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AVERTISSEMENT

Nous faisons paraître aujourd'hui la deuxième Édition du Tome III du Cours de Mathématiques. 11 est le premier de la Section réservée aux Mathématiques spéciales (*).

L'abondance et l'importance des matières, aussi bien qu'une modification décisive apportée aux Programmes, nous ont obligé à remanier un travail déjà terminé et à consacrer deux Volumes à Y Algèbre supérieure. Le Tome III en forme la première Partie, le Tome IV en contiendra la seconde Partie.

Nous avons vu la Méthode des Limites, introduite d'abord timidement et par fragments en Géométrie; puis,, peu à peu, acceptée d'une manière complète, au grand bénéfice de tous. .

II devait en être ainsi en Algèbre, relativement à l'usage des Dérivées et des Différentielles. Pendant de longues années, par crainte d'aller trop vite et trop loin, la Théorie des Dérivées a été enseignée aux élèves de Mathématiques spéciales, sans que le mot de différentielle fût prononcé. Il y avait peut-être un danger, dans ce divorce établi au début entre deux notions inséparables;

( *) Voir la Préface du tome 1", 3« édition (i884).

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car, dans la rapidité des études actuelles, l'esprit a peine a se départir d'une première impression.

Les nouveaux Programmes rompent nettement avec ces hésitations, parfaitement compréhensibles, et nous croyons qu'ils ont raison.

Il y a plus de deux siècles (f ) que la découverte du Calcul infinitésimal a transformé la science mathématique et reculé ses horizons. Il n'est pas trop tôt, sans doute, pour donner enfin un Aperçu de ces Méthodes si fécondes aux candidats qui doivent les approfondir et les appliquer dans nos grandes Écoles.

La Table analytique des matières de ce Volume indique suffisamment le contenu et l'esprit des Cinq Livres qui composent la première Partie de l'Algèbre supérieure, et nous nous permettrons d'y renvoyer le Lecteur. La seconde Partie, c'est-k-dire le Tome IV, renfermera la Théorie des quantités imaginaires et la Théorie générale des Équations.

En écrivant le Cinquième Livre et en lui donnant de grands développements, nous avons désiré qu'il pût être une préparation suffisante à l'étude sérieuse du Calcul infinitésimal. Il contient réellement, dans ses quinze premiers Chapitres, presque tout le Calcul différentiel, en ce qui concerne les principes primordiaux et les applications analytiques; et le seizième Chapitre faitcon-

(') C'est eo i684 que Leibxitz publia une première Note sur ce sujet, dans les Acta Eruditoruxn de Leipzig; c'est en 1687 que Newton publia ses Principes mathématiques de ta Philosophie naturelle où, à l'aide de la Méthode des fluxions % qui ne diffère que par les mots et la notation de la Méthode des différentielles de Leibnilz, il donna les plus belles Applications du Calcul infinitésimal.

AVERTISSEMENT. Vil

naître, à son tour, avec étendue, les notions élémentaires les plus essentielles sur les intégrales.

11 nous a paru impossible, en effet, de passer sous silence, ne serait-ce qu'à cause de la Géométrie analytique dans l'espace, les propriétés relatives aux fonctions de plusieurs variables et l'idée de Différentielle totale. La transition du cas d'une seule variable à celui de plusieurs variables est d'ailleurs toute naturelle et s'effectue très simplement à l'aide du principe relatif aux fonctions composées (566). Cette nécessité admise, les autres détails dans lesquels nous sommes entré étaient, pour ainsi dire, obligés.

Les notions sur les infiniment petits et la définition de la différentielle sont restées pendant longtemps assez vagues et assez obscures, pour motiver de nombreuses discussions; et la Science, sous ce rapport, doit beaucoup à J.-M.-C. Duhamel. Remontant aux premiers principes et aux premières applications, il a su dissiper tous les nuages, et ses Éléments de Calcul infinitésimal resteront, suivant l'expression de M. J. Bertrand, un livre justement classique dans la meilleure acception du mot, c'est-k-dire non moins utile aux maîtres qu'aux élèves.

Il nous reste à expliquer en quelques mots les motifs qui, dans cette première Partie de l'Algèbre supérieure, nous ont porté à laisser systématiquement de côté tout ce qui a trait aux quantités imaginaires.

C'est, à l'origine, par la résolution des équations de tous les degrés que ces quantités ont été introduites dans la Science. On peut donc, logiquement, rapprocher leur examen direct de la Théorie générale des Équations, et

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commencer par leur étude la seconde Partie de l'Algèbre supérieure.

En procédant ainsi, on a, en outre, l'avantage, après avoir consacré toute la première Partie aux quantités réelles, de pouvoir présenter d'ensemble, sans être forcé à aucun morcellement, toutes les considérations auxquelles peut donner lieu l'introduction en Analyse de ces nouvelles quantités.

Noms souhaitons que la bienveillance de nos collègues accueille ce troisième Volume comme les précédents : ce sera la meilleure récompense de nos efforts.

Juin 1887.