Réciproquement, lorsque /(a:) est une fonction con
linue, on démontre que la dérivée /'(a?) est, en général, ellemême une fonction continue, sauf pour des valeurs toutes spéciales de la variable j?, pour lesquelles elle peut devenir infinie, indéterminée ou discontinue. Ces valeurs spéciales de X correspondent à leur tour à des directions particulières de la tangente à la courbe j=/(^).
Nous laissons de côté cette démonstration, longue et délicate, que les faits vérifient constamment.
Théorèmes généranx.
538. I. Une quantité constante, c'est-à-dire indépendante de x^ a une dérivée constamment nulle, puisque, quel que soit l'accroissement h donné à la variable Xy l'accroissement correspondant k de la fonction n'existe pas.
Mais il n'est pas évident que toute fonction dont la dérivée est constamment nulle se réduise à une constante.
Pour établir celte importante réciproque, nous démontrerons d'abord le théorème suivant :
539. II. Le rapport des accroissements simultanés et finis H et K de X et de y, dans un intervalle où la fonction y ^=:f(x) est continue et oii sa dérivée conserve des valeurs déterminées, est une m^oyenne entre toutes les valeurs prises par la dérivée f^{x), lorsque la variable parcourt l'étendue renfermée entre ses valeurs extrêmes x et x-^VL,
Si nous donnons à x^ en restant dans l'intervalle considéré, un accroissement fini II, il en résultera pour j^ un accroissement également fini K (^58).
Nous pourrons alors faire passer la variable de sa première valeur a? à sa dernière a? -h H par une suite d'accroissements de même signe hi, ^,, h^, . . . , /i„. Les accroissements correspondants de la fonction y seront ki, X-,, A:,, . . ., kn. Nous aurons donc
H = A,-4-/l,-4-//,-h.. .-t-/i„, Kr=zki-h k^-^- ki-h,.,-hk„.
D'après un théorème connu (3W), il en résulte
K Â:^-h A-, -hA-3-f-,..4-A-n /^ ^ ^ ...,^Y
H "~"/ii-i-/i,-t-/i3-i-...-h/<« "~°^^^\/ii' /i/ A3* ' A/i/
et cette égalité reste vraie, quelque grand que soit n. Mais,
quand n croît indéfiniment, les éléments Ai, h^y A3» -•••/'«
tendent vers zéro, et les rapports -Ai -Ay -^^ "-'> -A tendent
eux-mêmes, autant qu'on veut, vers les valeurs prises successivement par la dérivée /'(^), pendant que x parcourt d'une manière continue retendue renfermée entre a? et a? 4- H. On peut donc écrire à la limite, en employant une notation expressive,
54-0. III. Toute fonction dont la dérivée est constamment nulle se réduit nécessairement à une constante.
Supposons, en effet, en nous reportant au théorème que nous venons d'établir (539), que la dérivée /'(:r) soit constamment nulle dans retendue considérée. Tous les rapports
7^' IT' JT^ " '' "T ^"''^'^^ alors respectivement zéro pour limite. Il en sera donc de môme de leur moyenne; et, comme cette moyenne est une quantité constante, elle sera rigoureusement nulle. Il résulte, par conséquent, de l'équation (i) du n*' 539 que l'accroissement K de la fonction sera aussi constamment nul pour l'étendue considérée ou pour toute partie de l'intervalle proposé, c'est-ù-dire que, dans cet intervalle, la fonction y-^f(^x) se trouvera réduite à une constante.
Graphiquement, on voit que la fonction
y = const.
est représentée par une droite parallèle à l'axe Oj?, et que
les rapports j^y jr^ IT^ " '^ IT ^^^^ rigoureusement nuls.
54-1. Si tous les rapports — j -7-*) t^> * • •> t^ tendaient vers
A, Aj Aj A„
l'infini, leurs rapports inversés i}y -r-^ t^ " '^ IT tendraient
vers zéro.
D'après ce que nous avons dit des fonctions inverses {hhk), il est évident que, dans ce cas, c'est la fonction x {y étant regardée comme variable indépendante) qui devient une con
stante, et qu'elle est représentée graphiquement par une
droite parallèle à Taxe Oy. Les rapports tt» 7r> 7r> ' * •' tt
k k sont alors rigoureusement nuls, et les rapports y- y •—>
-Ti - . ., -^ rigoureusement InQnis.
542. D'après ce qu'on vient de voir (54-0, 541), si le lieu de
l'équation jK=/(^)» supposé réel et continu dans un certain
intervalle, ne renferme aucune portion de droite parallèle à
k l'un des axes, le rapport -r aura nécessairement une limite
finie différente de zéro quand h tendra vers zéro, et les deux infiniment petits A et A: seront du même ordre, sauf peutêtre pour certaines valeurs particulières de la variable.
Les cas exceptionnels où l'on aura lim y =: o ou lim r = <»
correspondront précisément, comme on le verra plus tard
{Géom, anal., t. V), les axes coordonnés étant rectangulaires
ou, plus généralement, rectilignes, aux points où la tangente
à la courbe qui représente y •=Lf{x) se trouve parallèle à l'un
ou à l'autre axe*
543. IV. Lorsque deux fonctions /{x)^ Y{x) ne diffèrent que par une constante, pour les valeurs de x comprises dans un intervalle donné ou elles sont continues, leurs dérivées sont égales pour ces mêmes valeurs de x.
Réciproquement, si les dérivées f'{x), ¥'{x) de deux fonctions f{x), F (a?) sont égales entre elles pour les valeurs de x com.prises dans un intervalle donné où elles sont continues, ces fonctions ne peuvent différer que par une constante pour ces mêmes valeurs de x.
Soit, en effet, d'une manière générale, <^{x) la différence des deux fonctions considérées. De la relation
qui a lieu pour toute valeur de x comprise dans Tintervalle proposé, on déduit, en donnant à la variable l'accroissement A,
(a) (^(a!-^h)z=:f{x^h)— ¥(x-hh).
//X ALGEBRE SUPÉRIEURE.
Il en iL^sulte évidemment, en retranchant Tégalilé (i) de l'égalité (2^;. et en divisant ensuite par h les deux membres de régalité résulj^'^^e»
Il %^ ^' ''
En faisant tendre ilïïttntenant h vers zéro, on a, à la limite (53iih), (3) 9'(ar)=/Hl)-^'(^)-
Si 9(j?) est une constante, on a 9'!^) = ^ (*3^)' et régalité (3) donne \
Réciproquement, si Ton 9. f'{x)=.V\^ Tégalité (3)
donne
et Ton a <p(j?) = const. (54-0).
^és par 544.. Remarque. — Nous terminerons ces généraln ^
une remarque qui n'est pas sans intérêt : ^
Si la dérivée de la fonction y=zf{a^) est continue danS certain intervalle comme la fonction elle-même, le sig qu'on donne à V accroissement h de la variable à partir d'ut valeur de x comprise dans V intervalle et telle que x-hf et X ^ h y soient aussi renfermées n'influe pas sur la valeur que prend f {x) pour la valeur attribuée à x.
Donnons à h une valeur positive et soit
lim|=/(x).
Soit, maintenant. A:, Taccroissement pris par la fonction / quand on donne à x l'accroissement — h. 11 faut trouver ia
limite de — ^'
Or, si, en partant dex—h, on donne à la variable l'accroissement h, on retombe sur x. Comme on retombe alors atfss sur y, il faut que la valeur de la fonction qui correspond a? — A croisse en même temps de — A-j. On a donc, à la foîf*
lim^=/(a7) et lim:::^=limA. = r(^-'^)-
ÀLGÈBKE SUPÉRIEURE. 44^
Mais, par hypothèse, la fonction dérivée restant continue
dans l'intervalle considéré, /'(a? — ^) et /'(a?) diffèrent d'une
quantité infiniment petite, si h est infiniment petit. Par
suite (530), f'{x) peut être regardée aussi bien comme la
limite de -~t que comme celle de j •
Définition de la différentielle.
545. L'accroissement, positif ou négatif, d'une variable quelconque, indépendante ou non, est appelée la différence de cette variable ; et on le désigne, en général, par la caractéristique A suivie de la lettre qui figure la variable.
Ainsi, les accroissements ou les différences des variables ^yyy ^j " - seront représentées par
Nous avons dit précédemment (534) que les fonctions /(x), F(^), ?(^)> . • . ont) pour notations de leurs dérivées,
J'{x), F(^), ?'(vr), ...,
ou, encore,
D/(x), DF(x), Dcp(x), ,..,
ou, d'une manière générale, y étant la fonction de x dont il s'agit,
Dr-
Cela posé, d'après la notation des différences et la définition des dérivées (534), on peut écrire, pour toute fonction yz=zf{x)y et Aj? tendant vers zéro.
Par conséquent, avant d'arriver à la limite qui conduit à la dérivée, c'est-à-dire avant de supposer Ix infiniment petit ou aussi proche de zéro qu'on voudra, on aura, en désignant par a une certaine quantité, fonction de x et de Ix, tendant vers zéro en même temps que Ax,
et
(2) Avn:/'(J7) Aj7 -h a Aj?.
C'est là une relation très importante et très utile.
$k6. Admettons à présent qu'on fasse tendre Aj? vers zéro.
La relation (2) (5^5) montre que l'accroissement infiniment petit d'une fonction continue quelconque peut être regardé comme composé de deux parties
f'{jr) Ao: et a Aj7.
Comme /'(^) ^st supposée avoir une valeur finie difiTérente de zéro et bien déterminée, si l'on prend A^ comme infiniment principal, la première partie est un infiniment petit du premier ordre et la deuxième partie est un infiniment petit d'ordre supérieur (521, 2^).
Or, d'après le principe fondamental de la méthode infinitésimale (530), les limites de rapports ou de sommes d'infiniment petits ne sont pas modifiées lorsqu'on remplace ces infiniment petits par d'autres qui en diffèrent respectivement de quantités infiniment petites par rapport à eux-mêmes. Il en résulte que, toutes les fois que A/ entrera dans un calcul comme terme d'un rapport ou d'une somme d'infiniment petits dont on cherche la limite, on aura le droit de le remplacer
par
c'est-à-dire de lui substituer le produit de la dérivée de la fonction y par l'accroissement infiniment petit de la variable indépendante.
54.7. On donne le nom de dijfférentielles à ces quantités plus simples que l'on peut substituer aux difi'érences infiniment petites des fonctions.
Elles sont évidemment plus simples, puisqu'on néglige dans ces différences, sans aucun inconvénient relativement à la recherche que l'on poursuit, le terme a Ajc, en général extrêmement compliqué. Et ce sont, en réalité, les plus simples possibles, puisqu'elles sont le produit du facteur Ax qu'on ne peut évidemment supprimer par une fonction où ce facteur n'entre pas.
Les différentielles, quantités infiniment petites substituées
aux dijférences infiniment petites des fonctions dans les cas indiqués, sont désignées par la caractéristique d^ substituée elle-même à la caractéristique A.
On a ainsi
(3) dy:=::f{x)lx
OU
Par conséquent, le rapport de la différentielle dy à V accroissement ^x de la variable est égala la dérivée de la fonction y :=f{x) ou à la limite du rapport de la différence Aj>' de la fonction à ce même accroissement A^r.
C'est ainsi que la recherche des différentielles et des dérivées ne forme qu'une seule et même question.
^hS, Supposons que la fonction y soit la variable x ellemême, c'est-à-dire qu'on ait
y=zx
OU la plus simple de toutes les fonctions. On aura alors constamment
Ay = A^, f'{x) — i, dy—^x{^M).
La différentielle de y ou celle de x est donc, dans ce cas, identique à Ao?, et Ton a alors
dx =z Ax.
[Si Ton avait
on aurait constamment
A/ni — A^, /'(^)=— I, rfx = — Aj7,
et la différentielle de / serait identique à — Aar].
Comme il est naturel d'employer une seule caractéristique quand cela est possible, nous conviendrons, toutes les fois que nous aurons à prendre la différentielle d'une fonction de X, de représenter par dx l'accroissement arbitraire (mais inGniment petit) de x. Mais, lorsqu'il s'agira des accroisse-
inents exacts on des différences des fonctions désignées par la caractéristique A, nous représenterons par ^x l'accroissement de X, qui pourra être alors fini ou infiniment petit.
5^9. D'après cette convention, on aura {Z bis) dyz:^f\x)dx
et
dy Et Ton voit que l'expression ^ peut être considérée indifféremment, soit comme le quotient de dy par dx^ soit comme
Av un symbole représentant (Si-S) la limite du rapport -p--
Sous ce dernier point de vue, la formule (3 his) peut encore
s'écrire
La dérivée /'(a?) étant, d'après la formule (3 6m), le quotient de la différentielle de la fonction par la différentielle de la variable, on lui a souvent donné le nom de rapport ou de coefficient différentiel àQ la fonction.
D'après cette même formule, la différentielle de la fonction étant le produit de sa dérivée par la différentielle de la variable, qui ne peut pas être nulle, les théorèmes généraux relatifs aux dérivées, qu'on a démontrés aux n^* 538, 540, 543, s'étendent immédiatement aux différentielles.
550. La différentielle est susceptible, comme la dérivée (535), d'une représentation géométrique.
Reprenons la fig. 5 (p. 439), et soit la courbe AMB qui représente la fonction / = /(^). rapportée aux deux axes Ox etO^. On a (535)
UnglMN = lim I = lim ^ =/'(«).
On a aussi
IN = MN tangIMN = /'(^) Ao? = dy (547),
AI^GËDRE SUPÉRIEURE.
Nous voyons par là que la différence de la fonction, A^ - A-, étant représentée par M'N, sa différentielle dy est représentée par IN.
Ainsi, remplacer la différence par la différentielle revient, lorsqu'on cherche quel est Taccroissement de Tordonnro pour un accroissement infiniment petit de l'abscisse en partant du point M, à substituer, dans une étendue inOniment petite, à la courbe elle-même, sa tangente (525).
Fig. 5.
551. L'avantage que peut présenter l'emploi des différentielles sur celui des dérivées, c'est que, dans la fornnde (3 6w)(5W)), dy et dx figurent absolument de la même manière.
y étant une fonction de x^ Tune des différentielles dy et dx est arbitraire, et leur rapport est égal à celui des accroissements infiniment petits que peuvent prendre simultanément les deux variables.
Or, d'après ce que nous avons dit des fonctions inverses (4W), rien n'oblige de prendre pour variable indépendante Tune des deux variables plutôt que l'autre, quand il s'agit dos différentielles, tandis (|ue l'emploi des dérivées exige nécessairement qu'on ait fait un choix, la dérivée n'ayant un sens déterminé que lors(|u'on sait par rapport à (|uelle variable on la prend.
Si l'on part de la relation
dy-^ f'[x) dx el si c'est x qjii est la variable dépendante, si c'est .r qui est
ï)e C. — Cours. III. a,)
45o ALGÈBRE SCJPÉIIIEtTRE.
regardée comme une fonclion de /, on en déduit immédiatement
C'est dy qui reçoit alors une valeur arbitraire infiniment petite, et dx s'ensuit.
On comprendra tout à fait l'importance de cette remarque, lorsque nous parlerons plus loin des dérivées et des différentielles des fonctions inverses.
552. Nous terminerons ces notions fondamentales en observant qu'on peut avoir à considérer, dans une même question, une variable indépendante x et plusieurs fonctions^, 5, w, r, ... de cette variable.
Représentons par A/, Ac, Aw, Ai^, . . . , les accroissements pris par ces fonctions ou leurs différences pour un même accroissement ou une même différence ^x ou dx de x. Leurs différentielles dy^ dz, du, dvj . . ., seront toutes dans des rapporis constants avec dx et, par conséquent, les unes avec les autres, quand dx tendra vers zéro (549). Ces rapports constants sont d'ailleurs les limites des rapports des différences correspondantes, qui ne diffèrent alors des différentielles que de quantités infiniment petites par rapport à ellesmêmes (547).
On a, par exemple,
rftt
et --7- est la dérivée de u par rapport à y, quelle que soit
d'ailleurs la variable commune à laquelle on ait rapporté les différentielles du et dy.
Si l'on a u=if(x) eiy=iF{x), on a aussi (549)
du^=f'{x)dxy dy=zW{x)dx, c'est-à-dire (i)
(2) \>yU=zÇ-^^
On peut donc énoncer celte proposition :
La dérivée d'une variable u par rapport à une autre
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 4^1
riable y est égale au rapport des dérivées de u et de y prises relatis^ement à une même variable quelconque ût, dont elles sont regardées comme dépendantes.
553. Nous engageons le lecteur à bien s'assimiler avant tout les généralités qui précèdent. Ce n'est qu'à cette condition qu'il pourra étudier avec fruit les Chapitres qui suivent.
Nous allons, dans ces Chapitres, passera la recherche pratique des dérivées et des différentielles, que les détails dans lesquels nous venons d'entrer nous permettront de ne plus séparer.
/\0'À ALGEBRE SUPÉRIEURE.
