x -\- ^y -\- -fz = ^ï

La quantité (1) s'écrit :

P = Po exp [ — <!>' + i {a — ^)].

On vérifie immédiatement que la dérivation par rapport à une

variable (x,ij,z, ou t) consiste à multiplier par le coefficient de la variable. Ainsi :

^o — Soient P, Q, R, les composantes d'un mouvement suivant les axes 0.r, Oî/, Oz :

P = l>„ exp [ — a»' + i (t>t — a>)], Q.=rQ,exp[ — •!>' + / M — <!»)],

R = 1{, exp [—'!>' + ^' (^•>^ — '^0]- Par définition, le mouvement que représentent ces équations est dit se propaf/er par ondes jdanes plus ou moins absorbées.

Pour obtenir le mouvement réel, on fera le partage des quantités réelles et des quantités imaginaires, et Ton ne conservera que les (juantités réelles.

Soit, par exemple : Po^zr ?'„ t^cos p -|- i sin p). On a [^ 2:30] :

exp i ((.)/ — '!>) = cos (u)f — «I») -\- i sin (lùt — «^), Po exp / [iot — «1») = P'o cos (iot — <1> + p) + iP'o sin (oit — <I» + p). Les quantités réelles sont de la forme :

P' — P'„ exp (— «!>') cos ((.)/ ~ «I» — p). ,f\ — Ceci posé, soit un système d'équations aux dérivées partielles quelconques, mais linéaires et à coefficients constants. H s agit de trouver une onde plane P, Q, R, qui lui satisfasse. Comme nous l'a- ^ons dit plus haut, les dérivations sont immédiatement effectuées; quelles qu'elles soient, elles laissent toujours en facteur la même quantité variable :

exp [ — <!>' -\-i{bit — <!>)],

qui s'élimine d'elle-même.

On obtient en définitive un certain nombre de conditions à vérifier identiquement, entre les coefficients Po, Qo, Ro, 3t, ^, -;, a', |i , y , to, qui figurent daiis l'expression de l'onde, et les coefficients des équations aux dérivées partielles.

Ces conditions expriment les lois physiques.

L'intégration consiste donc à écrire des relations obtenues par substitution directe; il n'y a ni tâtonnement ni difficultés.

4'\ — Pour fixer les idées, prenons l'exemple simple :

■^-^ àx- ' bu- 1^ ùz« ■

On a immédiatement :

^=-(A + BO«^P; |5=(A + B0(a' + ia)'P;... Substituant dans la première équation, il vient :

(A + Bi) P I «^ + [ ioc' + iocY + (g' + i?.y + (y' + iyn H'- 1 = 0. On a une solution en posant :

a' = ?' = y = 0, aMa^+^= + f-) = «^

Elle correspond à des ondes planes propag-ées sans absorption.

510. Simplification des solutions des équations aux dérivées partielles.

Dans un très grand nombre de cas , le temps est une des variables indépendantes, et Ton cherche les solutions périodiques par rapport au temps.

L'expérience prouve même qu'en Optique, à la précision actuelle de nos expériences y on peut admettre que les phénomènes périodiques sont sinusoïdaux. D'où résultent des simplifications immédiates dans l'intégration des équations aux dérivées partielles.

Soit, par exemple, l'équation :

'à^7V . 1 hiv hiv

"5^ ' ^"ô^^^^ôT- Posons : ivz=WQWe^^\

où W est une fonction de x indépendante du temps.

La solution de l'équation aux dérivées partielles est ramenée à celle de l'équation différentielle :

f/-W , 1 dW

dx- ~^ X dx

= iwaW.

Voici un second exemple emprunté à la théorie des lames vibrantes :

ôr- ^^ àx' —^^

Posons encore : w = ivq We^"^^, où W est une fonction de x indépendante du temps. On trouve :

équation différentielle étudiée au § 285.