Autre construction

En considérant le trapèze .'/■uo (fig. 2, n° 35), et menant par le point le plus bas A une parallèle AB' à ab, on forme un triangle ABB' rectangle en B', dont on connaît deux côtés AB' = ab et BB' = B6— ka = b'y — a'f. Il est facile de construire sur l'épure un triangle égal à ABB'; pour cela , on mène par a' (fig. 3)

une parallèle à la ligne de terre ; ce qui détermine la ligne b'd = b'g — a'/"=BB'; l'angle d est droit. Pour achever, on mène par b une parallèle à la ligne de terre; on prend sur cette ligne bài =ba (au moyen d'un arc de cercle), et on mène alAl perpendiculaire

à la ligne de terre ; g?Aj = bax = ba. On trace b'A1 ; le triangle b'dAi est égal au triangle BB'A de l'espace , et b'kl est la longueur cherchée ; b'k = AB.

La même construction réussit sans modification dans le cas particulier signalé dans la remarque précédente. [V. la fig. -i. )

58. Remarque. Une droite AB de l'espace est généralement plus grande que sa projection ah sur un plan : en effet, ab = Alo', et on voit que AB est plus grande que AB' (fig. 2, n° 35). Quand la droite est parallèle au plan de projection , la figure ABba est un rectangle, et AB = ab.

59. Un polygone se projette évidemment en véritable grandeur quand il est situé dans un plan parallèle au plan de projection. Il en est de même de toute figure plane ainsi située; la projection esl une figure égale à la figure projetée.

40. Nous nous sommes fondé sur la possibilité de résoudre le problème précédent, pour montrer que la figure d'un corps ou en général une figure quelconque de l'espace, peut être construite à l'aide de sa projection verticale et de sa iprojection horizontale (n° 10). Il nous faut faire, dès à présent, une remarque importante à propos de cette construction.

41. Échelle tiE réduction i L'épure d'un instrument , d'une machine, d'un bâtiment, et en général d'une figure qui doit être construite à l'aide de cette épure dans les dimensions déterminées, est accompagnée de l'indication d'une échelle de réduction. Il est

dit , par exemple , que l'échelle de réduction est — — , ou un cenr i00

timètre pour mètre. C'est que souvent, faute de place sur le papier,

les projections données ne sont pas celles de la ligure de l'espace

en véritable grandeur, mais celle d'une figure plus petite, semblable et semblablement placée.

On appelle échelle de réduction, le rapport constant d'une ligne de la figure réduite à son homologue de la figure exacte. Ce rap-

port est ordinairement une fraction telle que celles-ci :-,-,-,

— , — , , — — , etc. ; le dénominateur a généralement pour

facteurs premiers 2 et 5.

42 . L'échelle est souvent représentée géométriquement par une droite divisée que l'on trace sur la feuille d'épuré. On indique sur cette droite la longueur réduite qui doit représenter ou 1 décimètre, ou 1 mètre, ou 10 mètres, ou 100 mètres, etc. (V., pour plus de détails, le même sujet dans les leçons sur le levé des plans.)

45. L'échelle de réduction est identiquement la même pour la projection que pour la figure projetée.

En effet, chaque ligne AtBj de la figure réduite et son homologue AB de la figure exacte étant parallèles, il en est de même de leurs projections r/,6, , ab sur le même plan. Menons AjB', et AB

parallèles à aibi et à aô. Les triangles A^B',, AL5B' sont équiangles et semblables; on a donc

A,13, AjB', aibi

AU A'l> ab

NOTIONS DE GEOMÉÏIUE DESCKIPTIVE.

ll>3

Ce qui démontre noire proposition ; car -^ est précisément l"é-

i belle de réduction de la projection.

44. Connaissant l'échelle de réduction on peut, à mesure qu'on trouve les lignes AjBj, BiClv.. de la figure réduite, leur restituer leurs véritables grandeurs pour la construction de la figure exacte.

45. Noire figure montre aussi que les grandeurs et la position d'une ligne A(Bi de l'espace ne dépendent pas précisément des hauteurs A,fl,, Bjfr,, mais de la différence B,/^ — A1Oi=B1B'1. Au lieu du trapèze AjB^//, on peut, comme nous l'avons vu, construire simplement le triangle rectangle AJ^B'j. Cela tient à ce que les projections de la même figure sur des plans parallèles étant évidemment les mêmes, on peut déplacer le plan de projection parallèlement à sa première position.

4(>. 11 faut toujours indiquer une échelle quand il s'agit d'une application usuelle, s'il y a eu réduction de la figure. Nous n'avons pas besoin évidemment d'en indiquer dans l'exposition des méthodes générales de construction. Nous n'avons à le faire que pour les applications usuelles. (V. les épures d'instruments, de machines, ou de bâtiments; plans, coupes, élévations.) 47. Problème. Trouver les traces d'une droite ab. a'b'. Un appelle traces d'une droite les points où elle rencontre les plans de projection.

Pour trouver la trace horizontale d'une droite, on prolonge sa projection verticale jusqu'à la ligne de terre en h' ; au point h on élève une perpendiculaire à la ligne de terre jusqu'à la rencontre de la projection horizontale de la droite en H; H est la trace horizontale cherchée. On obtient de même la trace verticale en prolongeant la projection horizontale jusqu'à la ligne de terre en v, puis élevant la perpendiculaire vY à la rencontre de la projection verticale en V; V est la trace verticale.

COLllS DE MAI HÉPATIQUES APPLIQUÉES.

En eti'ct, le point H du plan horizontal qui a pour projection verticale h est sur la droite, puisque ses deux projections H et U sont sur les projections de la droite; le point H est donc le point où la droite rencontre le plan horizontal. On prouve de même que le point V du plan vertical est la trace verticale de la droite.

Il peut arriver que l'une des projections de la droite soit parallèle à la ligne de terre, la projection horizontale par exemple. Alors la droite projetée est parallèle au plan vertical ; elle n'a qu'une trace horizontale qui se détermine suivant la même règle.

4 S. La construction précédente ne réussit pas quand les projections de la droite sont perpendiculaires à la ligne de terre au même point a et par suite,

confondues sur l'épure. La droite est déterminée par les projections (a, a'), (b , b') de deux de ses points A et B ; elle est située dans un plan aab' qui coupe les deux plans de projection suivant les droites aa , et ab' perpendiculaires entre elles et perpendiculaires à la ligne de terre. On résout ordinairement les questions proposées sur une figure située dans un pareil plan en rabattant ce plan et la ligure sur le plan horizontal., comme nous allons le faire.

Mais auparavant, imaginons les verticales ak et 6B; elles sont dans le plan aab', et y forment avec ab et AB un trapèze abBA rectangle en a et en b; AB prolongée dans les deux sens va rencontrer d'une part aa en un point H qui est la trace horizontale cherchée, et ab' en un poinf V qui est la trace verticale ; il y a alors dans le plan aab' un triangle VaH sur lequel se trouve le trapèze a&BA. Imaginons que le plan aab' tourne autour de aa pour se rabattre sur le plan horizontal; la ligure en question se rabat telle qu'elle est, et son rabattement est facile à construire. Pour cela, élevons sur aa au point a une perpendiculaire aA =: aa', et bB — ab', et tirons la droite AB, nous avons le rabattement du trapèze. Prolongeons AB jusqu'à ce qu'elle rencontre aa en H et aT en Vj; nous avons le rabattement du triangle VaH.

Imaginons maintenant que ce triangle se relève en tournant autour de «H pour redevenir perpendiculaire au plan horizontal ; le point H ne bouge pas, et le point Vt décrivant un arc de cercle autour de a, vient se placer en Y sur da; H et V sont évidemment les traces cherchées sur l'épure.

•49. Problème. Construire les cuit/Tes d'une droite &b, a'b' avec les

plans de projection, c'est-à-dire les angles que fait cette droite avec sa projection horizontale d'une part et sa projection verticale de l'autre.

On détermine d'abord les traces a' et b de cette droite. Figurons-nous cette ligne db dans l'espace ; les angles à construire sont a'ba et ba'b'. Le premier appartient au triangle a'ab rectangle en a,

et dont nous avons sur l'épure les côtés a! a et ab; nous pouvons construire ce triangle. Pour cela, prenons sur la ligne de terre abv = ab, au moyen d'un arc de cercle bbl décrit avec le rayon ab, et traçons la droite a'bv Le triangle dabl ainsi construit est égal au triangle a'ab de l'espace (c'est le rabattement de ce triangle qui aurait tourné autour de son côté do); l'angle ubib=a'ba est l'angle cherché de la droite avec le plan horizontal. L'angle ba'b' de la droite a'ôavec le plan vertical) appartient aussi à un triangle bb'a', rectangle en b', donc on connaît les côtés bb' et b'd de l'angle droit. Pour construire un triangle égal sur l'épure, on prend sur la ligne de terre b'di = b'd au moyen d'un arc de cercle da\, puis on joint bdr Le triangle bb'a\ est égal au triangle bb'd (c'est le rabattement sur le plan horizontal de ce triangle qui aurait tourné autour de son côté èb')j l'angle ba\b' = ba'b' est l'angle cherché du plan avec le plan vertical. Si les traces de la droite donnée ne se trouvaient pas sur l'épure, on prendrait un point {m, m) assez rapproché de la ligne de terre ; on mènerait par ce point une parallèle mn, m'ri à ab, db' (n° 29), et on construirait les angles de cette parallèle avec les plans de projection.

Méthode des rabattements.

oO. Avant de traiter les autres questions du programme, nous croyons devoir indiquer un mode de construction très-utile et souvent employé: c'est la méthode des rabattements. Une question est proposée sur une figure située dans un plan donné; on rabat cette figure sur le plan horizontal en faisant tourner le plan qui la contient autour de sa trace horizontale; puis on résout la question proposée sur le rabattement par les méthodes de la géométrie

plane. Fulin on relève les lignes ou les points trouvés dans cette construction; c'est-à-dire qu'on construit leurs projections en supposant la figure complétée ramenée à sa première position dans l'espace.

Pour appliquer la méthode des rabattements il suffit de savoir résoudre les trois problèmes suivants.

«>i. Problème. Construire V angle d'un plan donné a'aa avec le plan horizontal.

Pour cela, élevons en un point quelconque c de la trace horizontale aa une perpendiculaire ed à cette ligne, et au point d une perpendiculaire de à la ligne de terre; de est perpendiculaire au plan horizontal (Géom., n° 263). Figurons-nous la ligne ce de l'espace; cette ligne située dans le plan donné est perpendiculaire à aa d'après le théorème des trois perpendiculaires (Géom., n° 241); l'angleced mesure donc l'angle du plan a'aa et du plan horizontal; c'est l'angle à construire. Or cet angle ced appartient au triangle ede rectangle en d, dont nous connaissons les côtés cd et de de l'angle droit; nous pouvons construire ce triangle sur l'épure. Pour cela menons par le point d une perpendiculaire dt\ h de ci prenons dc1 = dc, puis joignons ecl\ le triangle cxde est égal au triangle ede; c'est le rabattement de ce triangle qui aurait tourné autour de son côté de; l'angle cxed est donc égal à l'angle ced; c'est l'angle demandé du plan a'aa avec le plan horizontal.

On construit de la même manière l'angle du plan a'aa avec le plan vertical. En un point ë pris sur la trace verticale on mène e'd! perpendiculaire à cette trace ; puis, au point a" une perpendiculaire d'e' à la ligne de terre; le triangle c'd'é est analogue au triangle ede; et on le rabat de même sur le plan vertical. (Faites la tigure.)

i>2. DÏFiNitioNSt Lorsqu'un plan a'aa, tournant autour de sa trace aa comme charnière, se rabat sur le plan horizontal, chaque point

NOTIONS DE GFa'MKIRIE DESCRIPTIYF.

M de ce plan a'aa prend sur le plan horizontal une position déterminée M, qu'on appelle son rabattement.

Rabattre un point, c'est trouver son rabattement. Relever un point c'est trouver ses projections, connaissant son rabattement. On résout aisément ces deux problèmes en se fondant sur cette proposition :

55. Théorème. La projection horizontale m d'un point M du plan a'aa, et son rabattement Ml sur le plan horizontal, sont situés sur une même perpendiculaire mpM, à la trace horizontale aa; mp, Mp = pMt, et la verticale mM forment au-dessus de mp un triangle Mmp, rectangle en m, et dont l'angle Mpm mesure l'angle du plan a'oca avec le plan horizontal. (V. la fig. suiv.)

En effet, Mm étant perpendiculaire au plan horizontal, et mp perpendiculaire à aa, Mp est perpendiculaire à aa d'après le théorème des trois perpendiculaires (Géom., n° 241); l'angle Mpm mesure l'angle du plan a'aa avec le plan horizontal (Géom., n° 263). Quand le plan a'aa tourne autour de aa, la ligne pM perpendiculaire à aa vient se rabattre sur le prolongement pq de mp, et le point M vient se placer sur pq en un point M, tel que pMl=pM, Notre proposition est donc démontrée.

54. Problème. Rabattre sur le plan horizontal un point donné M d'un plan donné a'aa .

\ee cas. Les projections m, m', du point M sont données.

On se fonde sur cette proposition : la projection horizontale m d'un point M et son rabattement Mx sont situés, etc.

(n° 53). D'après cette proposition, on abaisse mpq perpendiculaire sur aa; le rabattement Ml est sur pq; il faut trouver pMt. Pour cela, il suffit de construire un triangle égal au triangle Mmp de l'espace dont on connaît deux côtés, mp et Mm = m'f. On élève donc en m sur mp la perpen-

diculaire mM = m'/", et on joint pM'; le triangle M'mp est égal au triangle Mmp, et pM' = pM —pMt. On prend sur ^ une longueur pM1 = pM en décrivant l'arc de cercle M'M, ; M, est le rabattement cherché.

2e cas. On ne connaît que la projection horizontale m.

On pourrait construire la projection verticale; mais c'est inutile. On se fonde sur cette proposition : la projection horizontale m du point M et son rabattement M1 sont situés, etc. (n° 53). D'après cette proposition, on abaisse mpq perpendiculaire à au (fig. précéd.); le rabattement Mt est sur pq; il faut trouver pMi. Dans le triangle Mmp de l'espace nous ne connaissons que le côté mp; mais nous pouvons avoir l'angle Mpm en construisant l'angle du plan a'aa avec le plan horizontal comme il a été indiqué n° 51. On prolonge pm perpendiculaire à aa, jusqu'à la ligne de terre en cl, et on élève de perpendiculaire à LT; enfin on construit le triangle pdc1= pdc de l'espace ; l'angle dpci = dpc=Npm. Connaissant l'angle Mpm, on élève en m la perpendiculaire pM' jusqu'à pci; on a ainsi le triangle Wmp=Mrnp, et pM.'—pM=pM1. On prend sur pq une longueur »M1=pM', et le point Mj est le rabattement cherché.

55. Problème inverse. Relever un point M d'un plan donné a'aa connaissant son rabattement M, sur le plan horizontal.

On se fonde sur cette proposition : la projection horizontale m, et son rabattement Mt sont situés, etc. (n° 53, fig. précéd.). D'après cette proposition, on abaisse Mtpd perpendiculaire àaa; la projection horizontale m est sur pd; il faut trouver pm. Or, nous connaissons l'hypoténuse pM=pM{ du triangle Mmp de l'espace, et nous pouvons construire son angle Mpm égal à l'angle du plan a'aa avec le plan horizontal, comme dans le problème précédent (2e cas). On prolonge la perpendiculaire M^ jusqu'à la ligne de terre en d, etc. Ayant construit l'angle dpct = dpc = Mpm, on prend sur pcx une longueur pM! =joM1"et on abaisse M'p perpendiculaire sur pd. Le triangle M!mp est égal au triangle Mmp de l'espace; c'est le rabattement de ce triangle qui aurait tourné autour de son côté Mm; la projection horizontale m est donc trouvée en véritable position. Pour avoir la projection verticale, on remarque que îwM'=Mm, hauteur de M au-dessus du plan horizontal. On élève donc m fin perpendiculaire à LT, et on prend firi — mM'î m! est la projection verticale cherchée.

itO, Simplifications. Ces diverses constructions se simplifient dans les applications quand il y a un certain nombre de points à rabattre ou à relever. Dans ce cas, il est bon, en général, de construire tout exprès et isolément l'angle du plan donné a'aa avec le plan horizontal (n° 51); cet angle une fois construit se répète partout où l'on veut à l'aide de parallèles. Nous allons faire quelques applications pour indiquer des simplifications usuelles.

lre Afi'Ucatioît, Construire l'angle de deux droites (ab, a'b'), (ac, a'c').

On reconnaît sur une épure que deux droites projetées se rencontrent dans l'espace quand leurs projections verticales d'une part, et leurs projections horizontales de l'autre, se rencontrent sur une même perpendiculaire da à la ligne de terre (n° 13).

Pour construire l'angle de deux droites (ab, o'U), (ac, a'c'), on détermine d'abord leurs traces horizontales (n° 47); soient H et G. La droite GH est la trace horizontale du plan de ces deux droites et l'angle à construire est l'angle GAH. Imaginons que ce plan tournant autour de GH se rabatte sur le plan horizontal ; G et H sont fixes. Rabattons le point A en A, comme il a été expliqué n° 54, 1er cas; puis menons les droites AjG, AtH. L'angle GAjH est l'angle GAH rabattu en véritable grandeur ; le problème est donc résolu.

o7. 2e Application. Construire le triangle ABC déterminé par 1rois points donnés (a, a'), (b, b'), (c, c').

On mène ab, db', ac, a'c'; puis on cherche les traces horizontales H et G de ces droites; la droite GH est la trace horizontale du plan déterminé par les points donnés A, B, C; on rabat ce plan. On fait le rabattement du point (a, a') comme il a été expliqué n° 54, 1er cas ; on mène HA, , GA, , puis les perpendiculaires 6B, , cGj à l'axe de rabattement GH. Les points B, et C, sont les rabattements de B et de C, et le triangle A, B, C, est le triangle ABC de l'espace rabattu en véritable grandeur.

En effet HA,, G A, sont les rabattements des droites HBA, GCA, ou BA, CA; les rabattements de B et de C sont sur ces lignes ; ces rabattements sont aussi sur les perpendiculaires éBt, cC1 à l'axe GH (n° 53); ces rabattements sont donc B, et C,.

58. Projection d'une courbe. La projection abcde d'une courbe ABCDE sur un plan TM est la ligne que forment les projections des points de cette courbe.

La projection d'une courbe est généralement une courbe; c'est une ligne droite dans le seul cas où la courbe est entièrement située dans un plan perpendiculaire au plan de projection.

iVÔ. Une courbe n'est pas déterminée par sa projection sur un seul plan TM.

En effet les perpendiculaires aA, bB, cC... qui projettent les points A, B, C,... forment une surface continue perpendiculaire au plan TM, qu'on appelle le cylindre projetant la courbe ABCDE. Connaissant la projection abcde d'une certaine courbe sur un plan TM, on connaît son cylindre projetant abcde ABCDE; mais on ne peut distinguer cette ligne parmi toutes les lignes en nombre infini et de formes quelconques qui peuvent être tracées sur ce cylindre.

60. Mais une courbe est généralement déterminée par sa projection horizontale abcde, et sa projection verticale a'b'c'd'e'.

En effet, cette courbe situé sur deux cylindres connus abcde ABCDE, a'b'c'd'e' ABCDE, ne peut être que l'intersection ABCDE de ces deux cylindres.

61. On ne saurait donner de règle générale pour construire les projections d'une courbe; la marche à suivre dépend absolument des conditions qui déterminent cette ligne. Très-souvent on construit ces projections par points suffisamment rapprochés, qu'on joint ensuite par une ligne continue de manière que les éléments se raccordent convenablement. Quand on opère ainsi, il est bon de construire, s'il est possible, un certain nombre de droites tangentes à la projection en des points déterminés exactement; les éléments curvilignes tangents à des droites connues en des points donnés se tracent plus exactement.

62. Quand la projection est une courbe d'un genre connu, déterminée par certains points et par certaines lignes principales qui peuvent servir à la construire exactement, on tâche de déterminer ces points et ces lignes sur l'épure; puis on s'en sert pour construire la projection cherchée.

65. Quand une courbe à projeter est plane, et telle que son rabattement peut être aisément et exactement construit, il est quelquefois commode et avantageux de construire ce rabattement pour en relever ensuite les différents points.

Nous allons à titre d'exemple nous occuper de la projection d'un cercle situé dans un plan donné quelconque.