois.' ' '
' 6 BluUSfkUcat^ar. Î7184; pnMknL^
Et je dis , en commençant par lés pnités, 6 fois 4 font a4 '^ î'écris 4 9 6t je retiens deux unités pour les deux dixames.
a°. G fois 6 font 36 , et 2 que j'ai retenues font 38 ; je pose ? et retiens 3.
DE MATHÉMATIQUES. sr
S^ 6 fois'S foat 48 > et 3 que j'ai retenues font 5i ; fe pose 1 , et j« retiens 5.
4°. 6 feb 9 font 19,^5 que fai retenues font 1 7 , qne f écris en entier, parce qu*il n*y a plus rien à multiplier. Le nombre. 1 7 1^4 ^^^ le produit demandé , au le nombre des pieds qne valent les q8S4 toises » puisqu'il renferme 6 fois les 4 unités , 6 fois les 6 dixaines, £ fois les 9 centaines ^^ et 6 fois les 9 mille ^ et par conséquent 6 fois le nombre 9864*
De ta Multiplication par un nombre de plusieurs
chiffjces.
5 1 . Lorsque le multiplicateur a plusieurs chiffres , il faut faire successivement, arec chacun de ces chiffres , ce que l'o:. \ !• . : de prescrire lorsqu'il- n'y en'a qu'un , mais en commença * jours par la droite. Ainsi on multipliera d*abord tous les r • du multiplicande par le chîflRre des unités du multiplie i^rr ^ puis par celui des dixaines; et Ton écrira ce second y tl nt sous le premier i mais comme il doit être un nombre de diy puisque c'est par des dixaines qu 011 rtnltiplie, on portera ' mier chiffre de ce produit sous les dixaines ', et les autres cl il toujours en avançant sur la gauche.
Le troisième produit , qui se fera en multipliant par l t^ne^ , 80 plj^cera de n^ême squs le second % mais en av ^ ^ -^epcore d'Une place ; on suivra U p^ôrtie loi pour les^uti .
Toutes ces n^ultipUcatiotis étant &ites.> on ajoutera h duits particuliers qu'elles ont donnés, et ia somme mx9i, le.iwoduit total.
E^XEMPLE.
On propose de multiplier 654^7
pw 6958
45565854S prodHÎt.
un* -^
ss COURS
Je multiplie d'abord 65487 par le nombre 8 des unités du mul-tlplicateur , et f écris successivement sous la barre les chiffre» du produit SsSB^G que )e ttouve en suivant la règle donnée pour le premier cas (5o).
Je multiplie de même le nombre 65487 parle second chifiFre 5 du multiplicateur, et f écris le produit 527435 sous le premier produit 9 mais en plaçant le premier cbifl&e 5 sous les dixaine» de ce pr,emier produit.
Multipliant pareilkmént 65487 par le troisième chif&e ^, f écris le produit SS^SBS sous le précédent, mais en plaçant le premier chiffre 3 au rang des centaines , parce que le nombre par lequel je multiplie est un nombre de cent^ine^.
Enfin je multipjie 65487 par le^^demier chiffre 6 du multipli-«« cateur , et j'écr^ le produit S^s^a^ sous le précédent, en avan-> çl^at encore d'une place , afi^ que son premier chiffre occupe la place des mille , p^rce que le chif&e par lequel on multiplie ijaarque des mille. Enfin j'ajoute tous ces produits , et j'ai ^55658546 pour le produit de 65487 multipliés par 6958, c'est- ^direpour la valeur de 65487 pris 6558 fois. En effet, on a pris 65487» 8 fois par la première opération , 5o fois par la fieconde , 900 fois par la troisième > et 600Q fois pajr la, qua-* trième* ^ . v
5fl. Si le multiplicande ouïe multiplicateur, ou tous les deux étaient terminés par des zéros , on abrégerait l'opération , en multipliant comme si ces zéros n*)r étaient point; mais on le^ mettrait ensuite tous à la suite du produit. '
EXEMPLE
On propose de multiplier 65oo
pw ,.^ 35o
Je multiplie seulement .65 par 35^ et je trouve 9^75, à ctoi
duquel j'écmte»^ troiâf zéros qui se trouvent > en tout^ à Ta suite du multiplicande et du multiplicateur.
£n effet lé multiplicande 65oo représente 65 centaines : ainsi qpiand on multiplie 65 , on doit sous-entendre que le produit •st des centaines. Pareillement^, le multiplicateur 35o marque 35 dixaines.. Ainsi quand on multiplie par 55^ on doit sous-en*-^ tendre que le produit sera des dixaines ; il sera donc des dîxaine» de centaines y c'est-à-dire dek biille; il doit donc avoir 3 zéros. On appliquera un raisonnement semblable à tous les cas.
. 53. Lorsqu'il se trouve des zéros entre les chiffres du multiplicateur , comme la multiplication par ces zéros ne donnerait que des zéros ^ on se dispensera d'écrire ceux-ci dans le produit ; et passant tout de suite à la multiplication parle premier chiffre aigniScatif qui vient après ces zéros , on en avancera le produit sur la gauche d'autant de places plus une , qu'il y a de zéros qui se suivent dans le multiplicateur; c'est-à-dire de deux placer i*il 7 a un zéro, de trois s'il y en a deux.
EXEMPLE
Si Ton » 4^0531
à. multiplier par • 3oo6 ,
i964o83ia.
Après avoir multiplié par 6^ et- écrit le produit sSaSist, oïl multipliera tout de suite pai; 3 ; mais on écrira le produit i a6 1 56» de manière qu'il marque des mille; il faudra donc 1q reculer de trois places., c'est-à-dire d'une place de plus qu'il n'y ade zéroa interposés aux chiffres du ipuHiplicateur.
De la multiplication des Parties décimalelSm
54. Pour multiplier les parties décimales , on observera la xQême règle que pour les nombres entiers , sans faire aucune «ttentioa à la virgule -, mais après avoir trouvé le produit» oa.
«n séparera $ur la droite , par une virgi?!^ , autant dg ejhiffres qu'il y .a de décimales , tant dans le multiplicande que d4»s If muUipliçateiir*
EXEMPLE I, Qn pvûpose de rnnUipIiçr.., 54)33
pav ,. ô,3 /. , .^
Je multiplierai 54^5 par 83. le produit sera 450109; et comme iky a deux décimales dans le multiplicande , et une dans le mul« tf plicaleur ,")e séparerai troîS' ckifires sur la droite de ce produit, ^i- par là deviisndra 4B0, 105 , tel quil doit être.
. La raison de cette règle est facile à saisir , en obsetrant que si le multiplicateur était 83^ le produit n'aurait en décimales q«e dps centièmes , puisqu'on aurait répété 83 fais le multi-^
• plicaude 54)23 dont les décimale^ sont des centièmes ; mais comme le multiplicateur est 8,3 c'est-à-dire (21 ) dix fois plus petit que 83 , le produit doit donc avoir des unités dix fois , plus petites que les centièmes ; le dernier chiffre de ces décimales doit donc (sS) être des millièmes; il doit donc y avoir trois chiffres décimaux dans ce produit, c'est-^à-dire autant qu'il y en a, tant dans le multiplicande que dans le multiplia
' cateur. ^
On peut appliquer un raisonnement semt>]able à tout autp^ cas.
\ EXEMPLE II
Si Ton aTâît... ..,,..,, ^ 9, la
à lualttplier par o,3
On i^uItipHerait la par 3, ce qm! donneiait 36. Gomme la règle prescrit de séparer ici trois chiffres , on pourrait être emhariassé à y satisfaire , puisque ce produit 36 n'en a ^e deux ; mais si l'on reprend le raisonnement que nous avons appliqué à l'ex€i;aiple précédent^ on verra facilement qu'il faut ^ comme
TABLE RAISOl^NÉE
