e cas. La base ABGD est située dans un plan quelconque

(Changez l'ordre des lettres du petit cube isolé à gauche; au lieu de B, C, D, A, F, G, H, E, mettez A, B, C, D, E, F, G, H).

Le plan de la base étant donné, il suffit de connaître le côté AB du cube, et la position précise de ce côté relativement à la trace

QR du plan donné. Ayant pris toutes les mesures nécessaires, on trace sur le rabattement le côté AtBx ss AB dans la position indiquée de AB par rapport à QR. On achève le carré AiBADj, et on le relève en abcd. Cela fait, on construit la projection horizontale de l'arête AE: cette arête, issue du point A et perpendiculaire au

plan PQR de la base, est située dans le plan pak qui est perpendi- / culaire à QR (n° 51) et par suite au plan PQR et au plan horizontal (Géom., n° 267); AE est donc perpendiculaire à la droite kp qui passe par son pied dans le plan PQR ; de plus la verticale Ee qui projette le point E est dans le plan apkE, et sa projection e est sur la trace pa. Pour trouver ce point e, rabattons le plan apkE en le taisant tourner autour de pa; le triangle apk prend la position connue apk' (n° 51); menons A'E' perpendiculaire à pk'; prenons A'E'=A,B1 et abaissons E'e perpendiculaire à a/?; nous avons ainsi les rabattements des lignes AE, Ee. Gomme la projection e est sur la charnière, elle n'a pas bougé dans le rabattement, et nous la connaissons en véritable position.

Nous connaissons les projections horizontales de trois arêtes adjacentes ab, ad, ae du cube; il est facile d'achever. (V. le petit cube.) Les côtés EF, FG,... de la base supérieure étant respectivement égaux et parallèles à AB, BG, etc., et le point e correspondant au point a, on mène ef égale et parallèle à ab, puis fg égale et parallèle à bc, et on achève le parallélogramme efgh qui est la projection horizontale de la base supérieure EFGH du cube. Un joint ensuite les sommets correspondants (a,e), (b, f), (c,g), [d, h); cela fait, on a la projection horizontale abcdefyh du cube.

Pour obtenir la projection verticale on mène d'abord les perpendiculaires acta', b%', ele',... à la ligne de terre, et on prend a.a'= ak', Bb' = bB', Se' = eE', etc. ^puisque aA' = «A hauteur de A au-dessus du plan horizontal; bB' = bB, etc.); on tire a!b\ a'd', de' . Gela fait, on continue comme sur le plan horizontal : on achève le parallélogramme a'b'c'd' qui est la projection verticale de ABCD ; on trace e'f égale et parallèle à ab', e'h' égale et parallèle à a'd', et on achève le parallélogramme e'f g' h'; enfin on tire les lignes b'f, d'à', c'g' (qui doivent être égales et parallèles à de'), et on a la projection verticale a'b'c'd' e'f g' h' du cube proposé.

Vérifications. Il y a dans cette construction un assez grand nombre de vérifications. Par exemple, après avoir trouvé c, f',g'j comme nous l'avons dit, on peut vérifier si ce', ff, gg' sont perpendiculaires à la ligne de terre. Les quatre lignes ae, bf dh, cg doivent être égales et parallèles; il en est de même de a'e ', b'f, d'h', c'g'; a'e' doit être perpendiculaire à PQ; etc.

Remarque. Nous avons fait dans la résolution de ce problème

une construction qu'il importe d'isoler et de mettre en relief; car elle se présente souvent.

80. Problème. Elever sur un plan donné a'aa en un point donné M une perpendiculaire MO de longueur donnée.

Soit m la projection horizontale donnée du point M. On abaisse mp perpendiculaire sur la trace horizontale aa du plan donné; on imagine le triangle rectangle Mm/?, et on le rabat sur le plan horizontal en le faisant tourner autour de son côté mp. On sait

que l'angle Mpm est l'angle du plan donné avec le plan horizontal (no 53); on construit cet angle dpcr, comme il est indiqué n° 51 ; puis on élève la perpendiculaire mM' à mp. Cela fait on mène MO' perpendiculaire à j^M' et on prend M'O' égale à la longueur donnée de la perpendiculaire MO; on projette le point 0 siiYpm en o; o est la projection horizontale du point 0 de l'espace. On trouve la projection verticale o' en menant okd perpendiculaire à LT, et prenant /,o' = oO'.

Nous avons déjà justifié cette construction. Le plan Mpm perpendiculaire à aa est perpendiculaire au plan donné et au plan horizontal; il contient donc la perpendiculaire MO élevée en M sur le plan a'aa et de plus la verticale Oo qui projette horizontalement le point O.MO, perpendiculaire au plan a'aa, est perpendiculaire à 1 hypoténuse Mp du triangle M/>m; Oo est perpendiculaire sur la

trace horizontale Omp, et toutes ces lignes forment la figure que nous avons rabattue sur le plan horizontal (O'M'mpo).

81. Projections d'un prisme droit. Construire les projection* d'un prisme droit dont la hase repose sur le plan horizontal ou sur un plan quelconque PQR.

1er cas. On donne la base ARCDEF et la grandeur de l'arête AG.

On sait en géométrie quels éléments d'un polygone il faut connaître pour pouvoir le construire; on mesure ces éléments sur le prisme, Par exemple, pour l'hexagone ABCDEF on mesure les côtés et trois diagonales.

On suit également la même marche que pour le parallélipipède. Les mesures prises ou données, on con struit sur l'épure la base ABCDEF; on projette verticalement tous ses sommets en a, f, b,... sur LT. On élève en a, f, b,.,. des perpendiculaires ag\ fm',... dk\ et on trace r/k'. Le prisme est projeté horizontalement sur ABCDEF, et verticale»

ment adk'g'.

iiB cas. Si la base est située sur un plan donné quelconque PQR, on doit connaître la position de cette base sur ce plan; on construit son rabattement horizontal, et on la relève en abcdef. Puis on construit la projection horizontale ag de l'arête AG comme on a construit celle de l'arête AE du cube (V. n° 79). Après Cela, il n'y a plus qu'à construire un polygone ghiklm égal et parallèle à abcdef en partant du point g correspondant au point a, puis à joindre les sommets correspondants des deux polygones par des lignes égales et parallèles à ag, etc. On déduit la projection verticale de la projection horizontale Comme on a fait pour le cube (n° 79).

82. Problème. Construire les projections d'une pyramide SABCDE. Ier cas. Le plus simple est de prendre, s'il est possible, le plan

de la base pour plan horizontal de projection.

On mesure les éléments nécessaires pour construire la base ABCDE (les côtés, par exemple, et deux diagonales), puis trois arêtes SA, SB, SC. On construit la base ABCDE sur le plan hori-

zontal avec les éléments mesurés, puis on détermine les projections verticales a', h\ c', ... e'de ses sommets A, B, G, D, E. Il ne reste plus qu'à déterminer les proportions du sommet S de la

pyramide. Pour cela, on construit sur AB un triangle ASjB égal à la face ASB dont on connaît les trois côtés; puis sur BG un triangle S,BC égal à la face SBC ; SXAB est le rabattement de la face SAB qui aurait tourné autour de AB comme axe; S,BC est le rabattement de SBG qui aurait tourné autour de BC. Du premier rabattement S, de S abaissons la perpendiculaire SjH sur l'axe AB; on sait (n° 53) que la projection horizontale du point S de l'espace est sur SjH prolongée ; abaissons de même S,G perpendiculaire à BC, la projection horizontale de S est aussi sur S2G prolongée; cette projection n'est donc autre que le point de rencontre s de S,H et S,G. Pour trouver la projection verticale, nous abaissons ss' perpendiculaire à la ligne de terre; nous savons que ïs' est égal à Ss de l'espace. Mais en vertu de la même proposition du n° 53, Ss est un côté de l'angle droit du triangle rectangle SHs dont nous connaissons l'hypoténuse SH =StH et un côté Hs; on construit le triangle rectangle HsS' avec ces données, et on prend i's'==sS'. Connaissant les projections s, s', du sommet, on trace d'une part sA, sB,...sE, de l'autre, s'a', s'U, ...s'tf, et on a les deux projections .sABCDE, a'n'b'r'ff'f' de la pyramide.

Remarque. Comme vérification, on peut mesurer une quatrième arête SD, construire le triangle S3CD = SCD, et abaisser une perpendiculaire SaF sur CD; SSF prolongée doit passer au points.

85. Remarque. La construction se simplifie quand la perpendiculaire Ss est extérieure à la pyramide. On peut se servir du fil à plomb pour obtenir le point s et la hauteur Ss = i's'; il n'y a plus qu'à joindre s et s' aux projections de même nom de la base ABCDE.

84. 2e cas. La base ABCDE est située sur un plan donné quel-' Conque PQR.

On connaît la base ABCDE et sa position sur le plan PQR, et de plus les trois arêtes SA, SB, SC. Si on faisait sur la base ABCDE dans le plan PQR les constructions qui ont été faites sur le plan horizontal pour trouver le pied et la grandeur de la hauteur, on trouverait le pied 0 de la hauteur sur le plan PQR et sa grandeur SO. Or nous pouvons rabattre ABCDE sur le plan horizontal et effectuer sur le rabattement A jBjCJDjEj toutes les constructions dont nous venons de parler; il est évident qu'au lieu de 0 nous aurons son rabattement Ol et la grandeur 01S'1 de SO. (Faites la ligure.)

Construction. On construit le rabattement A,B,C1D1E1 de la base ABCDE, puis les triangles SjAjBp SJ^Cj avec les arêtes connues SA, SB, SO. On mène les perpendiculaires SjHjOj, S^GjO^ sur AjBt et BtCt; puis on construit le triangle HjO^. Ayant trouvé OjS'i = SO et le rabattement Ot du pied 0 de SO sur PQR, on relève la base en abcde. db'c'd'ë , puis le point Ot en o; et il n'y a plus qu'à appliquer la méthode du n° 80 pour avoir les projections s, s' du sommet S de la pyramide. En effet, on connaît la projection o d'un point 0 du plan PQR, et la grandeur S0 = OjS't d'une perpendiculaire SO menée à ce plan, il faut trouver les projections de son extrémité S. Ayant les projections s, s' du sommet S, on les joint aux projections de même nom des sommets de la base, et on a les projections sabcde, s'a'b'c'd'e' de la pyramide.

85. Problème. Construire les projections d'un polyèdre quelconque. 4" cas. Une des faces ABCDE du polyèdre repose sur le plan

horizontal. (Faites une figure.)

Ayant mesuré les éléments nécessaires, on construit cette base sur le plan horizontal, et on projette ses sommets en a', b', c', d', e' sur LT. Cela fait, on considère un sommet F du polyèdre situé

dans une face adjacente à ABCDE, sur une arête qui part de B par exemple. On mesure FA, FB, FG, et à l'aide de ces mesures on construit lesprojections /'et/"' de F, comme on a construit les projections s, s' du sommet s de la pyramide SABCDE, n° 83, 1er cas. On répète la même construction pour obtenir les projections de tous les sommets du polyèdre qui sont situés sur les faces adjacentes à ABCDE; il n'y aura pour cela que des mesures extérieures à prendre sur la surface même du polyèdre. Dès qu'on a déterminé les projections des extrémités d'une arête du polyèdre, on trace les projections de cette arête; on obtient ainsi les projections de toutes les faces adjacentes à ABCDE. On passe ensuite à des sommets situés sur une face adjacente à Tune de celles que forment des sommets déjà projetés. On connaît le plan de cette face déjà projetée, et on peut la rabattre sur le plan horizontal; pour déterminer chacun des sommets en question, on se trouve dans le deuxième cas du problème, relatif à la pyramide SABCDE (n°84). *On détermine chacun de ces sommets nouveaux du polyèdre en le considérant comme le sommet d'une pyramide dont la base est le polygone projeté en question. Et ainsi de suite de proche en proche.

Telle est la marche à suivre en général pour représenter un polyèdre par une épure; il y a naturellement des simplifications qui résultent des propriétés particulières de chaque figure. On peut prendre pour exemple le tronc de pyramide.

86. Projections d'un cylindre circulaire vertical ou incliné. 1er cas. Le cylindre est vertical.

On prend pour plan horizontal de projection le plan de la base. On trace sur l'épure la circonférence de cette base, cire. AO ; le cylindre se projette tout entier horizontalement sur cette circonférence. Pour le projeter verticalement , on mène le diamètre AOB parallèle àLT, et on projette les points A et B en d et en b'; cire. AO se projette tout entière sur a'n'b'. On élève sur LT les perpendiculaires a'a" , o'o" ', b'b" égales à la hauteur mesurée du cylindre, et on trace a"o"b". La figure da"b"b' est la projection verticale du cylindre proposé.

HES SE

On vérifie aisément qu'une génératrice quelconque du cylindre est projetée horizontalement en un point de la cire. AO, et verticalement sur une parallèle à a'a" située entre a' a" et b'h". Un observateur, placé comme il a été dit n° 15, ne voit que le demicylindre qui repose sur la demi-circonférence amb marquée en trait plein.

87. 2e cas. Le cylindre etf incliné, c'est-à-dire que ses génératrices sont inclinées sur le plan de sa base.

On prend toujours ce dernier plan pour plan horizontal de projection, et on construit cette base sur l'épure, soit en véritable grandeur, soit réduite à l'échelle, cire. AO. On connaît \es projections d'une génératrice ou celles d'une ligne égale et parallèle comprise entre le plan de la base inférieure et celui de la base supérieure (nous considérons un cylindre limité par deux plans parallèles).

Pour déterminer la projection horizontale du cylindre, on mène par le centre 0 une ligne Qo1 égale et parallèle à la projection horizontale donnée d'une génératrice; on décrit, deot, comme centre, une circonférence égale à cire. AO. On mène à cire. AO à et à cire. atol} deux tangentes parallèles àOo, limitées aux points de contact C, q, D, dr On vérifie aisément que le cylindre se projette hori-

zontalement tout entier sur la figure actuellement construite; car une génératrice quelconque qui part d'un point de cire. AO pour

se terminer à un point de cire. AtO, de l'espace, a évidemment sa projection horizontale comprise entre Ccl et \)dx ; or tout point de la surface du cylindre appartient à une génératrice. Pour construire la projection verticale, on projette d'abord verticalement cire. AO; pour cela ayant mené le diamètre AOB parallèle à LT, on le projette verticalement sur la ligne de terre en a'b'; cire. AO se projette en entier sur a'o'b'. On mène ensuite par a' et paré' deux parallèles a'a\ , b'b\ égales et parallèles à la projection verticale donnée d'une génératrice, et on trace a\o\b\; le cylindre tout entier se projette verticalement sur le parallélogramme a'a\b'b\. En effet, on vérifie aisément qu'une génératrice quelconque (partant d'un point de cire. AO) se projette verticalement sur une parallèle à àa\ et à b'b\, comprise entre ces deux lignes depuis a'b' jusqu'à a\b\. Le cylindre est donc complètement représenté en projection verticale et en projection horizontale.

88. Remarque. Pour plus de simplicité, on peut prendre le plan vertical parallèle aux génératrices. On mesure une génératrice g du cylindre, puis sa hauteur H à l'aide d'un til à plomb. Ayant tracé cire. AO et projeté AB en a'b' sur LT, on construit un triangle rectangle a'a\f ayant l'hypoténuse a'a\—g et le côté a\f= H. On prolonge a/jusqu'à la rencontre en ai de AB prolongé ; a'a\ et AOj sont les projections d'une génératrice du cylindre. On continue comme dans le cas précédent. (Faites l'épure. )