Projections du cercle

\" cas. Le cercle est parallèle au plan horizontal. Sa projection horizontale est un cercle égal au cercle donné (n° 39), et sa projection verticale se réduit à la projection verticale a'o'b' du diamètre AOB parallèle au plan vertical.

65. 2e cas. Le cercle est situé dans un plan donné quelconque PQR.

lre Méthode. Supposons qu'on donne la projection horizontale o du centre, ou ses deux projections o, o', et le rayon. On rabat le centre en 0t sur le plan horizontal [fig. 1 de la planche ci-après), comme il a été expliqué n° 54, et on décrit une circonférence de 0{ comme centre avec le rayon donné ; puis on relève cette circonférence, point par point, comme il a été indiqué n° 55, en profitant de toutes les simplifications qui se présentent (*). C'est le cas de construire tout exprès l'angle du plan PQR avec le plan horizontal.

L'épure est facile à comprendre pour le lecteur qui sait rabattre et relever un point (n0s 54 et 55). Nous laissons à construire la projection verticale : après avoir trouvé la projection horizontale m d'un point quelconque, on détermine sa projection verticale?/?' comme il est indiqué n° 55.

2e Méthode. Considérons le diamètre horizontal A0At du cercle proposé, celui qui est parallèle à QR (fig. 2); ce diamètre a pour projection horizontale une ligne égale aoai parallèle à QR (n° 38). Imaginons notre cercle projeté sur le plan horizontal qui passe par A0At, et que nous appellerons AAjM'; cette projection et celle que nous cherchons sont égales et parallèles; si on sait construire

(') Si l'on mène sur le rabattement un diamètre parallèle à QR et un autre perpendiculaire, il suffit de relever par la méthode ordinaire un des quadrants ainsi déterminés; chaque point de la projection de ce quadrant fait connaître trois points des projections des trois autres, symétriquement placés par rapport aux projections des deux diamètres en question. Ex. : le point m relevé, on trouve immédiatement m,, m.,, 3S.

NOTIONS DR GÉOMÉTRIE nESCRIPTIYF. 203

la première en opérant sur AUAt dans le plan AA^l', on obtiendra la seconde en faisant sur l'épure exactement les mêmes constructions sur aoar Considérons donc un instant à part le cercle ABA, de l'espace et sa projection sur le plan horizontal AAjM' (fig. 3). Abaissous sur ce plan la perpendiculaire B6 pour projeter le point b; menons bO perpendiculaire à AAt et tirons BO ; BO est perpendiculaire à AAt (Th. des trois perp.) ; faisons la même construction pour un autre point quelconque N de la circonférence. On appelle ordonnées du cercle les perpendiculaires telles que BO, NQ, menées de la circonférence sur le même diamètre AOAj ; 60, n() sont les ordonnées de la projection. Les triangles BèO, NwQ, qui ont les

côtés parallèles, sont semblables, et donnent —- = -—; le rapport

wQ 60

d'une ordonnée du cercle à sa projection est donc le même pour toutes les ordonnées. Cela posé, imaginons que le cercle ANBAjBj tournant autour de AAj comme axe, se rabatte sur le plan AAtM'; chaque ordonnée QN du cercle perpendiculaire à AAt se rabat sur sa projection Qn; la circonférence rabattue et sa projection forment la fig. 4, dans laquelle, suivant ce qui vient d'être démontré, la projection knbkj) divise toutes les ordonnées du cercle dans le même rapport. Cette fig. -4, supposée construite au-dessus de l'épure dans le plan horizontal AAjM', se projette comme nous l'avons dit en véritable grandeur sur notre plan horizontal de projection; il suffit donc de la reproduire sur l'épure, aoa{ remplaçant AOA, , pour avoir la projection horizontale du cercle.

Construction. On décrit donc une circonférence sur aoai comme diamètre [fig. 2); on élève au point o une perpendiculaire oB; au même puint o on fait avec oB un angle BoB' égal à l'angle du plan donné avec le plan horizontal, et on abaisse B'6 perpendiculaire sur oB. L'ordonnée oB du cercle est divisée en b dans le rapport convenable, et b est la projection du point B de l'espace; en effet, le triangle B'oô est égal au triangle B06 de la fig. 3. Pour diviser une autre ordonnée Nq dans le même rapport, on tire oN et on prend oi=ob, en décrivant l'arc de cercle bi\ par suite iN=bB. Enfin on mène in parallèle à aoa^; le point n est la projection du

• x *t j i- • No No. oB

point N de 1 espace, puisque — i= -r- = -r- La même construcr nq 10 ob

tion devant se répéter pour toutes les ordonnées du cercle, on

prolonge l'arc bi jusqu'à oa, et on fait pour chacune de ces ordonnées, exemple Sr, ce que nous avons fait pour Nç-. Quand on a projeté un nombre suffisant de points du quadrant ANB, on joint les projections trouvées b...n...s...a par une ligne continue. Chaque point n de l'arc anb fournit trois autres points ni} w,, n3, appartenant respectivement aux projections des trois autres quadrants , et qui s'obtiennent comme il est indiqué sur l'épure (qnl=:qn; pn3 = pn et pln, = pin1). La raison de cette construction se voit facilement; il y a sur le cercle aBa1B1 quatre ordonnées égales N<7, çNt, N^, </jN3, auxquelles correspondent quatre ordonnées égales nq, qni: qlnî^ n.iq1 de la projection, puisqu'on doit

avoi3 = ^ = ^l = ^.

nq qnY niqi qji^

Pour avoir la projection verticale de la circonférence , le plus simple est de faire sur le plan vertical ce qu'on a fait sur le plan horizontal, en opérant sur une parallèle à la trace verticale PQ comme on a opéré sur aoai} et en employant l'angle du plan PQR avec le plan vertical comme on a employé son angle avec le plan horizontal. La seconde projection obtenue, on trouve facilement les points correspondants au moyen de perpendiculaires à la ligne de terre, exemple: bb'. Autrement: ayant obtenu la projection horizontale b d'un point B, on mène bb' perpendiculaire à LT, et on prend au-dessus de a'o'a\ une longueur hb' égale à bB! du triangle boB' ; bB' est évidemment la hauteur du point B de l'espace au-dessus du plan horizontal AA^l' quia pour trace verticale a'o'a\, puisque bB' = bB de la fig. 3 (*). On fait de même pour les autres points.

06. Chaque projection du cercle est une courbe appelée ellipse. Cette courbe a un centre qui est la projection o du centre du cercle; en effet, chaque diamètre du cercle étant divisé au point 0 en deux parties égales, sa projection est divisée de même au point o.

(') Ayant trouvé la projection verticale n' d'un point N du premier quadrant on mène par ce point des parallèles aux projections verticales a'o'a\ et b'o'b\, de AOA, et de BOBj préalablement déterminées, et l'on achève le parallélogramme 7^'n\n'.,n'3 dont les côtés doivent être respectivement divisés par a'o'a't, et b'o'b\ en deux parties égales. On obtient ainsi les projections verticales des quatre points N , Ni , N8 , Ns.

L'ellipse a deux axes rectangulaires aoay, bob1} dont l'un est parallèle à la trace QR ; c'est ce qui résulte de notre construction et de nos explications. La plus grande ordonnée du cercle est celle qui tombe au centre, c'est-à-dire BO projetée en bo; bo est donc la plus grande des ordonnées de l'ellipse. Le diamètre horizontal AOAt du cercle est le seul qui se projette en véritable grandeur (n° 38); tous les autres sont diminués ; aoal est donc le plus grand diamètre et même la plus grande corde de l'ellipse. Le grand axe aoat de l'ellipse (V. les courbes usuelles) est donc la projection en véritable grandeur du diamètre AOA, du cercle parallèle au plan de projection, et le petit axe bobl la projection du diamètre BOB, perpendiculaire au premier. Nous pourrions indiquer ici d'autres propriétés intéressantes de l'ellipse, qui se déduisent de la proposition relative aux ordonnées du cercle et de l'ellipse; mais nous nous écarterions peut-être un peu trop de notre but actuel.

G7. Construire une tanyente à Vellipse en un de ses points n. On mène une tangente Nt à la circonférence au point N correspondant à n, jusqu'à la rencontre de aoav en t; on joint tu; cette ligne est la tangente cherchée. En effet, on répète ainsi ce qui se ferait sur le plan horizontal supérieur AAaM' déjà considéré, et que nous indiquons sur la fig. 5. La tangente à l'ellipse en n est la projection de la tangente au point correspondant N de la circonférence; or celle-ci a pour trace sur le plan AAjM' un point T, qui est luimême sa projection sur ce plan; donc Tn (que nous avons répétée en tn) est la projection de TN sur le plan AAjM'. Pour avoir la projection verticale de la tangente, on projette t en t' sur do'a\, et on tire t'n\ (Complétez la fig.)

68. Problème. Faire passer une circonférence par trois points donnés (a, a'), (b, b'), (c, c'). On rabat ces trois points sur le plan horizontal, comme il a été dit n° 54. On fait passer une circonférence par les trois rabattements A,, Bn C,; puis ayant relevé le centre en o, o', et le diamètre horizontal aoa1} on construit les projections de la circonférence, comme il vient d'être indiqué.

REPRÉSENTATION DES F'igURËS QUELCONQUES.

69. Préliminaires. Sachant représenter les points, les lignes, les plans, nous pouvons nous occuper de la représentation des corps

NOTIONS DE GÉOMÉTRIE DESCIUl'TIVE. *207

et des figures quelconques. Nous considérerons d'abord les ligures géométriques vulgaires; puis nous nous occuperons des instruments, des machines, des édifices, et en général des ouvrages d'art et d'architecture.

Pour représenter un objet quelconque par la méthode des projections, on mesure d'abord sur la figure même à représenter les lignes et les angles qui la déterminent dans son ensemble et dans ses détails essentiels. Puis on se sert de ces longueurs, ordinairement réduites suivant une certaine échelle, pour construire une épure sur laquelle doivent être représentées toutes les lignes nécessaires pour une description sutlisante de l'objet en question.

70. Les longueurs se mesurent, suivant leur étendue, avec un double décimètre ou un mètre divisé, avec la roulette, et au besoin avec la chaîne d'arpenteur (levé des plans). Les hauteurs verticales se déterminent autant que possible avec le fil à plomb, et quelquefois à l'aide de mesures indirectes et d'un rabattement, comme nous l'indiquons plus loin à propos des pyramides et des polyèdres.

71. Chaque angle se mesure avec le rapporteur quand cela est possible, et souvent comme il suit : on mesure sur les côtés deux petites longueurs AB, AC, puis la distance opposée BC (en se servant au besoin d'un compas d'épaisseur); on construit un triangle avec ces trois longueurs, et l'angle BAC est connu (V. le levé des plans pour la mesure des angles sur une grande étendue).

72. On a souvent à représenter une circonférence tracée sur un corps rond. On mesure son contour et on en déduit le rayon ; ou bien on détermine, en se servant au besoin d'un compas d'épaisseur, les distances rectilignes de trois points de la courbe; on construit un triangle avec ces trois longueurs et on circonscrit une circonférence à ce triangle.

75. Il arrive souvent que l'objet à représenter n'existe pas ; il s'agit d'un instrument, d'une machine3 d'un ouvrage quelconque d'art ou d'architecture qui doit être construit d'après le dessin. Dans ce cas, les longueurs et les angles que l'on mesurerait si l'objet existait sont donnés avec toutes les autres indications nécessaires par l'auteur du projet, et l'épure se construit exactement dans les mêmes conditions et de la même manière;

20$ coins de mathématiques appliquées.

74. Des cotes. Four plus de clarté et de commodité, on inscrit souvent sur les dessins géométriques des nombres indiquant les vraies valeurs des lignes et des angles: ces nombres s'appellent des cotes. Les longueurs et les angles cotés doivent être distinctement indiqués. (V. plus loin les plans d'une maison.)

76. Échelles. Les longueurs cotées ou non sont ordinairement réduites suivant une certaine échelle (V. le n° 18 et le levé des plans). L'échelle doit être indiquée sur la feuille de dessin soit par un nombre, soit par une ligne divisée.

Nous n'avons écrit de cotes ou indiqué une échelle que sur les ligures d'instruments ou de bâtiment. Quant aux ligures géométriques ordinaires, nous avons cru inutile de le faire; les lignes qui doivent être cotées (celles qui déterminent la figure) se voient aisément, et le lecteur peut les coter lui-même en les mesurant et en adoptant une échelle de réduction.

7G. Choix des plans de projection. Les plans de projection rectangulaires entre eux sont d'ailleurs tout à fait arbitraires; on les choisit, après examen de la figure à représenter, le plus avantageusement possible pour la clarté et la simplicité de l'épure. Il importe évidemment que les lignes principales, les détails essentiels de la ligure se trouvent immédiatement, se voient sur le dessin, ou puissent s'en déduire aisément. C'est pourquoi on projette ordinairement la ligure sur des plans qui contiennent des faces ou des lignes principales, ou sur des plans parallèles. Exemple : un cube, un parallélipipède rectangle, un prisme droit, une pyramide, un cône, un cylindre; on prend, autant que possible, le plan de la base pour plan horizontal. Pour les trois premières ligures, ou prend le plan vertical parallèle à une des faces latérales; pour le cylindre oblique, on le prend parallèle aux génératrices. Quand on ne peut pas prendre le plan de projection parallèle au plan d'une ligne principale, il y a avantage à le choisir perpendiculaire à ce plan; la ligne en question se projt tte alors simplement fn° 32). et surtout se construit aisément en vraie grandeur à l'aide d'un rabattement.

Quand la ligure proposée est complexe, les plans de projection, choisis avantageusement pour la représentation de certaines faces ou de certaines lignes, ont une position obligée par rapport aux autres faces ou aux autres liçncs de la figure. De là certaines difli-

cultes de constructions que l'on prévoit dans la géométrie descriptive en apprenant à projeter des figures ayant une position déterminée quelconque par rapport aux plans de projection.

Mais nous le répétons, et c'est ce que nous avons voulu mettre en évidence, le dessinateur doit s'attacher à éviter les complications, à représenter d'une manière aussi simple, aussi nette, aussi claire que possible, toutes les parties essentielles de la figure proposée : or le meilleur moyen d'arriver à ce but est un choix judicieux des plans de projection.

77. Quand l'objet à représenter est tel que toutes ses parties essentielles, utiles à connaître, ne peuvent pas être représentées distinctement sur la même épure, on considère séparément ces diverses parties, et on en fait des projections distinctes sur plusieurs plans horizontaux ou verticaux convenablement choisis (dans ies conditions précédemment indiquées). La correspondance de ces diverses projections s'établit aisément. On verra, à propos des édifices, des instruments et des machines, des exemples de cette décomposition de l'objet représenté (V. plans, élévations, et coupes. )