Projection d'un cône circulaire droit

On prend le plan de la base pour plan horizontal.

La hauteur peut se déterminer à l'aide d'un fil à plomb, ou se déduire de l'arête mesurée et du rayon de la base. On décrit sur l'épure la circonférence de cette base, cire. AO. Le sommet S du cône se projette horizontalement au centre 0, et le cône tout entier se projette sur le cercle AO; car on obtient la projection horizontale d'une génératrice quelconque en joignant le centre 0 à un point de la circonférence. Pour obtenir la

projection verticale, on trace le diamètre AOB parallèle à la ligne de terre; puis on projette verticalement A et B en a' et en b'. On mène Oo's' perpendiculaire à LT, et on prend oV égale à la hauteur du cône; s' est la projection verticale du sommet. On trace s'a', s'b'; s'a'b' est la projection verticale de la surface conique; en effet, chaque génératrice du cône qui a sa trace horizontale sur cire. AO, se projette verticalement entre s'a' et s'b'.

î)0. Projection d'un cône circulaire oblique (faites la figure).

On prend le plan de la base pour plan horizontal de projection, et le plan vertical parallèle à une des arêtes SA que l'on mesure; on détermine en même temps la hauteur Sx à l'aide du fil aplomb. Cela fait, on trace sur l'épure la circonférence de la base, cire. AO, et on mène le diamètre AOB parallèle à la ligne de terre; puis on projette verticalement le point A en a'. On construit au-dessus de LT (du côté de AOB) un triangle rectangle s'a'f ayant pour hypoténuse la longueur de l'arête SA et pour côté opposé à a's'f— la hauteur du cône. On prolonge s'f au-dessous de LT jusqu'à la rencontre de AOB prolongée s; s est la projection horizontale du sommet. On projette verticalement le point B en b'; on trace s'b'; on mène de s deux tangentes se, sd à cire. AO. Toutes ces constructions faites, on a sur l'épure les deux projections du cône oblique SAB.

91. Problème. Construire V intersection d'un cylindre circulaire droit par un plan PQB incliné à sa base, et le développement de la surface du ci/lindre tronqué.

On prend pour plan horizontal le plan de la base du cylindre, et le plan vertical perpendiculaire au plan sécant PQB. Dans ces conditions la trace horizontale QB doit être perpendiculaire à la ligne de terre (n° 31) et la trace verticale PQ doit faire avec cette même ligne un angle PQT égal à l'inclinaison du plan sécant sur le plan horizontal.

Ayant déterminé le rayon de la base du cylindre, on décrit cette circonférence sur le plan horizontal ; cire. ao. La courbe d'intersection du plan PQB et de la surface cylindrique est projetée horizontalement sur cire, ao comme toutes les lignes tracées sur le cylindre, et verticalement sur PQ comme toutes les lignes tracées

sur le plan PQB (n° 32). Pour obtenir en particulier les projections d'un point de cette intersection, il suftit de mener une perpendiculaire à la ligne de terre allant d'un point de cire, oo à la droite PO. (Ex. b, U).

Pour construire cette intersection en véritable grandeur, on rabat le plan PQR sur le plan vertical en le faisant tourner autour de sa

trace PQ. Le point A de la courbe, projeté en a et en a', est situé sur une perpendiculaire a'k au plan vertical = axa ; cette ligne a' A.

située dans le plan PQR est perpendiculaire à PQ et se rabat sur une perpendiculaire «'A que nous prenons égale à a^. Le point B projeté en b,b' se rabat de même sur une perpendiculaire b'B=blb, etc. (V. la fig.). A l'exception du point a' et du point g', chaque point de a' g' est la projection verticale de deux points de l'intersection; par exemple b' est la projection commune de deux points B et L situés sur la même perpendiculaire //LB au plan vertical et projetés horizontalement en b et en /. On prend donc sur le rabattement b'B une longueur b'B = btb et une autre b'L = b1l; ce qui donne deux points de la courbe cherchée. On fait la même construction pour un certain nombre de points assez rapprochés, et on joint les points obtenus A, B, C,... par une ligne continue. Les lignes Ib, hc, etc., étant divisées en deux parties égales par le diamètre âg, les lignes correspondantes LB, KG, etc., du rabattement sont divisées en deux parties égales par AG rabattement de AG de l'espace; AG parallèle à PQ est un axe de la courbe que nous construisons. Cette courbe est une ellipse dont le centre est 0 et le grand axe AG.

Le cylindre tronqué abgîkaABGLKA peut être développé sur un

plan. Ce développement étant utile dans les applications, nous allons l'effectuer : pour cela imaginons qu'on ouvre le cylindre suivant l'arête gG pour le rabattre sur un plan vertical qui aurait pour trace horizontale ag prolongée à droite; la circonférence gealhg se déroule et se rabat en ligne droite sur ce prolongement même de ag. On divise cette circonférence en un grand nombre de parties égales 5 nous la subdiviserons en 12 parties seulement pour ne pas charger la ligure de constructions.

Cela fait, pour construire le développement on trace une droite gag égale à la circonférence développée en ligne droite (fig. 2) [gag = <%n.api à peu près les 22 septièmes de ao). On divise cette ligne en 12 parties égales, g/, fe, etc. En chaque point de division

on élève une perpendiculaire à gag; sur la première, #G,on prend une longueur égale à gG de l'espace, c'est-à-dire &glg', puisque gig' = gG (n° 8); on prend de même fF = flf, etc. Arrivé à ak=àict, on continue en prenant les mêmes hauteurs verticales, mais dans un ordre inverse bh = b\i = blb'; cC=^K=K1R', etc. En effet, les points B et L, par exemple, sont, comme nous l'avons déjà dit, sur une même droite b'LH perpendiculaire au plan vertical, et par suite parallèle au plan horizontal; c'est pourquoi btt = lL=bib'.

92. Tangentes. Il est bon de construire des tangentes en certains points du rabattement et du développement de la courbe d'intersection; on opère pour cela comme nous allons le faire pour construire la tangente en B. Cette tangente a pour projection horizontale une tangente menée au cercle en b (fig. 1) ; on prolonge cette tangente jusqu'à sa rencontre en t avec la trace QR; t est le point où la tangente en question (située dans le plan PQR) vient rencontrer le plan horizontal. Pour avoir le rabattement de cette tangente sur

'l'I'l COURS DL MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES.

le plan vertical, on observe que ce rabattement passe en B, rabattement du point B de l'espace; il suffit donc de trouver d'ailleurs le rabattement de t. Or la ligne QR, perpendiculaire à PQ se rabat sur une perpendiculaire QHj menée au point Q à cette ligne sur le plan vertical; on prend Qtf=Qt et tl est le rabattement de t. En traçant ^B on a le rabattement de la tangente Bt de l'espace sur le plan vertical.

Pour construire la tangente au développement de la courbe au point B, on observe que la tangente étant le prolongement d'un élément de la courbe, se rabat avec celle-ci sur le plan du développement ; elle est encore sur ce plan le prolongement d'un élément de la courbe ouverte, c'est-à-dire une tangente à cette courbe.

Dans l'espace (au-dessus de la base du cylindre (flg. 1), la tangente Bt3 la verticale projetante Bb, et la ligne bt de l'épure forment un triangle rectangle dont nous connaissons deux côtés bB = blb' et bt. Les deux côtés bB, bt de ce triangle, situés dans un plan vertical Bbt, se placent sans changer de grandeur sur le développement; la génératrice bB est déjà marquée (fig. 2); la tangente bt se confond avec la circonférence développée en ligne droite sur gag ; elle commence en b et on trouve son extrémité t en prenant bt , égale à bt de la projection; on joint Bà^; Bt, est la position que prend la tangente Bt dans le développement; c'est la tangente à la courbe développée.

95. Nous avons considéré tous les corps déjà étudiés dans les derniers livres de la géométrie ordinaire, et indiqués dans le programme; nous allons nous occuper des édifices, des instruments et des machines.

RfePRÉSËRTATlOÂ DES ÉblHCES, DES MACHINES, DES INSTRUMENTS, El EN GÉNÉRAL DES OUVRAGES d'aRT ET DE PRECISION.

Plan, coupe, élévation.

94. tin édifice ou une machine se représente de la même manière que les corps précédents; mais pour que la description en soit suffisamment claire et complote, il faut généralement plus de deux projections. Ces projections, quel qu'en soit le nombre, se

t'ont toujours sur des plans horizontaux ((parallèles entre eux), et sur des plans verticaux perpendiculaires aux premiers, niais ayant d'ailleurs des directions quelconques (n° 70). On les distingue parles noms suivants .

Plan. Le plan géométral ou simplement le plan d'un édifice, d'une machine, d'un ouvrage d'art quelconque, est sa projection sur un plan horizontal extérieur, c'est-à-dire qui laisse du même côté tout l'objet représenté.

Élévation. La projection sur un plan vertical également extérieur s'appelle élévation.

Coupe. On appelle coupe, une projection faite sur un plan qui traverse l'édifice ou la machine en face de certaines lignes, de certaines parties intérieures que l'on veut spécialement représenter.

95. Ces diverses projections se construisent séparément. <>n commence par se rendre compte des lignes, des contours et en général de tous les détails qui doivent être représentés. Puis on choisit les plans de projection de manière que chacun de ces contours, de ces détails se trouve distinctement représenté sur un des dessins au moins, de manière que l'on y voie sa forme, ses dimensions, sa situation et même sa destination dans l'ensemble; c'està-dire que chaque détail important doit être projeté autant que possible sur un plan parallèle à ses lignes principales.

96. On doit s'attacher à éviter toute confusion, toute surcharge. Pour cela, on représente sur chaque plan d'abord les lignes parallèles les plus voisines; puis, parmi les plus éloignées, celles qui peuvent être projetées sans confusion avec les premières. Dès que la confusion est à craindre, on réserve les parties plus éloignées pour les représenter ensuite sur d'autres plans parallèles choisis dans leur voisinage immédiat.

Ex. : Les plans du rez-de-chaussée et des divers étages d'une maison.

Deux ou trois exemples choisis feront mieux coin prendre ceo explications générales.