TANGENTES ET NORMALES

166. Definition. — Etant donnés une courbe C, un point M sur cette courbe et un point M voisin de M, si, le point M restant fixe, le point M’ se déplace sur [a courbe en se rapprochant indéfiniment de M, la sécante MM’ tend, généralement, vers une position limite MT qu'on appelle la tangente à la courbe au

point M (fig. 54).

167. Theorème, — Le coefficient angulaire de la tangente en un point d’une courbe, est la dérivée, en ce point, de l’ordonnée constdérée comme fonction de l’abscisse.

Soit (fig. 54) Mun point de la courbe C, de coordonnées æ, yet M'un point voisin de M.

Quand on passe de M en M, l’abscisse x subit un accroissement Ax et l’ordonnée 7 subit un accroissement A7y de sorte que les coordonnées de M’ sont x + A x et y + A y.

Fig. 54.

Le coefficient angulaire de la droite MM’ est donc

Lorsque le point M'se rapproche indéfiniment de M, la sécante MM a pour limite la tangente MT au point M.

D'ailleurs, A x tend vers zéro et le coefficient angu-

dy

laire <E de la sécante a pour limite la dérivée Pres

Fe te coefficient angulaire de la tangente MT au point M de la soie C est la dé 0e en M, de l'ordonnée considérée comme fonction de l’abscisse.

168. Équation de la tangente en un point d’une courbe, — Soit (fig. 54) un point M sur la courbe C de coordonnées fixes x, y et soient X et Y les coordonnées courantes d’un point quelconque de la tangente M T au point M à la courbe.

L'équation de la tangente MT, est celle d’une droite passant en un point M de coordonnées #, y, elle est donc de la forme (n° 131)

D'ailleurs, 2 étant le coefficient angulaire de la tangente, on a (n° 461)

dy nr ART et la relation (r) devient USE Y—y— (X — x)

ou Y—y=y (X— à).

. C’est l'équation de la tangente.