SURFACES DE NIVEAU ; NIVEAU VRAI ', NIVEAU APPARENT

©8. L'objet d'un nivellement n'est pas précisément tel que nous l'avons indiqué (n°3). Cette opération se fait le plus souvent à propos de l'écoulement et de la conduite des eaux, pour la construction des routes et des chemins de fer.

Or, l'écoulement des eaux, la facilité plus ou moins grande de la traction d'un point du sol à un autre, ne dépendent pas précisément de la différence de hauteur de ces deux points au-dessus du même plan horizontal, mais de leur différence de niveau. C'est ce que nous allons vérifier sur un exemple très-simple.

9». Définitions. On appelle surface de niveau une surface perpendiculaire en tous ses points à la direction de la pesanteur terrestre. Exemple. La surface des eaux tranquilles (V. la physique).

Nous supposerons la terre sphérique; en faisant cette hypothèse, on ne commet aucune erreur sensible dans les nivellements.

La terre étant sphérique, et toutes les directions de la pesanteur passant par son centre, toutes les surfaces de niveau sont des surfaces sphériques ayant le même centre que la terre.

On appelle ligne de niveau toute ligne tracée sur une surface de niveau.

Des points sont de niveau quand ils sont situés sur la même surface de niveau, c'est-à-dire également distants du centre de la terre.

On appelle différence de niveau de deux points la différence de leurs distances à la même surface de niveau.

On descend ou on monte sur la terre suivant qu'on se rapproche ou qu'on s'éloigne de son centre.

Vérifions maintenant ce que nous avotis avancé n° 98. Considérons, par exemple, une horizontale DAC tangente en A à la ligne de

niveau AMN. Le point A est le point le plus bas de cette horizontale; on descend de C vers A et on monte de A vers C; par suite, d'après les lois de la pesanteur (V. la physique) , l'eau coule de C vers A et ne saurait couler de A vers C. La pesanteur produit ou favorise le mouvement des véhicules de C vers A, tandis qu'elle empêche ou gêne ce mouvement de A vers C. Or il n'y a pas de différence entre les hauteurs de A et de C au-dessus du même plan horizontal, et il y a entre ces points une différence de niveau.

On ne monte ni ne descend sur la ligne AMN ; l'eau n'y coule nulle part, pas plus de M vers N que de N vers M. La pesanteur, partout annulée par la résistance du sol , ne gêne ni ne favorise la locomotion ni de N vers M , ni de M vers N; en un mot, rien ne distingue sous ce rapport le point N du point M. Et cependant il y a une différence entre les distances de ces points au plan horizontal DAC, tandis qu'il n'y en pas entre leurs distances à une même surface de niveau quelconque.

Ce que nous avons annoncé n° 98 est donc vrai.

f oo. La détermination des différences de niveau doit donc être le véritable objet du nivellement; c'est en effet le but qu'on se propose. Mais tandis qu'au moyen d'un niveau on se procure aisément un plan horizontal de comparaison d'une étendue suffisante (le plan de niveau , n° 4), on ne peut pas se procurer une pareille surface de niveau. C'est pourquoi on détermine d'abord les différences de hauteur comme nous l'avons expliqué dans le cours; puis on en déduit aisément, comme nous allons le voir, les différences de niveau. Exemple! A et B sont des points du terrain entre lesquels on fait un nivellement simple, 0 le lieu de station du niveau Oo , oa et ob les rayons de visée. Le plan de niveau est donc boa; bioal est la surface de niveau qui touche ce plan en o. Les hauteurs verticales lues successivement sur la mire sont Aa et Bb; la différence des hauteurs de A et de B est donc Aa — bb , tandis que leur différence de niveau est Aa, - B&i. Or

Aa = Aa1+aJa et Bb = Bbi-±b1b.

d'où Aa — Bb =Aa, — Bb, -f- a^a — b46 ,

puis Aa,— Bb, = Aa — Bb — (aax — b,b).

Il faut donc déterminer aOi et bb{.

D'après une propriété du cercle, oa" = aa, X aF ; d'où aa,= - = ,

1 aF aa,+2K

R désignant le rayon de la terre. oat étant très-petit et négligeable par rapport

à 2B, on peut prendre sans erreur sensible

oa~ , • 11. 00

aai=2R de même ib,= — ; («)

oa — ob d où aal — bbl = — . (£)

oo et ob sont les distances horizontales de la station 0 du niveau aux points nivelés A et B; on peut les mesurer au pas; le diamètre 2R de la terre est connu; on peut donc évaluer sans difficulté la différence aa, — bb, , et déduire la différence de niveau Aa,— Bb, de la différence de hauteur Aa — Bb.

Mais si, conformément à la règle du n° 14, les distances oa, ob sont égales ou peu différentes, comme d'ailleurs 2B est très-grand (2R vaut environ 12731000 mètres), la différence aax — bbx est nulle ou très-petite et négligeable; on peut donc, dans ce cas, se dispenser delà correction et regarder, sans erreur sensible, la différence de niveau kal — Bb, comme égale à Aa — Bb. C'est pourquoi dans les traités de nivellement on se contente souvent de donner cette règle du n° 14, sans même parler de la correction; c'est pourquoi nous-mème n'avons parlé que des dilférences de hauteur.

loi. Il est bon cependant que le lecteur connaisse la correction à faire quand on est obligé de placer le niveau à des distances par trop différentes des points nivelés A et B. Avant d'inscrire les hauteurs de mire sur le tableau, on doit dans ce cas les diminuer des valeurs calculées de aa, et de bl>,.

Le plan horizontal déterminé par les lignes de visée est ce que l'on appelle le niveau apparent ; la surface de niveau qui touche ce plan au point de station du niveau, s'appelle le niveau vrai; aa^ est la différence entre le niveau apparent et le niveau vrai.

t o s . Pour être tout à fait exact , il y a encore une autre correction à faire ; mais celle-là se fait en sens contraire. De la réfhaction. (V. la physique.) La réfraction qui est la plus grande dans le sens horizontal est une aulie cause d'erreur dans le nivellement. Ce n'est point le rayon lumineux réfléchi par le point a de la mire qui arrive à l'oeil o dans la direction horizontale oa , c'est le rayon lumineux réfléchi par un point inférieur a2 qui arrive brisé et relevé. La hauteur lue sur la mire est donc Aa2 et non Aa; Aa diminuée ainsi de aa2 ne surpasse plus Aa, que de a^^ On a vérifié en général que aa, — 0,10aa,; donc «,«, — 0,8400,. L'erreur due

COUKS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES.

a la réfraction atténue donc celle qui est due à l'usage du niveau, et linalement la cote du niveau apparent (la hauteur de mire) ne doit être diminuée que de

O,84oo 2R

C'est une raison de plus pour négliger le plus souvent la correction. D'ailleurs, les erreurs dues à la réfraction s'annulent aussi ou se diminuent mutuel^ lement quand les distances oa et ob sont égales ou peu différentes.

10 3. Voici au besoin un certain nombre de corrections entre lesquelles on peut en intercaler d'autres ù l'aide de proportions ; ces corrections sont calculées d'après la formule (m).

DISTANCES