MULTIPLICATION DES DÉTERMINANTS

70. Prenons d'abord deux déterminants P et Q de même ordre ou de même degré n. Nous rapporterons le premier à la lettre (a), le second à la lettre (b), et nous les écrirons de la manière suivante :

bl

Nous nous proposons de trouver le produit PQ sous forme de déterminant.

Multiplions respectivement les éléments d'une ligne quelconque de P, désignée par i, par les éléments correspondants d'une ligne quelconque de Q désignée par k (nous voulons dire : le premier élément d'une ligne par le premier élément de l'autre, le deuxième élément par le deuxième élément, et ainsi de suite).

En ajoutant les produits obtenus, nous aurons une expression de la forme

que nous pourrons représenter par

cf.

al b%,

l'indice inférieur de la lettre (c) se rapportant au rang de la ligne considérée dans P, et l'indice supérieur au j*ang de la ligne considérée dans Q.

Comme il s'agit de deux déterminants du nièœe ordre, nous pourrons former n* quantités analogues à cf et constituer avec ces n* quantités un déterminant du nJèmo ordre que nous appellerons R et qui sera

Le terme principal de R est

Mais, d'une manière générale, on a, d'après ce qui précède,

cf=

la)b\

en faisant varier l'indice supérieur e, simultanément pour at et bky depuis i jusqu'à n.

On peut donc écrire, sous cette condition,

( c\c\c\...c^{la^){l.a\b\)(la\b\)...{la\b\)

=(Ja?6?)(Iaf*S)(2flï*ï).

-ï{a*a\aX...a\b«b\b\...bl),

les nombres a, (3, y, . . ., X devant varier simultanément pour at et bu at et bt, a3 et bz, . . ., an et bn, depuis i jusqu'à n.

Pour former maintenant le déterminant R à l'aide de son terme principal, il faut ajouter à ce terme tous ceux qu'on en déduit en laissant, par exemple, invariables les indices inférieurs des lettres (c) et en permutant leurs indices supérieurs (36, 37).

C'est laisser en même temps invariables les lignes considérées dans P et permuter les lignes considérées dans Q.

Dans cette hypothèse, les deux indices des lettres (a) écrites dans le second membre de l'expression (i) demeurent invariables, tandis qu'on doit permuter les indices inférieurs des lettres (6), comme on permute les indices supérieurs des lettres (c) dans le premier membre de l'expression (i).

11 en résulte que le produit des lettres (b) représente alors

56 ALGEBRE SUPÉRIEURE.

un certain déterminant, dont nous désignerons la valeur par Q', en posant (39)

et Ton aura (39)

(2) R = ±Saï«g^..a£(Q').

Dans Q', les indices supérieurs conservent une position fixe, mais chacun d'eux doit recevoir d'une manière quelconque Tune des valeurs i, 2, 3, ... n. Il y a donc autant de valeurs de Q' que d'assemblages possibles pour ces valeurs i, 2, 3, ..., n.

Or, pour tous ceux de ces assemblages qui rendront deux indices supérieurs des lettres (b) égaux entre eux, le déterminant Q' offrira deux colonnes identiques et sera égal à zéro (V7). 11 en sera donc de même du déterminant R, d'après l'équation (2).

Nous ne donnerons, par conséquent, aux nombres a, (3, y, ..., 1 que des valeurs différentes choisies dans la suite 1, 2, 3, . . ., n, et, par la permutation des indices inférieurs des lettres (b), ces valeurs différentes se trouveront en réalité choisies de toutes les manières possibles compatibles avec la non-nullité de Q'.

Mais, dans ce cas, le déterminant Q' obtenu n'est autre chose que le déterminant Q (36, 37), et l'on a aussi (39), les nombres a, (3, y, . . ., X devant recevoir les mêmes valeurs pour ax et bu at et bt, az et bZ9 . . ., an et bn,

±2««a5aï...aï=Pf

de sorte que l'équation (2) devient

(3) R = Q(± ïa*a\aX . ..a\)= PQ.

On peut donc énoncer ce théorème fondamental :

Le produit de deux déterminants de degré n est un déterminant de même degré, formé, comme nous l'avons indiqué, en prenant pour éléments les sommes des produits des termes qui se correspondent verticalement dans chaque ligne du premier déterminant comparée à chaque ligne du second.