Intégration

/". — Considérons la tranche découpée dans le solide par les

Xo*^<7

Fig. 198.

Fig. 199.

plans, parallèles à xOz, dont les traces sur xOy sont les droites AB, A'B', distantes de dy (fig. 198). Nous pouvons assimiler cette tranche à un cylindre plat de génératrices parallèles à 0^/. Evidemment ce n'est rigoureux qu'à la limite (lorsque dy est infiniment petit), puisque A A' et BB' ne sont pas parallèles à 0;/, et que la surface supé-

Conrs de Mathématiques générales. — H. Bouasse. 24

rieure qui limite le solide, n'est pas un cylindre de génératrices parallèles àO;/. Notre raisonnement est identique à celui de la Géométrie élémentaire qui, pour évaluer le volume dune pyramide, la découpe en une série de plaques qu'elle assimile à des cylindres.

Calculons le volume <iN de la tranche. Il est égal au produit par dy de Taire Aa|iBA de la section du solide par l'un des plans AB, A'B', section représentée à part (fig. 199) :

<h/ I zdr =z dji [F(.r, I — F(,

La quantité entre crochets est une certaine fonction de y ; nous

pouvons écrire : dY di/*l>{y).

Pour avoir le volume total, il laut recommencer l'opération pour toutes les tranches dj/, puis faire la somme. D'oîi le résultat :

<I> (// , dy = dy j

zd.

L'intégration double revient donc à deux intégrations simples échelonnées : l'intégration par rapport à // ne peut être elfectuée ({ue lorsque l'intégration par rapport à x a déterminé la fonction '^(î/) sur laquelle elle porte.

t^". — Rien n'empêche de commencer par déterminer le volume d'une tranche découpée au moyen de plans parallèles à zOy.

On a :

KIg. 2l)(l

dX^dxi zdy = W(x)dj:

V==/ dx^Vix)^ dx zdy.

Nous admettons que le résultat est le même.

S^. — Pour fixer les idées, traitons un exemple extrêmement simple. Soit à évaluer le volume d'une pyramide PQSR (fig. 200) :

Y = zdxdy^=jdyjz dx.

z dx est l'aire a d'une section ABa.

Appelons a, Taire PQR ; posons OS = h.

Toutes les sections sont semblables ; par suite, leurs aires sont proportionnelles aux carrés des longueurs homologues.

On a : c; = cr^ (/^ — ijY : h-.

D'où

=r^^-H'A'y=tf('-^^^^=-

:Jl

C'est le résultat bien connu de la Géométrie élémentaire. Reste k calculer 7i en utilisant les données : longueur PQ, distance OR.