Montrer que, si
y«— 1 Qn Ua-H
représentent trois réduites consécutives d'une fraction continue, on a
(P^1-P/1-1)Q/.= (0«-hi-Q«-i)P«.
49. Démontrer qu'une fraction donnée jz est nécessairement Tune des
réduites de la quantité quelconque .r développée en fraction continue.
si la différence x — ^ est, en valeur absolue, moindre que — — • Q ' aQ*
KO. Soient les réduites successives d'une fraction continue Po Pi Pt P^ P«— t \Jt P«-n
Qo' Ui' «t1 &' '"' U-.V q*' tu'
Considérons séparément les réduites de rang pair et celles de rang impair. Deux réduites consécutives de Tune ou de l'autre suite seront alors représentées par
?*=± et ï^-.
an étant le quotient incomplet do rang n -t- 1, les valeurs de ces deux réduites seront comprises dans l'expression générale
xy«-r-g„i
et elles répondront aux valeurs X == o et X = an de l'indéterminée À. Lorsque le quotient an est supérieur à î et que l'on donne à X les valeurs successives
o, i, a. 3, ..., an— i, a„,
l'expression générale (i) donne, outre les doux réduites considérées, an— î autres fractions dont les dénominateurs sont compris entre Q„i et Q/i-4-i. Ces fractions ont reçu le nom de fraction^ convergentes ùitermédiairex.
Cela posé, on demande do prouver que les fractions convergentes intermédiaires jouissent des mêmes propriétés que les réduites, c'està-dire do démontrer les propositions suivantes :
i° Les fractions convergentes intermédiaires sont des fractions irréductibles.
2° La différence de deux fractions convergentes intermédiaires consécutives est égale à l'unité divisée parle produit des* dénominateurs des deux fractions.
3° Si l'on prend la suite des réduites de rang pair et celle des réduites de rang impair, et si l'on écrit dans chaque suite toutes les fractions convergentes intermédiaires qui se rapportent à chaque couple de réduites consécutives, de manière que leurs dénominateurs aillent en
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croissant) on forme deux nouvelles suites, la première décroissante, la seconde croissante, convergeant toutes deux vers la valeur de la fraclion continue.
4° Si une fraction ordinaire approche davantage de la valeur do la fraction continue qu'une certaine fraction convergente intermédiaire, ses termes sont respectivement plus grands que ceux de la fraction convergente.
51. En s'appuyant sur les propriétés des fractions convergentes intermédiaires, déterminer, parmi toutes les fractions dont le dénominateur ne surpasse pas une certaine limite L, celles qui approchent lo plus, par défaut et par excès, d'une quantité incommensurable ou irrationnelle donnée.
52. Si la fraction rationnelle tc supérieure à l'unité est telle, que le
quotient ^~ry — soit un nombre entier, la suite des quotients incomplets
p de la fraction ^ réduite en fraction continue est réciproque, c'est-à-dire
que les quotients extrêmes et les quotients a égale distance des extrêmes sont respectivement égaux entre eux.
53. Déduire de la proposition précédente que tout nombre entier qui divise la somme de deux carrés premiers entre eux est lui-même la somme de deux carrés (J.- A. Serrkt, Journal de Mathématiques pures et appliquées , in série, t. XIII).
Si. Pour que deux quantités incommensurables ou irrationnelles positives .r* et jf se développent en fractions continues, pouvant se terminer à des quotients complets égaux entre eux, il faut et il suffit qu'elles soient liées par une relation de la forme
„,ry i
où a, h. a', b\ désignent des entiers positifs ou négatifs satisfaisant à
la condition
ab'—l>a' = dzi.t
SS. Les fractions continues périodiques qui expriment les racines irrationnelles d'une équation du second degré à coefficients rationnels sont inverses l'une de l'autre, c'est-à-dire que les quotients incomplets qui composent la période de Tune reproduisent en ordre inverse les quotients incomplets qui composent la période de l'autre.
(Dans le cas d'une fraction périodique mixte, il est entendu que Ton peut faire commencer la période à l'un quelconque des quotients qui viennent après la partie réellement non périodique . )
7l6 QUESTIONS PROPOSÉES
56. Les numérateurs ou les dénominateurs des quotients complets, qui répondent respectivement aux racines irrationnelles d'une équation du second degré à coefficients rationnels exprimées en fractions continues, forment de môme des suites dont les périodes sont inverses l'une de l'autre.
57. a étant la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans l'entier F, non carré parfait, l'irrationnelle /F se développe toujours (voir le n° 177) suivant une fraction continue périodique mixte, présentant un seul terme à la partie non périodique. Le dernier terme de la partie périodique est toujours égal à a a, et les autres termes de cette période forment une suite symétrique, c'est-à-dire dans laquelle les termes également éloignés des extrêmes sont respectivement égaux entre eux. Enfin, les numérateurs et les dénominateurs des quotients complets obtenus constituent de même des suites périodiques dont les périodes sont symétriques.
58. Trouver l'expression générale des équations du second degré à coefficients rationnels, dont les racines irrationnelles se développent suivant des fractions continues terminées par un même quotient complet.
59. Chercher l'équation du second degré dont la racine positive a pour expression
x = tf H ■
60. Convertir en fractions continues les racines de l'équation du second degré
io4^f* — 1076 x -+■ I783 = o.
61. Chercher l'équation du second degré dont Tune des racines a pour expression •
et vérifier ensuite le résultat obtenu.
Remarquons qu'il est commode de simplifier l'expression des fractions continues périodiques, en plaçant entro crochets la série des quotients incomplets, et en convenant de surmonter d'un trait ceux qui forment la période et, d'un point, le premier quotient si la quantité développée en fraction continue est plus grande que 1 .
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La valeur de x deviendra ainsi, dans l'exemple indiqué,
