MÊME POINT QUI SERA PAR EXEMPLE INE MAISON OU UNE COUR COMMUNE

un puits, un carrefour. La plupart des questions de ce genre se ramènent à la suivante que nous recommandons à l'attention du lecteur.

10. Problème. Séparer dans un terrain une portion de grandeur donnée par des lignes partant d'un point donné V à l'intérieur. 2° sur le contour.

i'r Cas. Le point donné est intérieur. Le terrain peut avoir un contour rectiligne ou un contour irrégulier; nous le supposerons d'abord rectiligne. Supposons de plus que la portion à faire soit de 25are%48 = 2o4Sm- c- (on réduit en mètres carrés).

|re Méthode. Soit OF la ligne à partir de laquelle on doit séparer cette superficie (si cette ligne n'était pas donnée , on joindrait le

point 0 à un point quelconque F du contour). On abaisse la perpendiculaire 01 sur FE; puis on mesure FE et 01. Avec ces éléments on calcule l'aire

du triangle OFE=-FE

XOI. Si cette aire est plus petite que 2riares,48 , on évalue de même la surface du triangle OKD, en abaissant la perpendiculaire OH et

mesurant ED et OH; OED= - EDxOH. On fait la somme des

deux aires. Si cette somme est encore trop petite, on abaisse encore la perpendiculaire OP; on mesure OP et DC, et on évalue la

surface du triangle ODG = - DGxOP; puis on ajoute cette aire à

la somme des deux autres. Supposons que la nouvelle somme soit égale à 27ares,84; le pentagone OFEDG est trop grand de 2ares,36, ou 236m c-, il faut le diminuer. Pour cela, on calcule

une longueur x telle que -OPx^ = 23G. Cette longueur a? trouvée,

on la porte sur CD à partir de C; soit # = CN; on trace ON. Le polygone OFEDiN est la portion demandée; en effet, on a retranché

de l'aire OFEDC le triangle ONC = - OP X CN = - OP X x

= 236m- % précisément ce qu'il y avait de trop.

La marche à suivre est évidente. Si le premier triangle OFE était trop grand, on le diminuerait immédiatement comme nous avons fait en terminant.

Autre méthode. Soit OF la ligne à partir de laquelle on doit séparer 25ares,48. On abaisse sur le côté FE une perpendiculaire 01 que l'on

mesure; puis on calcule une longueur x telle que -- 0\Xx=<2M8m- c .

On porte la longueur trouvée sur FE à partir de F. Il peut se présenter plusieurs cas :

\° x est moindre que FE, 2?=-FK; on trace FK (fig. 2); ou bien # = FE; on trace OE (fig. 3). Le triangle OFK ou le triangle OFE

est la portion demandée, puisque sa surface est- OlX#=2u48.

2° x est plus grand que FE; x = FE -f 38m ; - 01 Xx = -

UI X FE -\- - 01 X 38. Le triangle OFE qui a pour mesure

- 01 x FE est trop petit de - Ul x 38; il faut le compléter.

Pour cela , on abaisse sur ED une perpendiculaire OH que l'on

mesure; puis on calcule une longueur

y telle que - OH x y — - 01 X 38. On

porte sur ED, à partir de E, une longueur EG = y, et on trace OG ; le quadrilatère OFEG est la portion demandée. En eifet. au triangle OFE on a

ajouté le triangle OEG = -OHXy =

-01 X38, précisément ce qui manquait.

11 peut arriver que// soit plus grand que ED (6g. 1). Soit >/ — ED

-f15m. Le triangle OED = - OH x ED est trop petit de"- OH

Xl5; il faut le compléter. Pour cela, on abaisse sur DC une perpendiculaire OP que l'on mesure; puis on calcule une longueur z

telle que-OPxz — -®Hx 15. On porte cette longueur z calculée sur DC à partir de D; soit r = DN (fig. 1). On trace ON; le pentagone OFEDN est évidemment la portion demandée : en offet,

ODN =-OPxs =-OHx 15; c'est précisément ce qui manquait en dernier lieu.

Ainsi de suite si z était plus grand que DC. 17. Cas particulier. Le contour du terrain est irrégulier du côté où on doit prendre la portion demandée. Remarquons d'abord que les lignes plus ou moins sinueuses

qui peuvent border un terrain sont le plus souvent des lignes brisées. Quoi qu'il en soit, le plus simple suivant nous est d'opérer comme il suit. Ayant mené une première ligne OF (donnée ou arbitraire!

qui doit limiter d'un coté la portion à séparer, on mène une seconde ligne OK,

à vue d'œil, de manière que la surface enfermée OFEK ait à peu près l'étendue indiquée de la portion à prendre. On mesure cette surface OFEDK comme il a été indiqué dans l'arpentage. Supposons qu'elle soit trop petite; on tire une seconde ligne OG, telle que l'aire OKG soit à peu près ce qui manque, et on mesure cette surface, ainsi de suite. Il est évident que la surface à ajouter devenant bientôt très-petite, on pourra considérer la partie du contour qui doit la border comme droite ou rectiligne, et appliquer pour déterminer cette portion complémentaire la méthode du premier cas. Quand la surface évaluée, terminée par la dernière ligne OG ou 01, est trop grande, au lieu d'ajouter, on retranche une certaine étendue de terrrin déterminée de la même manière.

Si la portion à séparer est trop grande pour qu'on puisse délimiter du premier abord une surface à peu près égale, on subdivise l'étendue donnée en plusieurs parties; on prend à peu près la première partie en traçant deux lignes telles que OF, OK. Ayant mesuré la surface ainsi limitée, on prend une seconde partie à partir de OK, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on ait délimité une étendue à peu près égale à la portion demandée. Alors on termine, comme nous l'avons dit, en ajoutant ce qui manque, ou en retranchant ce qu'il y a de trop.

Remarque générale. La ligne OF joint le point 0 à un point quelconque du contour. Notre méthode s'applique donc dans le cas où cette ligne est donnée à priori ; il n'y a rien à changer.

18. 2e Cas. Le point donné 0 est situé sur le contour du terrain. ExEiiiLE. On propose de séparer dans le terrain ABCDEF une

portion égale à 47arcs,85 par une ligne partant du point 0 sur le contour.

( In trace OF et on mesure le triangle OAF.

Pour ne pas sortir du terpain on choisit lai use OF sur laquelle on abaisse la perpendiculaire AI;

OAF = iôFxAï; on mesure AI et OF et on calcule cette aire. On trouve 12ares,4-l ; il

manque 35m8,44; il faut évaluer le triangle OFE. La perpendiculaire abaissée de 0 sur FE sortirait du terrain ; pour obvier à cet inconvénient, on peut mener FQ perpendiculaire sur FE, puis OQ perpendiculaire sur FQ. Ayant mesuré FQ = OP et FE on calcule

Taire du triangle OFE = - FE x FQ.

On trouve 44aros,92. Le quadrilatère OAFE contient 57ares,33; c'est

9ares,48 ou 948mc- de trop; il faut les retrancher. On calcule une

longueur x telle que - x X FQ = 948, ou x — „r " . Ayant 2, rQ

trouvé x, on porte une longueur ER égale à x sur FE à partir de E; on obtient ainsi le point K; on trace OK sur le terrain. OAFK est la portion demandée ; en effet on a retranché de OAFE le triangle

\ OKE = - FQ x x as 948, précisément ce qu'il y avait de trop.

Si le contour est irrégulier, on trace à partir de 0, une ligne OF qui sépare une portion de terrain OAF à peu près égale à celle de la portion démandée. Puis on l'augmente ou on la diminue si elle est trop grande ou trop petite, comme il a été indiqué n° 17.

11). Cas particulier. L'intérieur du terrain dans lequel on doit prendre une ou plusieurs portions n'est pas accessible pour effectuer les opérations préliminaires. On ne doit tracer les lignes qui limitent la portion ou les portions demandées qu'après avoir déterminé leurs extrémités.

Soit proposé de séparer sur un terrain de ce genre ABCDEFG, un bois par exemple, une portion de 2o8arcs,42, par une ligne droite partant d'un point donné 0 du contour.

On fait un croquis ABCDEFG du contour, sur lequel on gtudie la question. Comme précédemment, on est conduit, à évaluer la surface du triangle GAG : en prenant pour base AG, on peut me-

COL'ltS DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES.

surer lu hauteur sans opérer à l'intérieur du bois; en effet, il suffit de prolonger AG et d'abaisser sur le prolongement la perpendiculaire Opr Le triangle OAG —- - AG xO/>,; on mesure AG

et 0/;,, et on calcule cette aire. On trouve 34ares,24; il faut donc continuer et mesurer le triangle OGF. La perpendiculaire menée de 0 sur la droite GF, même prolongée, traverserait le bois: pour obvier à cet inconvénient, on prolonge FG et on élève sur le prolongement une perpendiculaire g'pz qui passe à côté du bois vis-à-vis de 0 ; puis on abaisse Oy;2 perpendiculaire g'p . Op, étant parallèle à g'F, la distance de 0 à GF est égale à

p ,(J \ le triangle OGF= - GV Xg'/>, : on mesure GF et g'p, et on

calcule cette aire. On trouve, 97a,cs,8-2 ; la somme OAG + OGF = I32ar6s,06; ce n'est pas assez; il faut mesurer le triangle OFF. Pour déterminer la hauteur de ce triangle, c'est-à-dire la distance de 0 à FF, on prolonge FF et on lui élève une perpendiculaire f'f" qui passe à côté du bois. La perpendiculaire menée de 0 sur f'f" traversi rait le bois. Pour obvier à cet inconvénient, on prolonge suffisamment f'f" et on lui élève une perpendiculaire

f'fls 1u' Pa§sc à côté du bois vis-à-vis de 0; enfin on abaisse la perpendiculaire OpA sur f"pr La distance du point 0 à EF est évidemment égale à f'f" — 0/;3; l'aire du triangle OFE est donc

- EF(f'f" — Op3) : on mesure EF, f'f" et 0/;3 et on calcule cette

aire. On trouve 7w2ares/28; en ajoutant aux aires déjà trouvées on trouve pour somme 2(Hares,3i; ce n'est pas encore assez; il faut mesurer le triangle OED. Pour avoir la hauteur de ce triangle, on prolonge DE à l'extérieur du bois, et on lui mène une perpendiculaire d'd" qui passe à côté du bois. La perpendiculaire abaissée de 0 sur d'd" traverserait le bois; on prolonge suffisamment d'd" et on lui mène une perpendiculaire d"p,t, qui passe à côté du bois vis-à-vis de 0; on abaisse la perpendiculaire Op^ sur d"pk. La distance de 0 à EF est égale à d'd" — Qp.t et l'aire du

triangle ODE est - DE (d'd" — 0//J; on mesure EF, d'd" et Op^ et

on calcule cette aire. On trouve 92ares,57; la figure OAGFED vaut 296ares,91; c'est 38ares,49 ou 3&49m' '■ de trop, il faut les retrancher. Pour cela, connaissant la distance de 0 à ED qui est égale à d'd"

— 0/>, , on calcule une longueur x telle que - xx[d'd" — 0/>4)

= 3849. On porte cette longueur x une fois trouvée sur ED à partir de E ; supposons que cette longueur finisse en M, la ligne OM tracée à travers le bois séparera à gauche la portion de terrain demandée. En effet, le polygone OAGFDE était trop grand de 38ares,49, et nous l'avons diminué d'un triangle OMD ayant cette superficie.

Pour tracer la droite OM à travers le bois, il suffit de connaître l'angle AOM, ou l'angle OME. Abaissons sur le croquis la perpendiculaire 01 sur ME prolongée; (Jl = d'd" — Opt. On obtiendra LM en retranchant Md' de d"p,t qu'on peut mesurer (\d' = p.d"). Avec les longueurs 01 et IM convenablement réduites, on construit un triangle rectangle semblable à 01M du terrain; ce triangle fait connaître l'angle OME. Il est alors facile de tracer la ligne MO avec la boussole ou autrement.

Problème. Tracer à travers un bois, dont on peut faire le tour, une ligne qui joigne deux points donnés 0 et M de son contour. 'Même figure.)

9!l COURS DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES.

Un construit la figure extérieure M\)d'd"p,0 comme nous l'avons indiquée; on mesure Md', d'd", 0/>4, d"plt et on achève comme nous venons de le dire pour la droite OM du problème précédent.

Remarque. Il serait peut-être plus simple, pour résoudre le problème précédent, de lever le plan du contour du terrain, en l'entourant par exemple d'un rectangle sur les côtés duquel on abaisserait des perpendiculaires AA', BB', CC, etc. des divers sommets et une perpendiculaire 00' du point 0. Ayant construit le plan abcdefg du bois, on y sépare du côté convenable, par une ligne issue du point o, une surface égale à la surface indiquée, •258ares, 42 réduite à l'échelle, par une des méthodes du n° 16. Connaissant la direction de la ligne de partage om par l'angle aom, on trace cette ligne dans le bois au moyen de la boussole.

Si le contour du terrain était irrégulier, c'est-à-dire comprenait des lignes courbes ou trop sinueuses, on ne pourrait guère faire autrement que d'en lever le plan, puis d'opérer la division du terrain sur le papier par la méthode du n" 10. Cela fait, on trace la ligne de partage, dont on connaît le point de départ 0 et la direction.

20. Problème. Au milieu d'une prairie ABCDREF, dont le contour est régulier ou irrégulier, se trouvent deux arbres a, b. // s'agit de tracer à partir du point R, en passant pnr a et b, une ligne brisée terminée au contour, qui partage le polygone en parties projtoriionnelles à des nombres donnés, ou suivant des conditions données.

On mesure le terrain (arpentage) ; on divise par le calcul la surface trouvée en deux parties suivant les conditions du problème {Arithmétique ou Algèbre)-, soient s et s' ces parties. Cela fait, on trace provisoirement, en passant par a et b, une ligne brisée RflôN qui sépare sur la droite du terrain une étendue à peu près égale à celle de la portion, qui doit se trouver de ce côté, s par exemple. On mesure la portion de terrain Ra^NFE, en prolitant de ce qui a été déjà fait. On fait la différence entre s et la surface que l'on trouve; supposons

PA.KTAGE DES TERRAINS'. 9o

cette surface trop petite de 2*!>es,24. On ajoute à RabNKE, à partir de bN, une portion N&M de terrain égale à 2ares,24 (à l'aide d'une ligne bM issue du pointa); ce que nous savons faire (n° l(>oun° 17). La ligne RaéM est évidemment la ligne demandée (*).

21. La question du n° 15 étant résolue en général, nous allons traiter quelques-unes de celles qu'on ramène à celle-là. Nous engageons beaucoup le lecteur à répéter ce que nous avons fait dans les nos 16, 17, ..., 20 chaque fois que nous y renvoyons dans la résolution des questions suivantes, afin de s'habituer à la pratique de ces méthodes importantes. Nous répétons nous-même dans plusieurs endroits.

22. Problème. Partager un triangle en trois parties égales par des droites menées d'un même point intérieur donné 0.

On mesure ce triangle ABC = - BC x AD ; on prend le tiers de

la surface trouvée ; supposons que ce tiers soit 0ares,38. On tire OB; puis on sépare dans le triangle, à partir de OB, une portion de terrain égale «à 9ares,:j8 comme il a été indiqué n° 16, 2e méthode. Soit OBK cette première

portion ; OBK = - ABC. A partir de

OK, en continuant à droite, on sépare une seconde portion de terrain égale à 9arcs,38 (n° 1(5) ; soit

OKCG cette seconde portion; OKCG = -ABC. Le quadrilatère

OGAB qui reste est évidemment le troisième tiers.

Il est aussi facile de diviser un triangle ABC en un nombre donne quelconque de parties équivalentes par des lignes partant du même point donné 0.