DES PLANS COTÉS

45. On peut représenter par une seule projection les résultats du levé et du nivellement d'un terrain.

Ayant fait le nivellement générai d'un terrain, on inscrit sur le plan géométral la cote de chaque point nivelé auprès de sa projection; le plan géométral ainsi complété s'appelle un plan coté.

44. Un plan coté doit en général représenter le terrain dans son ensemble, de manière qu'on puisse en étudier la forme dans tous les sens; il doit fournir les moyens de construire des profils dans toutes les directions. Il faut donc, quand on va faire le nivellement général, examiner le terrain dans un grand nombre de directions, comme si on voulait faire autant de profils, et choisir en conséquence les points à niveler. On marque en général pour cela tous les points élevés ou déprimés où la pente du terrain change d'une manière sensible dans une direction quelconque. On doit donner des coups de niveau sur tous les points saillants naturels ou artificiels, sur les arêtes vives du terrain et sur les berges des ruisseaux et des rivières.

45. Si le sol peu accidenté est tel qu'un petit nombre de points

et de lignes principales suffisent à déterminer exactement sa forme, ou bien si la construction du plan coté a pour but spécial d'indiquer la forme et les pentes de certaines lignes , les points saillants et les contours de certains ouvrages , exemple : les cours d'eau, les rues et les ruisseaux d'une ville, ses établissements principaux, il suffit d'inscrire sur le plan géométral un petit nombre de cotes appartenant à ces points ou déterminant les pentes de ces lignes. Le plan avec ces cotes indique clairement ce qu'on veut savoir, et suffit à son objet.

4(>. Mais si le sol est accidenté par des éminences et des dépressions naturelles ou artificielles, dont les formes irrégulières et les reliefs ne peuvent être suffisamment indiqués ou déterminés parleurs contours et un petit nombre de points principaux, l'emploi des cotes numériques ne convient plus seul; il en faudrait trop. Des cotes écrites avec deux ou trois décimales surchargent le plan et y produisent, quand elles sont trop nombreuses et trop rapprochées, une confusion telle, qu'il devient impossible de se faire une idée un peu précise de la forme du terrain à un endroit quelconque ou dans une direction donnée. On emploie alors les courbes de niveau,

47. Courbes de niveau. On appelle ligne de niveau la ligne que forment sur le plan géométral les projections de tous les points du sol qui ont la même cote; autrement dit, c'est la projection de l'intersection de la surface du sol par un plan horizontal déterminé.

Pour représenter complètement un terrain ondulé ou montagneux, on imagine une série de plans horizontaux équidistants, plus ou moins nombreux, rencontrant le sol entre le point le plus haut et le point le plus bas, et on construit sur le plan géométral les projections de ces sections horizontales, en inscrivant à côté de chaque projection la cote connue de la section qu'elle représente.

Le dessin n'est pas surchargé par les cotes, puisqu'il n'y a pour chaque ligne de niveau qu'une cote que l'on écrit d'ailleurs à l'endroit de cette ligne que Ton veut (V. les fig. des n°3 55 et 86). Cependant un pareil plan coté remplit toutes les conditions voulues (n° 44); c'est ce que nous montrerons après avoir appris à construire les lignes de niveau et démontré quelques propositions sur lesquelles nous devons nous appuyer.

\l\h COURS DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES.

48. Une courbe de niveau se construit par points; pour déterminer ces points sur le terrain, il suffît de savoir faire deux opérations élémentaires que nous allons expliquer à part, pour plus de netteté , et aussi parce que ces opérations se pratiquent dans d'autres occasions.

49. Problème. Trouver sur le terrain des points situés au même niveau qu'un point donné A.

Ayant choisi une station à portée du point A, on donne un coup de niveau sur ce point, et on fixe le voyant à la hauteur de la ligne de visée. Puis l'aide portant la mire se déplace vis-à-vis du niveleur qui fait tourner le niveau; l'aide monte ou descend, d'après les signes qui lui sont faits, usqu'à ce que la ligne de foi se trouve de nouveau à la hauteur de la ligne de visée; le point B où se trouve alors la mire est un des points cherchés. Ce point marqué, l'aide se déplace de nouveau vis-à-vis du niveleur en faisant de nouveaux essais semblables, jusqu'à ce que la ligne de visée rencontre encore la ligne de foi. Ainsi de suite; on opère de la même manière, sans changer de station dans toute l'étendue sur laquelle on peut donner des coups de niveau avec une exactitude suffisante. Ayant terminé dans cette limite, on laisse la mire sur le dernier point trouvé D, et on transporte le niveau à une nouvelle station 0' à portée de ce point D et d'une autre partie du terrain. On donne de 0' un nouveau coup de niveau sur le point D; le voyant ayant été baissé ou haussé convenablement, on le fixe à la hauteur de la ligne de visée ; puis l'aide se déplace avec la mire pour trouver d'autres points E, F, G, H à portée de la station 0', comme il vient d'être expliqué pour la station 0. Ainsi de suite.

50. Problème. Trouver un point qui soit à une hauteur déterminée au-dessus ou au-dessous d'un point donné A.

Supposons que la cote donnée de A soit 27m,32, et que l'on cherche un point ayant pour cote 28m (nous supposons le plan de comparaison inférieur.) On met le niveau en station à portée du point A, sur lequel on donne un coup de niveau; on baisse ensuite le voyant de la mire de 28,n — 27m,32, c'est-à-dire de On,,(iS, et on le fixe à cette nouvelle hauteur. Puis l'aide portant la mire se déplace, montant ou descendant d'après les signes du niveleur qui fait tourner le niveau, jusqu'à ce que la ligne de visée ren-

NIVELLEMENT. 1 Zl 5

contre la ligne de foi du voyant dans sa nouvelle position ; le point B où se trouve alors la mire répond évidemment à la question.

Si le point cherché doit avoir une cote inférieure à la cote donnée, par exemple 27m, au lieu de baisser le voyant, on le hausse de 27m,32 — 27m, c'est-à-dire de 0m,32; puis on opère comme nous venons de le dire pour trouver le point B.

51. Si la différence des cotes était telle que le voyant ne pût être baissé ou haussé d'une quantité égale à cette différence, on subdiviserait celle-ci en deux ou en un plus grand nombre de parties; puis on chercherait successivement des points ayant des cotes de plus en plus rapprochées de la cote finale proposée. Ainsi, pour passer de 37m à 42m, on peut passer par les cotes 38ni, 39m, 40m, 41™, pour arriver finalement au point ayant pour cote ■42™.

o2. S'il ne se trouve pas de point répondant à la question à portée convenable de la première station du niveau, on peut changer le point A en cherchant d'autres points situés au même niveau (n° 49). On va se mettre de nouveau en station à portée d'un de ces points, et on recommence les essais pour résoudre la question proposée.

55. Il peut se faire que la différence des cotes ou la forme du terrain soit telle qu'il n'y ait pas de point ayant la hauteur proposée dans le voisinage de la ligne de niveau qui passe par le point A; on subdivise alors la différence des deux cotes données et on cherche plusieurs points ayant des cotes intermédiaires jusqu'à ce qu'on arrive à la cote proposée.

54. Application. Marquer sur une ligne du terrain, dont certains points ont été nivelés , des points ayant des cotes données intermédiaires.

Il suffit de faire sur chaque partie de la ligne ce que nous allons dire à propos d'une partie AB dont les extrémités A et B ont pour cotes 57m,48 et 62m,24, par exemple. 11 s'agit de marquer sur AB des points qui ont les cotes intermédiaires 58, 59, 60, 01 et 02m. (Les cotes des lignes de niveau sont ordinairement des nombres entiers.) A partir du point A on cherche, par la méthode

précédente, un point b ayant pour cote 58m; seulement le portemire, au lieu de se déplacer dans une direction quelconque à partir de A, doit suivre la ligne AB. Le point b trouvé et marqué, on en part pour trouver un point c ayant pour cote 59m, etc., jusqu'à ce qu'on arrive au point /'ayant la cote 62'". Arrivé là, on peut vérifier l'opération; pour cela ou baisse le voyant de 62,n,24 — 62m, c'està-dire de 0m,24, et on porte la mire en B. Le niveleur tourne le niveau vers ce point, et la ligue de visée doit rencontrer la ligne de foi dans la position qu'on lui a donnée d'avance.

Si on est obligé de rapprocher les cotes des points cherchés sur AB [V. les cas particuliers précédents), on ne marque d'une manière durable que les points qui ont les premières cotes proposées.

o5. Construction des courbes de niveau. Il faut déterminer sur le terrain des points de chaque courbe suffisamment rapprochés, relever ces points et les rapporter sur le plan géométral.

Les sections horizontales sont ordinairement équidistantes; on leur donne pour cotes des nombres entiers compris entre la cote du point le plus élevé du terrain et le point le plus bas. Par exemple, ces cotes extrêmes étant 8om,9 et I4m,5, on prend pour cotes des sections les multiples de 5m compris entre ces deux limites. Cette distance des sections horizontales dépend de la forme du terrain et de l'échelle du plan; elle doit être telle en général que la pente du sol soit partout sensiblement régulière entre deux courbes de niveau consécutives.

Détermination des courbes sur le terrain.

Il peut arriver que le terrain soit long et étroit. Dans ce cas on trace sur le sol des lignes de profil dirigées autant que possible suivant la plus grande pente (V. la fig.). Une de ces lignes passe par le point le plus élevé, et la distance de deux profils consécutifs doit, être d'environ 400 mètres. On fait le nivellement des points piquetés sur ces profils, puis on détermine par la méthode du nu 54, les points intermédiaires qui ont pour cotes des multiples de oro. Un relève tous ces profils et les points marqués et on les rapporte sur le plan géométral. Cela fait, on détermine successivement

toutes les courbes de niveau en opérant pour chacune comme nous allons l'expliquer pour l'une d'elles; par exemple, pour celle qui est cotée 60m. Considérant le point m coté 60m sur un

premier . profil , on va se mettre en station à "25 ou .'30'" de ce point sur la direction présumée de la ligne de niveau cherchée ; on donne de là un coup de niveau sur m', l'aide tixe le voyant à la hauteur de la ligne de visée, et transporte la mire de l'autre côté de la station à une distance de 25 ou 50m sur la même direction; on cherche à cette distance un point mi de même niveau que m, comme il a été expliqué n° -49. Puis., choisissant une nouvelle station au delà de mxi on détermine de la même manière un troisième point ma de la ligne de niveau située à 50 ou 60m de mr Ainsi de suite jusqu'au profil le plus voisin. Supposons que le point m7 soit le dernier point ainsi trouvé; on fait une vérification en cherchant sur le profil un point situé au même niveau que m- ; on doit retrouver le point m' déjà coté 60m. Si cette vérification réussit on part de ru', comme on est parti de m, pour déterminer delà même manière une nouvelle série de points d'égal niveau distants de 50 à 60m jusqu'au profil suivant. Ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait traversé tout le terrain. On revient ensuite au premier point m, et on cherche par la méthode du n 49, entre m et mif une série de points de même niveau aussi rapprochés que l'on veut (de iClu en 10"', par ex.). Arrivé près de n?1? on vérifie l'égalité de niveau de ce point et du dernier

1/lî) COURS DE MATHÉMATIQUES APPLIQUEES.

point trouvé. On procède de la même manière entre m, et m2, et ainsi de suite jusqu'à l'extrémité de la ligne de niveau considérée qui est alors suffisamment déterminée.

Quand le terrain est étendu dans tous les sens, on commence par tracer tout autour un polygone topographique ABCD (V. la fig.) dont on fait le nivellement par cheminement, avec vérifications. On détermine sur chaque côié de ce polygone, par la méthode expliquée n° 5-4, les points qui ont pour cotes des multiples de 5m. Puis on trace sur le sol des lignes de profil traversant le polygone suivant la plus grande pente du terrain et distantes au plus de 400™. On opère sur chaque profil comme on vient de le faire sur le contour du polygone. Cela fait, on relève et on rapporte sur le plan géométral le polygone et tous les profils avec les points marqués. Puis on procède en allant du contour du polygone au premier profil, de celui-ci au second, et ainsi de suite, comme on l'a fait de profil en profil dans le cas précédent.

L'emploi du polygone et des profils dans les deux cas, a pour objet de faire la construction avec plus d'exactitude en se procurant un grand nombre de vérifications.

£>(>. Levé et tracé des courbes sur le plan géométral.

On peut faire ce levé par les méthodes ordinaires. ( V. la \te partie.) On peut aussi, pour plus de rapidité, procéder au levé des points nivelés en même temps qu'on les trouve par le nivellement :

1° Avec la chaîne et la planchette. Le niveleur est accompagné de deux aides, un porte-chaîne et un porte-mire, et d'un dessinateur muni d'une planchette. Celui-ci choisit une station S à portée du point de départ M de la ligne cherchée f ) ; se plaçant en M, il relève d'abord MB, puis MS, et prend ms égale à MS (réduite). Il se met ensuite en station au point S, en mettant sm surSM (V. la fig. suiv.). Le niveleur est en station au point 0, à portée de M, pour déterminer une première série de points d'égal niveau par la méthode du n° 49. Le premier coup de niveau donné sur M et le voyant fixé, on attache l'une des extrémités de la chaîne au pied de la mire; un des aides maintient sur le sol en M la poignée restée libre, tandis que l'autre promène la mire à l'extrémité de la chaîne tendue, sous les yeux du niveleur qui fait tourner le niveau, jusqu'à ce que la

(*j Les points appelés ici JI, Mj , etc., sont les points m, nij , et du n° Lh.

ligne de visée rencontre de nouveau la ligne de foi. La mire est alors en un point cherché M, ; le dessinateur vise la mire, et trace la ligne .«//>, sur laquelle il détermine le point mA} à l'aide d'un arc de cercle,, décrit de m comme centre avec un rayon de 10m (à l'échelle);

le point m, est relevé (*).Cela fait, les deux aides se déplacent; le porte-chaîne vient tenir la poignée en Mt et son compagnon promène de nouveau la mire à l'extrémité de la chaîne pour déterminer un nouveau point M, qui est relevé par le dessinateur; Ainsi de suite; le niveleur et le dessinateur changent de station quand cela est nécessaire. Le dernier a soin de rattacher chaque nouvelle station S' à la précédente S et au dernier point trouvé, que nous appellerons P; pour cela, étant en S', il relève les lignes S'S, S'P, en direction et en grandeur. A mesure qu'un nouveau point est relevé, Mn par exemple, il joint sur la planchette le point mi au précédent m , par un trait continu en imitant à vue d'œil autant que possible la forme apparente de cette partie de la ligne de niveau. Cette dernière étant ainsi relevée sur la planchette, il est facile de la rapporter sur le plan géométral en reproduisant sur celui-ci, à l'échelle de ce plan, tout le travail exécuté sur la planchette à partir de la ligne commune mb. On rapporte ainsi tontes les courbes de niveau.

(") L'arc de cercle rencontre la droite sm^ en deux points ; mais comme on est sur le terrain, on voit bien quel est celai de ces points <(ui convient.

Remarque. Quand les courbes de niveau sont rapprochées, le dessinateur peut relever plusieurs de ces lignes , ou des parties de plusieurs lignes de la même station S. Quand on arrive sur la première assez loin pour que cette station doive être changée, on commence la courbe de niveau la plus rapprochée de celle-là que l'on conduit aussi loin que possible; puis une troisième, etc.; autant qu'il s'en trouve, à portée de la station S. On fait de même à partir des autres stations S', etc.

37. 2° Emploi de la chaîne et de la boussole. On choisit une station S que l'on rapporte sur le plan géométral, en joignant ce point rapporté au point m. A mesure que le niveleur et les deux aides déterminent les points JMj , M, , etc., comme il vient d'être expliqué , on détermine avec la boussole les angles que font avec la méridienne magnétique, et dans le plan horizontal, les directions SMj, SM, , etc. A l'aide de ces angles, on rapporte sur le plan géométral ces directions, sur lesquelles on marque, à l'aide d'arcs de cercle, les points mi, m2, etc., comme dans le cas précédent, et on trace les arcs mmx, mjn^ etc., de la courbe de niveau. On peut aussi construire de cette manière plusieurs courbes à la fois.

58. Enfin, au lieu d'arcs de cercle, on peut employer des perpendiculaires. On trace, à portée des lignes cherchées sur le sol, une ligne droite ou des lignes droites consécutives, sensiblement horizontales sur lesquelles on élève, à l'aide de Féquerre, des perpendiculaires suffisamment rapprochées; on relève ces lignes auxiliaires sur la planchette (V. la fig. du n° 56). Cela fait, le niveleur et le porte-mire cherchent les points de la ligne de niveau à partir de M par exemple. Mais l'aide, au lieu de promener la mire arbitrairement, la promène sur une première perpendiculaire, puis sur une seconde, etc., pour déterminer sur chacune un point de la ligne de niveau. Le dessinateur, visant la mire quand elle est sur un de ces points Ml5 trace la ligne smt dont la rencontre avec la perpendiculaire correspondante du papier, détermine le point mx sur la planchette. On joint ces points m, mti ms, par un trait continu, et on rapporte ce travail sur le plan géométral comme nous l'avons expliqué.

59. Représentation sir in plan coté d'un point, d'une droite. questions pratiques élémentaires.

Définitions. / 'n point est représenté sur un plan coté par sa pro-

jection nettement marquée auprès de laquelle on a écrit sa cote de hauteur.

Les cotes de hauteur s'écrivent ordinairement entre parenthèses ou à l'encre rouge pour être distinguées des nomhres qui expri-

ment des distances horizontales. On se dispense des parenthèses quand la confusion n'est pas à craindre.

On désigne habituellement les projections des points A, B, G,. .., du terrain par les petites lettres correspondantes a,b, c — On dit aussi quelquefois le point a pour le point dont la projection est a.

Le point A coté (10) est situé au-dessus de sa projection comme on le voit sur la figure (2).

Une droite AB du terrain ou de l'espace est représentée par sa projection ab et les cotes de deux de ses points. Elle est située audessus du plan de comparaison comme l'indique la figure (2).

Une droite est horizontale quand les cotes indiquées sur sa projection sont égales.

Une droite verticale est indiquée par un seul point non coté qui est sa projection.

60. Problème. Trouver la véritable distance de deux points cotés A et B.

D'après la figure AB = AB2 + (Bô — Aa.y = a~b2+{Bb — kaf.

Or, ka et Bô sont les cotes données; la ligne ab peut être mesurée à l'aide de l'échelle horizonlaie du plan coté, qui est celle dont il est question dans le levé d<>s plans, n° 28, page 13.

01. Problème. Trouver la cote d'un point C situé sur une droite cotée AB, connaissant sa projection c.

Les cotes ko,, B6 sont données. La longueur de ab est donnée ou peut être mesurée et évaluée au moyen de l'échelle horizontale du plan coté; il faut calculer Ce. Il peut se présenter deux cas : le point G, quand on monte sur la droite AB, se trouve au delà ou en deçà du point le plus bas, A [c est au delà de a dans le sens ah ou en deçà).

1" cas [fig. \ et fig. 2); Ce = Ce + CC = Aa -f CC\

Les triangles semblables ACC, ABB' donnent