Proelème. Partager un triangle en trois parties de grah

(*) Sur le plan du terrain, on résoudrait les problèmes précédents (n°s ic, 17, 18, etc.) de la môme manière , après avoir réduit les surfaces données d'aprii l'échelle du plan. Les constructions faites, on trace les lignes de partage seulement sur le terrain.

deurs données par des lignes partant d'un même point intérieur donné 0 (figure précédente).

Supposons que les parts à faire soient 9aré9;38; 10*res,82; 12«w^24. Le triangle ABC est la somme des trois surfaces. On trace la ligne OB; puis on sépare dans le triangle, à partir de OB, une portion de terrain égale à 9arcs,38 (n° 10) ; soit OBK. A partir de OK, on en sépare une deuxième portion égale à 10ares,82; soitOKCG. Le quadrilatère restant OGAB est évidemment égal à 12ares,24.

On partage de même un triangle donné ABC en un nombre quelconque de parties de grandeurs données, par des lignes partant d'un point intérieur donné.

24. Piioblè.me. Partager un triangle ABC en parties proportionnelles ci des nombres donnés, ou suivant des conditions fixées par des lignes partant d'un point intérieur donné 0.

On mesure la surface du triangle; ABG= - BGxAD. On divise

cette surface par le calcul proportionnellement aux nombres donnés, ou suivant les conditions fixées [Arithm. ou Algèbre). Soient s, s', s", ... les parties calculées. On est ramené au cas précédent. On divise le triangle en parties égales à s, s', s", ..., par des lignes partant du point 0 (n° 10).

25. Problème. Partager un terrain de forme triangulaire en deux parties équivalentes, de manière que chacune d'elles aboutisse à une maison 0, située sur l'un des côtés.

On mesure le triangle ABC; ABC= - BCx AD. On divise la

surface trouvée par 2; supposons que la moitié soit de 9arcs,38. On sépare, à partir de OB, une portion de terrain égale à 9arcs,38 en appliquant l'une des méthodes du n° 10 ou du

n° 18 (*), soit ABK la portion séparée; le quadrilatère OKCA est

évidemment la seconde moitié.

(') Par ex., on abaisse de 0 sur BC une perpendiculaire 01 que l'on mesure;

On divise de même un terrain en deux parties de grandeurs données quelconques s et s', ou en deux parties déterminées par des conditions données, de manière à ce qu'elles aboutissent à une maison 0.

26. Les mêmes problèmes se résolvent aussi aisément pour un polygone quelconque.

Problème. Diviser un terrain polygonal en un nombre donné de parties égales, par des lignes partant d'un point donné intérieur 0.

Par ex. : en huit parties. On mesure le polygone (arpentage). On divise la surface trouvée par 8; supposons que l'une des parts soit de 12ares,8o. On joint le point 0 à un des points F du contour; on prend, à partir de OF, une portion du terrain égale à 12ares,85; soit OKF cette l,e portion (figure 2 du n° 16). A partir de OK, on sépare plus loin une seconde part égale à 12ares,85. Ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait séparé 7 parts; le reste sera la 8e part.

Îi7. Problème. Partager un terrain ABCLDEF en quatre parties respectivement égales à -48ares,oi; 36are%85; -Uarey20 et 2iares,38^or des lignes issues du point intérieur 0, à partir de la ligne OA .

On mesure les triangles OAF, OFE, etc., jusqu'à ce que la somme des aires atteigne et surpasse 48are%54. Supposons que AOF -\- OFE-f OED = 53are\,9i; c'est 5ares,40 de trop. On calcule une

longueur x telle que - x X OH = 540, et on porte x sur ED à

on calcule une longueur .t telle que OlX* = 33S. Soita — BK; on porte cette longueur sur BC et on trace OK.

partir de D; ce qui donne le point K. On trace OK; OAFEK est la

portion demandée, puisqu'on a retranché du polygone OAFED

un triangle OKI) = - DK X OH = - x X OH = 540, précisément

ce qu'il y avait de trop.

A partir de OK on sépare une nouvelle portion égale à 36ares,85. Pour cela on mesure le triangle ODL et on l'ajoute à OKD = 5,40. On trouve 39ares,10; c'est 2ares,25 de trop. On les retranche comme on a retranché tout à l'heure 5ares,40 au moyen de la ligne OM, OKM est la seconde portion.

A partir de OM on sépare une 3e portion égale à 4iarey20. Le terrain devenant irrégulier, on applique la méthode expliquée ri" 17. On est ainsi conduit à tracer la ligne OR; cette ligne tracée l'opération est terminée. Le terrain étant égal à 48arcs,54-|-30ares.,85 -f 41ares,20 + 24ares,38, la dernière partie OABR est évidemment égale à 21are8,38.

28. Problème. Partager un terrain polygonal en parties proportionnelles à des nombres donnés, ou suivant des conditions fixées, par des lignes partant d'un même point intérieur donné.

On mesure la surface totale de ce polygone (arpentage); on divise par le calcul la surface trouvée en parties s, s', s", .... suivant les conditions indiquées. Puis on décompose le terrain en parties égales à s, s, s", ..., comme il est expliqué n° 27.

2Î). Problème. Partager un quadrilatère dont ou connaît la s?/rfacc en parties égales ou de grandeurs données quelconques, par des lignes partant d'un point donné.

Nous venons de résoudre ce problème pour un polygone quelconque. Appliquez au quadrilatère.

50. Les mêmes partages peuvent se faire dans un terrain terminé par un contour irrégulier. La grandeur des parts une fois déterminée, on sépare chacune d'elles à partir d'une ligne OF ou OK, etc., comme il a été expliqué à propos de ce cas particulier, n° 17. Voici un exemple.

Problème. Partager un tûrutn de forme

irrégulière en deux parties égales, par une ligne aboutissant à un /joint donné K.

On trace une ligne KL qui, partant de K, divise à peu près le terrain en deux parties équivalentes (à vue d'œil). On mesure chacune de ces parties (arpentage), et on retranche Tune de l'autre les surfaces trouvées; soit d la différence [s = s' -\-d); on divise la différence d par 2. On sépare, à partir de KL, sur la plus grande partie, à l'aide d'une nouvelle ligne issue de K, une portion de terrain égale à -, que l'on détermine en suivant la marche indiquée

n° 17, si le contour est irrégulier à partir de L, ou bien parla méthode du n° 16 dans le cas contraire. La nouvelle ligne KM est

la ligne de partage demandée Is — - = s' -\- - j .

31 . Problème. Partager un trapèze en deux parties égales, parune ligne partant d'un des sommets.

Il y a deux cas à considérer :

1° le sommet donné est sur la petite base [fig. 1 ) ; 2° il est sur la grande base [fig. 2).

1er cas. Ayant mesuré les bases AB, CD, on prend sur CD une

longueur CK = - (AB + CD) et

trace BK. Le triangle BCK est la moitié du trapèze. (Comparez leurs aires.) 2e cas. Le triangle BCD est alors moindre que la moitié du

trapèze; la ligne de division doit aller au côté AD [fig. 2). On abaisse de B sur AD la perpendiculaire BH que l'on mesure [fig. 2). Ayant mesuré la hauteur CI du trapèze, on calcule une

longueur x telle que BH X x = - CI

X('AB-|-CD). On porte la longueur trouvée sur AD à partir de A; soit x = AG; on trace BG. Le triangle BAG est la moitié du trapèze. (Comparez leurs aires.)