Réciproquement, si l’erreur relative est donnée plus

netite nue ■> K' étant inférieur à 10, et si K est le pre-

* ^ K' X ' or

mier chiffre à gauche de N ou le chiffre des plus hautes unités de A, on pourra compter sur p+ i chiffres ou sur p chiffres exacts dans le nombre proposé, suivant que K' sera plus grand ou plus petit que K. En effet, si K' est plus grand que K, l’erreur relative plus petite que ^ sera à plus forte raison

inférieure à l’unité divisée par K suivi de p chiffres quelconques; et dès lors, d’après ce qui précède (222), le nombre proposé renfermera chiffres exacts (**). Si K' est plus

petit que K, l’erreur relative plus petite que |ç< ^ , J, '

— ! — » est seulement plus petite ‘que . • ou,

loKxioc-' ivxior-

mieux, que l’unité divisée par K suivi de p — 1 chiffres quelconques; car loK' l’emporte nécessairement sur K. Par suite, on ne peut plus compter que sur p chiffres exacts dans le nombre proposé.

Ainsi le nombre proposé étant 35,62724^ si l’on sait que^

l’erreur relative est inférieure à ■= — ^ — ; » cette erreur relative

( * ) Si A était un nombre décimal sans partie entière et qu’il y eût des xéros • entre la Tirgolc et le premier chiffre significatif» ces zéros ne compteraient pas dans les n chiffres exacts.

(**) Plus exactement, l’erreur absolue sur le nombre proposé sera plus petite qu’une unité de l’ordre du dernier chiffre conservé.

AlUTHMÉXHiDE.

plus petile que p sera à fortiori plus petite que = ou

que 32^7- pourra donc compter sur les cinq premiers

chiffres du nombre donné ( 2 ’ 22 ), et l’on a 5 > 3 qui est le chiffre des plus hautes unités de ce nombre.

Si l’on donnait au contraire l’erreur relative seulement

plus petite que ou que — ; on ne pourrait plus

dire que cette erreur est inférieure à „ — ou à — : mais ^ 3 oooo 35627

on pourrait affirmer qu’elle tombe au-dessous de 3^^ ou de

On ne pourra donc dans ce cas compter que sur les

quatre premiers chiffres du nombre donné, et l’on a 2<^3 qui est le chiffre des plus hautes unités de ce nombre.

Si K= R', il est prudent de ne compter que sur p chiffres exacts; car le nombre proposé étant 35,627, si l’on donne l’erreur relative plus petite que 3^^^ ou que 3 ^ i •'•on oe

prouve qu’elle soit plus petite que

mais elle est plus

petite que 3^3» et l’on peut certainement compter sur quatre chiffres exacts.

En résumé, si l’erreur relative a pour expression limite

k'X 10^ ’ comparer le chiffre K des plus hautes unités

du nombre cherché au chiffre K', et compter sur 1 ou sur P chiffres exacts, suivant que K' est plus grand ou plus petit que K.

Si la limite de l’erreur relative est exprimée par on ne

devra compter que sur p chiffres exacts ; car R' = i est ici au plus égal à R.

Une remarque jesl importante. Soit le nombre 35,62724. On

donne l’erreur relative plus petite que

règle, on peut compter sur 5 chiffres exacts. On doit donc prendre 35,627; maison néglige ainsi 24 cent-millièmes. Si le • nombre est approché par défaut, on fait donc deux erreurs de même sens qui peuvent dépasser 0,001, et il faut forcer l’unité sur le dernier chiffre conservé, c’est-à-dire prendre 35,628. L’erreur commise l’est par defaut ou par excès; mais elle est

ARITHMÉTIQUE. l 33

moindre qu’un millième. Si l’on sailau contraire que le nombre donné est approché par excès, en négligeant ses derniers chiffres, on diminue l’erreur, et l’on doit conserver le chiffre 7 tel qu’il est. Si l’on ignore le sens de l’erreur qui affecte le nombre donné, on peut faire (dans le cas considéré) une erreur plus grande que 0,001; mais on est sûr qu’elle n’atteint pas 0,002.

Addition et soustraction.

225 . La considération des erreurs relatives simplifiera beaucoup ce qui a rapport aux opérations supérieures. Pour l’addition et la soustraction, il est plus simple, de considérer les erreurs absolues.

Comme il arrive souvent qu’on ne connaît pas le sens des erreurs, il faut se supposer placé, au point de vue théorique, dans le cas le plus défavorable. Pour l’addition, on admettra donc que toutes les erreurs sont de même sens, car alors elles s’ajouteront.

Si l’on a à ajouter les trois nombres 6,782 ; 9,6807 ; i 5 ,oi; chacun d’eux étant supposé exact à une unité près de l’ordre de son dernier chiffre, on voit qu’on ne pourra pas compter sur le chiffre des centièmes du résultat. On doit donc demander, au plus, la somme cherchée à o, i près et négliger dans les nombres proposés tous les chiffres qui dépassent l’ordre des centièmes. L’erreur sur chacun d’eux étant ainsi inférieure à I centième, elle sera sur leur somme inférieure à 3 centièmes ou à un dixième. La somme demandée sera 3 1 ,5 à 0,1 près.

Réciproquement, si la somme est demandée d’avance à 0,1 près, chacun des nombres qui la composent devra être calculé à 0,01 près.

Remarquons que nous avons pris 3 1 ,5 pour résultat. En effet, 3 i ,47 étant déjà un résultat par défaut, si nous négligions encore 7 centièmes, l’erreur pourrait devenir supérieure à 10 centièmes ou I dixième. Ainsi, quand on sait que le résultat est obtenu par défaut, il faut forcer l’unité sur le dernier chiffre conservé: on fait alors deux erreurs en sens contraire, chacune plus petite qu’une unité du dernier ordre conservé, de sorte que celle sur le résultat définitif remplit à fortiori cette condition.

Ce qui précède suppose qu’on n’a pas plus de vingt nombres à ajouter; car on peut calculer ehacun d’eux à o,oo 5 ou à { eenlième près si l’on veut avoir la somme à o, i près.

l34 ARITHMÉTIQUE.

Si l’on opère sur plus de vingt nombres, il suffit de calculer chacun d’eux avec deux chiffres décimaux de plus que ne l’indique l’ordre d’approximation demandé.

226. Pour la soustraction, on doit regarderies erreurs comme étant de sens contraire : elles s’ajoutent alors (62). Soient les nombres 82,6871 et 29,435 approchés chacun à une unité près de l’ordre de leur dernier chiffre. On ne pourra pas compter sur le chiffre des millièmes du résultat. On soustraira donc 29,435 de 82,687, et l’erreur sur le résultat étant inférieure à 0,002, ce résultat sera 53,2.5 à 0,01 près.

Réciproquement, si la différence de deux nombres est demandée d’avance à 0,01 près, il faudra calculer chacun d’eux à 0,001 près.

Donc, d’une manière générale, pour l'addition et la soustraction, il faut prendre les nombres à ajouter ou à soustraire avec un chiffre de plus que le résultat ne peut ou ne doit en contenir.

Multiplication.

227. Nous devrons, comme pour l’addition, supposer les erreurs de même sens. Soient deux nombres A et B approchés tous deux par défaut. Désignons par a et p les limites supérieures des erreurs absolues commises sur les nombres exacts en les remplaçant par A et B. Le véritable produit sera plus petit que

(A-t-a) (B-i-p) ==AB-t-Ap .-t-Ba-f.ap.

Le produit approché étant AB, l’erreur absolue du résultat sera plus petite que

(A-(-a)(B-f-8) — AB = .\p-f-Ba-i-ap.

En général, les limites a et p étant des quantités très-petites, leur produit ap est lui-même une quantité très-petite. Si on le néglige, on pourra regarder l’erreur absolue du produit comme égale à Ap H- Ba. Pour avoir l’erreur relative correspondante, il faut diviser Ap-t-Ba par AB; ce qui donne

.fL + l.

On arrive donc à ce théorème : L’erreur relative d’un produit de deux facteurs est sensiblement égale à la somme des erreurs relatives des deux facteurs (222).

* ' AlUTHMÉTIQUE. l35

' Il csl facile d’éiendre ce théorème au cas d’un nombre quelconque de facteurs.

Si le théorème est supposé vrai pour m fadeurs A, B, C, 1), etc. , dont les erreurs absolues ont pour limites a, 7, 3 , etc., il sera encore vrai lorsqu’un nouveau facteur L, dont l’erreur absolue aura pour limite >, s’introduira. En effet, le produit ABCD. . .L peut se décomposer en deux facteurs : AB(JD. . . d’une pari, et L de l’autre. L’erreur relative du produit sera égale à la somme des erreurs relatives des deux fadeurs, c’esl-à-dire

fadeurs, l’est donc pour trois fadeurs, etc

Le théorème, vrai pour deux

228. On peut donc maintenant résoudre toutes les questions d’approximation qui se rapportent à la multiplication.

Montrons d’abord comment on doit calculer le produit, lors- «jiie les fadeurs sont donnés avec une certaine approximation.

i“. Soit à multiplier 4832, y5 par 9,2871. Le multiplicande est approché à 0,01 près par défaut, et le multiplicateur à 0,0001 près par défaut. L’erreur relative du produit étant la somme des erreurs relatives des fadeurs, elle sera ici égale (223)

à 7 — ^ — -H ! — - ou à .... — -• Cette fraction est plus pe-

4 xio‘ 9X10* 3 bX 10' ' *

tite que l’erreur relative du produit sera donc plus petite

que et l’on pourra compter seulement sur quatre ou cinq

chiffres exacts au produit (224) ; comme il renferme cinq chiffres à sa partie entière, on devra donc le calculer à l’unité près en appliquant le procédé de la multiplication abrégée (176).

Le produit cherché sera 44843 à l’unité près.

2“. Soit à multiplier 32,179 par 27 ,804, sachant que les deux facteurs sont approchés par dél^aut à 0,001 près. Forçons l’unité sur le dernier chifi're du multiplicateur, il sera approché par excès à moins de i millième. Les erreurs avant lieu en sè/is t'ontraire, l’erreur relative du produit sera égale à la dijférence

Digilized by Coogle

l 36 ARITHMÉTIQUE.

des erreurs relatives des deux facteurs (*), c’est-à-dire plus pe

• • Le chiffre

tite que la plus grande d’entre elles ou que

des plus hautes unités du produit surpassant 2, on ne devra compter que sur quatre chiffres au produit, et comme il ne contient que trois chiffres à sa partie entière, on le calculera à 0 , 1 près.

6 4 3 5 Sli 2 2 5 2 5 3 25736’

Le produit cherché sera 894,7 à 0,1 près.

3 ”. Soit à élever au cube le nombre 0,046782.

L’erreur relative du produit, égale à la somme des erreurs relatives des facteurs, sera ici égale à 3 fois l’erreur relative du

nombre proposé ou à Cette fraction est pkis petite

on ne pourra donc compter que sur les quatre pre-

que

lO'

miers chiffres du cube cherché. Comme il doit contenir dix^ huit chiffres décimaux, dont au moins trois zéros [qui ne doivent pas entrer dans l’appréciation de l’erreur relative, et par suite dans le nombre des chiffres exacts ( 223 , note 1)], on devra le calculer avec sept décimales ou à 0,0000001 près. Par suite, le carré devra d’abord être calculé avec deux chiffres de plus ou neuf décimales (nô). On emploiera la multiplication abrégée.

Le cube cherché sera 0,0000960 à 0,0000001 près.

(*) Dans ce caft, le multiplicande exact clanl reprcbenlc par A + a» le imil* UplicaU'ui’ exact sera représenlt* |>^t' B en dési^nanl par H le muUtpUcalour

ARITHMÉTIQUE. iZ’J

4". Soit à multiplier 262,457 par 3, i4i5926535. . . . On suppose ici que le second facteur peut être obtenu avec telle approximation qu’on voudra, le premier est approché à 0,001 près. L’erreur relative du produit étant au moins égale

à l’erreur relative du multiplicande, c’est-à-dire à — \ — -, on

ne pourra compter sur plus de six chiffres exacts au produit, en adméttant que le chiffre de ses plus hautes unités surpasse 2. Comme le produit renferme trois chiffres entiers, il faudra le calculera 0,001 près. En prenant le multiplicateur avec six chiffres, l’erreur du produit restera toujours inférieure à On emploiera le procédé de la multiplication abrégée.

Le produit cherché sera 824,533 à 0,001 près.

229. Supposons maintenant que l’approximation du produit soit indiquée d’avance, et qu’on demande avec quelle approximation les facteurs du produit doivent être calculés.

I®. On veut calculer le produit ^ 3 X à 0,01 près. Le plus simple est de se rappeler (176) que le procédé de la multiplication abrégée exige qu’on connaisse le multiplicande avec deux chiffres décimaux de plus qu’on n’en veut conserver au produit. Comme chaque facteur peut être pris pour multiplicande, il faut donc les calculer tous les deux avec deux chiffres décimaux de plus qu’on n’en veut avoir au produit,

approché par excès et par /3 l'erreur commise. La produit exact sera alors (A-l-a) (B — = — A/3 — a/3,

d’où

(A-|-a)(B — /3) — AB = aB — A/3 —

Si on néglige a^, l’erreur absolue commise sifr le produit est sensiblement «B — Aj8, et l'erreur relatire devient

l38 ARI'JHUÉTIQUE.

c’est-à-dire à o,oooi près, puisque chaque facteur a un cliiffre à sa partie entière.

On trouve v^3 = 1 ,4422 et ^10 = 3,1622.

Par suite, le produit cherché sera 4)5^ à 0,01 près.

2”. Soit à calculer le produit (v^ -|- 2 )x(v /45 — i)x(v^-t-i) a 0,01 près de sa valeur. On veut que l’erreur relative sur le produit soit inférieure à Il faut donc connaître ce produit avec

. lO’

3 chiffres exacts (223). Les deux facteurs [(v^-t-2) x(v^ — 0] d’une part et ^8 1 de l’autre devront donc être calculés avec

5 chiffres exacts (i®). Pour que le produit (\/3-(-2)x(\/45 — i) présente 5 chiffres exacts, comme il renferme deux chiffres à sa partie entière, il faut pouvoir le calculer jusqu’aux millièmes; ce qui exige qu’on connaisse les deux facteurs jusqu’aux cent-millièmes, c’est-à-dire avec 6 chiffres exacts. On trouvera :

En appliquant le procédé de la multiplication abrégée, on arrive rapidement au produit cherché qui sera 81 ,6 à o, i près.

Division.

230. On supposera que les erreurs sur le dividende et le diviseur sont de sens contraire ; de sorte qu’elles agiront dans le même sens pour augmenter ou diminuer le quotient. Le

ABITBMÉTIQVE. iSp

dividende étant approché par excès et le diviseur par défaut, le quotient sera approché par excès; le dividende étant approché par défaut et le diviseur par excès, le quotient sera approché par défaut. On voit que les erreurs du diviseur et du quo- , tient sont alors toujours de sens contraire. Il en résulte que le dividende étant le produit du diviseur par le quotient, l’erreur relative du dividende est sensiblement égale à la différence des erreurs relatives du diviseur et du quotient (228, note i). On peut donc dire d’une manière générale que r erreur relative du quotient est égale à la somme des erreurs relatives du dividende et du diviseur.

231. Montrons d’abord comment on doit calculer le quotient, lorsque le dividende et le diviseur sont donnés avec une certaine approximation.

i". On demande de calculer le quotient de i par 3, 1415927. Le dividende est exact, le diviseur est approché par excès à I unité près de l’ordre du dernier chiffre ; le quotient sera alors approché par défaut. Son erreur relative sera égale à l’erreur relative du diviseur, puisque celle du dividende est nulle,

c est-a-dire a ^ — - — - = ~ -•

3 Xio’ 6X10’

Le premier chiffre du quotient étant 3, on pourra compter sur huit chiffres exacts au quotient (224) et le calculer par conséquent à 0,00000001 près.

En employant le procédé de la division abrégée ( 183) et en sc reportant au n" 184, on trouve pour quotient 0,31830988.

2*’. On demande de calculer le quotient de o,9g3855 par 9,8088, ces deux nombres étant approchés à une unité près de l’ordre de leurs derniers chiffres.

L’erreur relative du quotient sera égale à 1

ou a — — — - ; cette fraction étant moindre que — > on pourra 9X10* 10'

compter au plus sur 5 chiffres au quotient.

En employant le procédé de la division abrégée et en remarquant qu’on peut aller au quotient jusqu’au chiffre des cenl-

l4o ARITHMÉTIQUE.

millièmes ( 184 ), on trouvera pour quotient o, loiSa à o,oooui près.

•'*975 ,oi 3 ?.

232 . Supposons maintenant que l’approximation du quotient soit indiquée d’avance et qu’on demande avec quelle approximation le dividende et le diviseur doivent être calculés.

I”. On veut calculer le quotient de par à 0,001 près. Le quotient ayant i pour partie entière, c’est demander de le calculer avec quatre chiffres exacts. L’erreur relative sur le

quotient devra donc être plus petite que — ( 223 ). Comme

cette erreur relative doit être égale à la somme des erreurs relatives du dividende et du diviseur ( 230 ), la condition imposée sera remplie si l’on calcule le dividende par excès et le diviseur par défaut à \ dix-millième près ; car, chacun d’eux contenant alors cinq chiffres exacts, la somme des erreurs rela-

tives correspondantes sera plus petite que^^-f-^ = —

On trouve

y/ 5 = 1,7321 et \/2 = 1,4142.

ii4

En suivant la marche indiquée au n“ 184 , on trouve pour quotient 1 ,224 à 0,001 près par excès.

2”. On veut calculer le quotient de par V 3 à 0,001 près de sa valeur. C’est demander que l’erreur relative du quotient soit inférieure à 0,001 ou que le quotient renferme quatre chiffres exacts. La condition imposée sera remplie si l’on calcule le dividende par excès et le diviseur par défaut à ^ dixmillième près; car chacun d’eux contenant alors 5 chiffres exacts, la somme des erreurs relatives correspondantes sera

plus petite que 53^. -H ou que ■ Cette frac-

tion étant moindre que — » on pourra compter sur 4 chiffres

ARITHMÉTIQUE. l4l

ex.icls au quotient, ün trouve

vAîo = 3,1623 et v^3 = 1,7320

et, par suite, le*quotient cherché est 1,825 à 0,001 près par excès.

3i6a3o j 173200 '43o3o I ,Ha5

Racine carrée.

233. Puisque l’erreur relative d’un produit est égale à la somme des erreurs relatives des deux facteurs, l’erreur relative d’un carré est égale au double de l’erreur relative du nombre élevé au carré. On peut donc admettre réciproquement que l’erreur relative de la racine carrée d’un nombre est la moitié de l’erreur relative commise sur ce nombre.

Ainsi, l’erreur relative d’un nombre ayant pour limite supérieure ^ ^ fp-l-i étant le nombre des chiffres exacts),

K X loP , '

K désignant les plus hautes unités de ce nombre, l’erreur relative de la racine carrée de ce nombre aura pour limite supérieure —r, — ^ Il en résulte que si le premier chiffre de la

racine est plus petit que 2K (*), on pourra compter sur p ~h i chiffres exacts à la racine ; sinon, seulement sur p chiffres exacts (224).

1°. Soit à calculer la racine carrée du quotient — —

à 0,0001 près, le diviseur pouvant être obtenu avec telle approximation qu’on voudra. Le premier chiffre du quotient étant un chiffre de dizièmes et ce premier chiffre étant 3, l’erreur •relative sur la racine carrée de ce quotient sera inférieure à

/ > p ■+■ I représentant le nombre de chilTrcs exacts

du quotient. Comme le premier chiffre de la racine est évidemment inférieur à 6, on pourra alors compter aussi sur p + i chiffres exacts à cette racine. Mais p -t- 1 doit être ici égal à 4, puisqu’on demande la racine à 0,0001 près. Par suite, on commencera par calculer le quotient avec 4 chiffres exacts ou à 0,0001 près; ce qui exigera qu’on prenne pour diviseur

(*] sK repréüento ici ce que noiid avons appelé K' précédemment (2‘24).

l4a ABITHMÉTIQUE.

3,i4*5. On trouve pour quotient o, 3 i 83 et pour racine carrée, o, 564 i. On peut maintenant se reporter au n“ 209 .

lOOOOOO

2®. Calculera 0,00001 près l’expression

lv '3 4 -v^+ ^ V 5 — (*)

Il suffit évidemment de calculera 0,00001 près chaque radical principal, puisqu’on en prenant le quart on divisera l’erreur par 4; de manière que l’erreur sur la somme sera inférieure à J 0,00001.

Le premier chiffre de l’expression 3 -t- y ^5 étant 5 dont le double est lâ, et le premier chiffre de la racine correspondante

étant forcément inférieur à 10, il suffira pour calculer V 3 -H ^5 à 0,00001 près ou avec 6 chiffres exacts, de connaître d’abord 3 -t- avec six chiffres exacts. De même, le premier chiffre de

l’expression 5 — ^5 étant 2 dont le double est 4 le P'’®" mier chiffre de la racine correspondante étant inférieur à 4. ü faudra aussi calculer d’abord 5 — avec 6 chiffres exacts. En résumé, on peut dire qu’on peut compter à la racine sur autant de chiffres exacts qu’il y en a dans le nombre proposé ou sur autant moins un, suivant que le premier chiffre de la racine est plus petit ou plus grand que le double du premier chiffre du nombre proposé. On trouve

d’où

3 ^ = 5,236 o 6 et 5 — v^ = ^-»76394.

Par suite

(*) Celte expression représente le sinus uaturoî de 8i®. (Voir 1» Triifono^ métrie.)

3'; 660 1 1 1600 aoo'jHoo I'J'J024

L’expression demandée est ^

i Vs-i-v^-l-î V 5 — v ^5 = ^^S|^ = o,g 8769 .

234. Les questions relatives à la racine cubique se traiteront d’une manière analogue, en remarquant que l’erreur relative de la racine cubique d’un nombre est le tiers de l’erreur relative de ce nombre.

Table des carrés des 1000 premiers nombres.

On peut se servir de cette table de la manière suivante. On veut extuirire la racine carrée de 48217932 à l’unité près. On remarque que, d’après la table, le plus grand carré contenu dans les 482179 centaines de ce nombre est 48i636 dont la racine carrée est 694. Les dizaines de la racine cherchée sont donc 694; on n’a plus qu’à chercher le chiffre des unités.

Soit à extraire la racine carrée de 1 1 à 0,001 près. C’est comme si l’on demandait la racine carrée de 1 1000000 à l’unité près. On remarque alors que le plus grand carré contenu dans les 110000 centaines de ce nombre est 109561 dont la racine carrée est 33i. Les premiers chiffres de la racine cherchée sont donc 3,3i. On n’a plus qu’à chercher le chiffre des mil- ’ lièmes. . •

aiutumétique.

NOM-

BRES

CAHRÉS.

NOM-

BRES

CARRÉS

NOM-

BRES

CARHKS.

NOM-

BRES

CARRÉS

I 2 IOO

36 oo

ii 5

ii 56

388 og

4 ü 4 oi

225 oO

23 io 4

lOOOO

io 4 o 4

25 oo

io 3

44 'oo

io 5

AMTHMÉTM^LE.

NOM-