PROBLEMES RESOLUS A L AIDE DES COURBES DE NIVEAU

82. Les sections horizontales sont suffisamment rapprochées, quand une droite quelconque, allant d'une ligne de niveau à la suivante sur le sol, peut être considérée sans trop grande erreur comme située en entier sur la surface du terrain. Le plan coté fournit alors immédiatement, avec une approximation suffisante pour la résolution des questions topographiques, tous les éléments qu'on obtiendrait par des nivellements.

85. On connaît ou on peut facilement déterminer la cote d'un point quelconque C dont la projection c est indiquée sur le plan.

En effet, si ce point n'est pas situé sur une ligne de niveau, il peut être considéré comme situé sur une ligne AGB du terrain dont la projection serait la ligne acb menée par c entre les deux courbes de niveau voisines. La question à résoudre est celle du n° 01 ; on lit sur les courbes les cotes de A et de B; on peut mesurer ab, ac à l'échelle horizontale du plan; on a donc tout ce qu'il faut pour calculer la cote Ce par la formule (1) indiquée dans ce numéro.

84. On détermine facilement la pente d'une droite quelconque représentée sur le plan.

En effet, si cette ligne rencontre deux lignes de niveau en a et

en b, on connaît les cotes 136, Aa et la distance horizontale ab;

, . i Bb — Aa on peut donc calculer la ponte p = — .

85. On peut déterminer la pente d'une ligne quelconque ahede en un point donné quelconque m de cette ligne.

En effet, si la portion de cette ligne qui passe par le point m peut être considérée comme une ligne droite entre les deux courbes de niveau voisines, on résout pour ce segment rectiligne la question précédente.

Dans le cas contraire, on mène par le point m une tangente à la courbe entre les deux lignes de niveau voisines, et on détermine la pente de cette tangente qui est celle de la courbe à l'endroit considéré.

86. Des profils. Pour mieux étudie)' la forme du terrain suivant une ligne donnée abcde,. ..,on peut construire le profil de cette ligne.

Le plan coté fournit immédiatementtousleséléments nécessaires.

Si les courbes de niveau sont assez rapprochées, on peut considérer les segments ob, bc,cd, de,... de la ligne proposée compris entre ces lignes comme sensiblement rectiliq-nes. On connaît les

cotes de a, de b, dee, ... et les distances horizontales «6, bc, cd,...; on construit aisément le profil (n°34). Au besoin, on peut marquer des points intermédiaires dont on calcule les cotes, et on construit le profil plus exactement.

87. Problème. Construire sur un plan coté un chemin ou une rigole d'irrigation ayant une pente régulière donnée p.

Soient en général h la différence des cotes de deux courbes de niveau consécutives, et d la projection horizontale de la portion du chemin comprise entre ces deux lignes, que nous considérons

comme droite. La distance d étant connue, on aurait p = - (n° 03) :

on a donc d = - ; on calcule la valeur de d d'après cette formule. p

Ex. : h=.<2m. etlapenteestde0m,01 par mètre, d=-^— = 200

Si le chemin part d'un point a situé sur une des courbes de

niveau, on décrit de ce point o, comme centre, avec un rayon

égal à la distance d mesurée sur l'échelle horizontale du plan, un arc

de cercle qui coupe la courbe suivante en un point b', on trace ab.

Puis, de b comme centre avec le même rayon, on décrit un nouvel

arc de cercle qui rencontre la courbe suivante en c, et on trace bc\

et ainsi de suite.

Afin d'éviter les changements de direction trop brusques, on ne joint pas a et 6, b et c, c et d, etc., par des lignes droites; on arrondit, comme nous l'avons fait, ces diverses parties du tracé. La ligne abcde,... représente une ligne ABGDE... du terrain qui a sensiblement dans toute son étendue la pente donnée p.

Remarques. Le 1er arc de cercle coupe généralement la courbe suivante en deux points b et b'; le 2e coupe la 3e courbe en c et en c'. Au lieu de ob, on pourrait tracer ab' ; au lieu de abc , on pourrait tracer ab'c, abc' , ab'c' , etc. ; c'est-à-dire qu'on peut construire un chemin ou une rigole ayant la pente donnée dans un certain nombre de directions différentes. On choisit celle qui convient le plus d'après certaines considérations qui dépendent des lieux ou de circonstances que nous ne pouvons prévoir ici.

Si le point de départ i ne se trouve pas sur une courbe de niveau, on calcule la différence entre la cote de ce point et celle de

la courbe suivante. Soit h ; on calcule d' ■=■— , et on se sert de a

P comme il a été dit précédemment à propos de d ; ayant obtenu

ainsi un deuxième point de a du chemin , on part de a pour continuer comme il vient d'être expliqué.

Si l'un des arcs décrits ne faisait que toucher la courbe, il n'y aurait en cet endroit qu'une direction possible au lieu de deux ; la pente donnée serait précisément égale à la plus grande pente du terrain en cet endroit.

Si un arc de cercle n'atteint pas la courbe , c'est que la pente donnée surpasse la plus grande pente du terrain en cet endroit, et il faut revenir sur ses pas pour choisir et essayer une des autres directions possibles. Si Ton est encore au point de départ du chemin ou s'il faut y revenir, le problème proposé est impossible.

88. Problème. Construire un chemin ou une rigole qui ait une pente donnée pour aller d'un point g à un autre point donné s.

On trace, à partir de g d'abord, puis, à partir de s, deux lignes qui aient la pente donnée, comme il vient d'être expliqué, en choisissant parmi les directions possibles pour ces deux lignes deux tracés qui se rencontrent en un point o, par exemple. On suit le premier tracé de g en o, et le second de o en s.

89. Problème. Déterminer la ligne de plus grande pente du terrain à partir d'un point donné a.

Du point a comme centre, on décrit un are de cercle qui touche seulement en 6 la courbe de niveau suivante (en descendant); on trace le rayon ab (Ce rayon est perpendiculaire à la courbe en b). Du point b comme centre, on décrit un second arc de cercle qui touche seulement la courbe suivante en c; on trace le rayon bc; ainsi de suite. La ligne ABGD... du terrain représentée

par abcd est la ligne de plus grande pente à partir du point A

projeté en a.

Questions pratiques résolues immédiatement sur le terrain.

90. Comme on le voit, il est facile de résoudre à l'aide d'un plan coté toutes les questions à propos desquelles on ferait des nivellements j mais il peut arriver que, n'ayant pas de plan coté, on ait à résoudre promptement, dans un but spécial, les questions précédentes ou d'autres analogues. Il faut donc savoir

i&h cours de mathématiques appliquées.

résoudre ces questions sur le terrain avec la mire, le niveau et

la chaîne; nous allons indiquer la solution de quelques-unes.

9i . Problèmes. Déterminer la pente du terrain suivant une ligne

, . , , . .. , . , Bb — Art droite AB. On applique la formule p = -. ; on trouve la

différence de hauteurs Bb — Aa par un nivellement entre A et B, et ab par un chaînage, comme il a été indiqué n° 35.

92. Problème. Mesurer la pente du terrain suivant une ligne quelconque ABCDE. On marque sur cette direction un certain nombre de points A, B, C, D, E, ... dans des conditions indiquées pour faire un profil (n° 36) ; puis, considérant les segments AB, BC, CD, etc., comme des lignes droites, on détermine, comme il vient d'être dit, la pente de chacune. 11 est bon de faire dans ce cas le profil de la ligne ABCDE avec les mêmes éléments qui servent an calcul des pentes.

95. Problème. Tracer sur le terrain une ligne ayant partout la même pente donnée. (C'est la question du n° 87.)

Supposons que la pente donnée soit de 0m,005 par mètre; supposons de plus que la pente du terrain, dans le parcours à suivre, puisse être regardée comme sensiblement régulière sur chaque étendue de 10 mètres. La pente constante doit être de 5 centimètres par 10 mètres; on donne un coup de niveau sur A, puis on hausse le voyant de 5 centimètres. On attache l'une des extrémités de la chaîne au pied de la mire; un aide tient l'une des poignées tixe en A, tandis qu'un autre portant la mire promène cet instrument à l'extrémité de la chaîne tendue vis-à-vis du niveleur qui fait tourner le niveau, jusqu'à ce que la ligne de visée rencontre de nouveau la ligne de foi; soit B le point sur lequel se trouve alors la mire; on trace la droite AB. On hausse de nouveau le voyant de 5 centimètres, le porte-chaîne vient tenir sa poignée en B, et on recommence la même opération pour trouver un nouveau point C qui soit plus bas que B de 5 centimètres ; on trace la ligne BC. Ainsi de suite; le niveleur change de station quand il le faut. La ligne ABCD... ainsi trouvée a partout la pente indiquée.

Si l'opération ne réussit pas dans une de ses parties, la ligne cherchée ne peut être continuée dans la direction que l'on suit au delà du point où on est rendu. Si cette direction n'est pas la seule possible (V. n°87), on essaye dans une autre direction.

94. Problème. Trouver le point le plus bas ou le plus haut d'une ligne de terrain.

Un aide promène lo mire sur la ligne en question, tandis que le niveleur, en visant continuellement, lui fait signe de baisser ou de hausser le voyant atin que la ligne de foi soit continuellement rencontrée par la ligne de visée. Quand il faut baisser, c'est que le terrain s'élève ; quand il faut hausser, c'est que le terrain descend. Le porte-mire se trouve au point le plus haut quand il cesse de baisser le voyant pour le hausser un peu plus loin ; il est au point le plus bas dans le cas contraire.

Il peut arriver plusieurs fois que le porte-mire cesse de baisser le voyant pour le hausser ensuite ou vice versa; c'est que la ligne parcourue offre plusieurs angles saillants ou rentrants. On marque les points où on cesse de monter, et ceux où on cesse de descendre (les points saillants et les points déprimés). Si l'on veut trouver le point le plus élevé ou le point le plus bas de la ligne, il faut faire le nivellement des points saillants d'une part, et des points déprimés d'une autre.

9o. On peut, par application de cette dernière méthode, trouver sur le terrain la ligne de plus grande pente à partir d'un point donné A.

La chaîne est attachée au pied de la mire ; un aide tient la poignée libre en A , tandis qu'un autre aide promène la mire à l'extrémité de la chaîne tendue du coté où le terrain descend, sous les yeux du niveleur, qui, visant continuellement, lui fait signe de hausser le voyant, afin que la ligne de foi soit toujours au niveau de la ligne de visée. Le point où le voyant est le plus élevé est le point le plus bas de la circonférence décrite par le pied de la mire ; soit B ce point ; on trace le rayon AB. Le porte-chaîne vient tenir sa poignée au point B, tandis que le porte-mire décrit un nouvel arc de cercle jusqu'à ce qu'il soit arrivé au point le plus bas de cet arc, en C, par exemple; on trace le rayon BG. Ainsi de suite.

rs'ous supposons la pente sensiblement régulière dans chaque direction à une distance de 40 mètres; dans le cas contraire, on prendrait un rayon moins grand. Nous ne tenons pas compte non plus de la différence entre la longueur d'un rayon AB et celle de sa projection horizontale; cette différence n'influe pas sensiblement sur la pente (sur une longueur de 40 mètres).

Remarque. Nous nous occuperons dans un complément des applications les plus usuelles du nivellemeut à la construction des chemins, à la conduite des eaux et au drainage. Voici une de ces questions.

96. Problème (question de drainage). On doit creuser une tranchée profonde de lm,40 à son extrémité inférieure, et dont le fond doit avoir une pente uniforme de 0m,005 par mètre. On propose de déterminer la profondeur du déblai à opérer en un certain nombre de points marqués sur le parcours à suivre.

Soient A, B, C, D, E, F les points en question, et a, b, c, d, e, f les points du fond de la tranchée qui leur correspondent verticalement.

On détermine par un nivellement les cotes des points A, B, C,... F, et on mesure les distances horizontales de A à B, de B à G, etc. Supposons qu'on ait trouvé les résultats suivants :

Cotes. Distances horizontales.

A 3m,84 de A à B 42m,50

B 4 ,35 de B à G 38 ,25

C 3 ,40 de G à D 59 ,80

D 3 ,55 de D à E 60 ,40

E 4 ,12 de E à F 45 ,00

Nous allons calculer les cotes de a, b, c, d, e, f pour les soustraire de celles de A, B, C,... F ; les différences sont précisément les profondeurs cherchées. Supposons que l'extrémité inférieure du déblai corresponde au point A; la profondeur est lm,40, et la

cote de a est 3"',84— lm,40 = 2m,44-

Le point b doit être plus élevé que a de 0u,,005x 42,50 (défin. n° 63); la cote de b est donc égale à

2n,,44 + 0m,005 X 42,50 = 2ro,44 + 0m,2 1 25 = 2°',6525.

Le point c est plus élevé que b de 0m,005x38,25; la cote de e = 2m,6525 + 0m,005 X 38,25 = 2n>,84375. On trouve de même

cote de d = 2m, 84375 -f 0m,005 X 59,80 = 3m,l 4275 cote de c =3 ,14275 + 0 ,005x50,40 = 3 ,44475 cote dd f=3 ,44475 + 0 ,005x45,00 = 3 ,66975

En A, il faut creuser h ]m,40 de profondeur

en B, c'est à 4"', 35 — 2ra, 0525 = 1 m,6975

en C, 3m, 40 — 2m,85375 = 0», 54625

en D, 3 ,55 — 3 ,14275 = 0 ,40725

en E, 4 ,12 — 3 ,44475 = 0 ,67525

en F, 4 ,00 — 3 ,66975 = 0 ,33025.

Pour plus de simplicité, comme le plan de comparaison est arbitraire, on peut donner à A pour cote d'emprunt la profondeur indiquée l,n,40. La cote de a est alors 0, et celles de b, c, d? e, f s'obtiennent par une simple multiplication.

97. Rappelons en terminant que nous avons résolu précédemment ces questions principales :

1° Trouver sur le terrain des points situés au même niveau qu'un point donné A (n° 49).

Application. Tracer sur le terrain à partir d'un point donné A une ligne sans pente, c'est-à-dire une horizontale. C'est une ligne de niveau à construire comme il a été indiqué n° 55.

2° Trouver sur le terrain un point ou des points situés à une hauteur donnée au-dessus ou au-dessous d'un point donné A (n° 50).

Application. Trouver une droite AB, donnée par deux de ses points cotés, un point ayant une cote donnée (n° 54).