NOMBRES ABSTRAITS

Nombres entiers.

'ARiTHBiéTiQUE a poiir bat d'effectuer dÎTerses opérations sur les nombres. Le nombre est Tassemblage de plusieurs unités de même nature. Uunité est vn terme de comparaison entre plusieurs quantités de même espèce. 0« entend par quantité, tout ce qui est susceptible d'augmentation et de di- BÛnution. La suite des nombres est illimite'e. !N^ I....3.

La iruMÉRATioN offre trois parties : la formation des nombres , les noms des nombres et leur écriture en chiffres. Pour e'crire tous les nombres, ayee dix chiffres, on est convenu qu^en avançant successivement d'un rang veis la 'gauche d'un nombre, les chiffres exprimeraient des unités de dix en dix fois plus grandes. lH*** 4****^* *

Kègleé générales pour écrire en chiffres unnombre énoncé et pour énoncer un nombre écrit en chiffres. N^s 9. . . . ii.

Un nombre est abstrait, quand on fait abstraction de la nature de ses unités. Un nombre est concret, lorsqu'on désigne l'espèce de ses unités. Dans toutes les questions de l'Arithmétique, la nature des unités du résultat étant connue d'avance , il suffit d'en déterminer le nombre. Tout se réduit donc à opérer sur des nombres abstraits,. N^ la.

Le but de /'additioit est d'obtenir un nombre qui contienne à lui seul toutes les unités de plusieurs autres nombres. On commence l'additioa par la droite, et pour obtenir le résultat, il suffit d'ajouter successivement , un nombre d'un seul chiffre à un nombre connu ; ce qui exige beaucoup d'habitude, W"»» i3 et 14.

Dans la sovsTHA.C'tiovi , on se propose , connaissant la somme de deux nombres et Vun de ces nombres, de trouver L'autre nombre, La différence! entre deux nombres, ajoutée an plus petit de ces deux nombres, donne le plus grand. On doit commencer par la droite^ I.* caleol se réduit à

ÎV TABLE

retrancher des nombres d^pn seol chiffre, des nombres moindre^ qne t^* La soustraction est donc plus facile qne l'addition. ]\o* i5 et 16.

Le but de ta multiplication est de prendre un nombre^ nommé mul^ tiplicandCf autant de foi^ qu'il y a d'unités dans un autre nombre , nommé multiplicateur ', le résultat se nomme produit» Le multiplicateur est essentiellement abstrait. Le produit est de même nature que le multiplicande. Vn produit ne change pas de valeur, dans quelque ordre qu'on effectue les multiplications. Pour être en état d'effectuer les multiplications les plus composées , il suffit de connaître tous les produits deux à deux des nombres d'un seul chiffre. No*'i7. . . .a6.

Le but de /a niTisiOH est, connaissant un produit, nommé diwi" dende , et Pun de ses facteurs, nommé^diuiseur , de trouver Vautra facteur , appelé quotient. La démpustration de la règle à suivre pour effectuer la division, repose sur les principes suivans : i**. quand le diviseur est abstrait, le quotient est de la nature du dividende j a°. le produit des Unités, dizaines, centaines, etc., du diviseur, par le quotient, doit donner les unités, dixaines, cents^ines, etc. , du dividende. Il faut commencer 1» division par la gauche. Cette opération se réduit à calculer des quotiens partiels d'un seul chiffre. Le dividende est égal an produit du diviseur pac les unités du quotient, plus le dernier reste» N«s 37. .. .3i.

Preuves des quatre règles. Le but de la preuve est de vérifier l'exac* titnde du résultat, par un calcul qui diffère du procédé qui a conduiK à ce résultat. On risquerait en recommençant le même calcul , de répéter la même erreur, ce qui em^^chei^nit de l'apercevoir. Pj^3si.

Fractions.

Quand nne division ne peut pas s'effectner exactement, le quotient s« compose, d'un nombre entier, et à^une fraction qui exprime la valeur du dernier reste divisé par le diviseur. La valeur d'une fraction s'obtient paiement, ou en divisant le numérateur par le dénominateur, ou en divisanC i'unité en un nombre de parties égales marqué par le dénominateur et pre^ nant autant de ces parties qu'il y a d'unités dans le numérateur. Pfo* 33.. ..37.

Les fractions de même dénominateur, étant composées de parties égales, et le nombre de ces parties .étant indiqué par chaque numérateur, il en résulte que pour ajouter ou pour soustraire des fractions de même dénomina» leur, il suffit de former la somme ou la différence des numérateurs et d'affecter le résultat du dénominateur commun. Quand les fractions li'ont pas le métne d/enominateur , cette règle ne peut pas s'appliqper; il faut donc chercher à les réduire au même dénomm^teur , sans.changer leurs valeurs. Cette réduction est fondée sur ce principe, tp^^' une fraction nm change pas de valeur, quand on multiplia ou quand on diyis9 S9S dewe

RAISONNEE. t

termes par un même nombre» Pour réduire plusieurs fractions au même dénominateur j il suffit de multiplier successiifement les deux termes de chacune, par le produit des dénominateurs différens de toutes les tiutres. No» 38. . . .40.

' Pour multiplier plusieurs fractions entr*6lles , on divise le produit des numérateurs, par celui des dénominateurs. Pour diviser par une . fraction , il suffit de multiplier le dividende , par la fraction diviseur renversée. On obtient la valeur d* une fraction de fraction, en formant le produit de toutes les fractions sfinples qui entrent dans son énonce'. K*»* 41.... 46.

Lorsqu'on veut ope'rer sur des fractions, jointes h des nombres entiers, on réduit les entiers en fractions, en donnant Tunité pour dénominateur à chaque entier. La preuve des quatre règles , s'effectue comme pour les nombres entiers , en observant que dans la preuve de l'addition , la première colonne à droite devient celle des fractions. K*>» 47* • • «Si.

On dit qu'une fraction est irréductible , ou réduite à sa plus simple expression , quand elle ne peut être exprimée exactement par des fractions ayant des termes moindres. Pour réduire une fraction à sa plus simple expression , il suffit de diviser ses deux termes par leur plus grand commun divi^ seur. La recherche du plus grand commun diviseur entre deux nombres ^ repose sur les principes suivant : io« Quand plusieurs nombres ont un di^fiseur eommun , teur somrtïe a le même diviseur; a«. le diviseur d'un nombre, en divise exactement les multiples; 3*. Lorsqu'une somme est composée de deux parties, tout nombre qui divise la somme et Vune de ses parties , divise nécessairement Tautre partie ; 4*^* ^^ pl^^ grand commun diviseur entre deux nombres est le même que le plus grand commun diviseur entre lé plus petit de ces det^x nombres et le reste de la division du plus grand nombre par le plus petit. On en dcduit que, pour trouver le plus grand commun diviseur entre deux nombres ,,il suffit de diviser successivement , le plus grand nombre par le plus petit , ce dernier nombre par le premier reste , le premier rest9 parle second, et ainsi de suite. Le reste qui divise exactement le reste précédent, est le plus grand commun diviseur demandé. Le plus grand commun divisenr, divise exactement tous les restes. On dit qu'un nombre est premier , lorsqu'il n'est exactement divisible que par lui-même et par l'unité. Des nombres sont dits premiers entr^eux , lorsqu'ils n'ont aucune facteurs communs ; leur plus grand commun diviseur est donc égal à l'anité«

^••Sî,. ..59.

Le nombre de divisions à efibctuer, pour obtenir le plus grand commun diviseur entre deux nombres, ne peut jamais excéder le plus petit de ces deux nombres. Le plus grand CQmmun diviseur entre plusieurs nombres y étant le produit de tous les facteurs communs à ces nombres , on en déduit ^e, pour trouver le plus grand commun diviseur entre plusieurs nombres »