Nous démontrerons encore ce théorème

Soient les fonctions ou les formes linéaires et homogènes

q4 algèbre supébieure.

des n variables x^ ^j» ^it • • • » ^m

Pour qu'il y ait une relation linéaire et homogène entre ces formes X„ X„ . . . , X;„ il faut et il suffit que le déterminant A des coefficients des variables correspondantes x^ j:,, . . . , Xn, soit égal à zéro.

En effet, si Ton suppose A = o, les équations

Xi = 0, Xj=:0, ..., X^niiO

formeront un système indéterminé et admettront nécessairement, pour Xi, x^, 0-3, ..., x„, des solutions non nulles (101). Si Ton désigne une de ces solutions par «j, «s, «3, ..., ««• on pourra évidemment écrire, pour cette solution,

a,Xi-+- «2^1-1- «3X3 + . . .4-aftXn=o,

relation linéaire et homogène entre Xi, X,, X,, . . ., X^.

Réciproquement, si une pareille relation d'identité existe pour des valeurs «i, «i, «3, ..., ««, de x^ j?„ cr,, ..., Xn, différentes de zéro, les équations Xi = o, Xi=:o, . . ., X;,=:o, admettent des solutions non nulles. Elles forment donc un système indéterminé, et l'on a A = o.

Applications.