Moments par rapport à un plan. — L'égalilé

P;=zP^:..4-P,:,-4-...-4-P„:„.

peut s'exprimer aiUremenl en doimanl un nom particulier aux. éléments P,:,. On appelle moment d'une force par rapport à un plan le produit du nombre P, qui mesure la force sur un axe A parallèle à sa direction par la cote :, de son point d'application par rapport au plan. La notion de moment par rapport à un plan suppose le choix préalable d'un axe A parallèle à la force el d'un axe perpendiculaire au plan définissant les cotes. Celte notion n'est utilisée que dans le cas d'un système de forces parallèles. Avec cette convention, légalité précédente peut s'énoncer ainsi :

Lorsqu'un sijstème do forces parallèles admet une résultante, le moment de la résultante par rappurt à un plan etd r<jal à la somme des moments des composantes.

Remarque. — On peut supposer, dans la délinition et le théorème

précédents, que les cotes ;' ^^ jy, des points d'application

soient comptées ' sur un axe Os' oblique par rapport au plan. En effet, soient 0 l'angle de 0:' avec 0:, :

el z' les cotes d'un point M comptées parallèlement à 0: et à Os' : ona ::=:' cosO, dans le triangle rectangle

MHK. En divisant par cosO tous les termes de l'égalité précédente, on

obtient

pr^p,:;-i-p,:.:+... + p„::.

92. Centres de gravité. — Supposons que les forces P, soient les poids des points matériels d'un corps; le point G, centre de ces forces parallèles qui ont ici une résultante, égale à leur somme, formant le poids du corps, est appelé le centre de gravité du corps. Ce point est situé à l'intérieur de toute surface convexe contenant le corps. Pour faire varier la direction des forces par rapport au corps, il est nécessaire de déplacer le corps puisque la direction de la pesanteur est invariable dans un lieu déterminé. Donc, quand on change l'orientation d'un corps de forme invariable, le poids de ce corps passe par le point G, iixe par rapport à ce corps."

Pour interpréter la seconde propriété du centre des forces parallèles,

FOnCES PAIIALLÈLES. CENTRES DE CHAVITÉ 445

définissons les corps lioniogènos. On dit qu'un corps est homogène lorsque deux portions quelconques de ce corps ayant le même volume ont la même masse, et, par conséquent, le même poids. Il en résulte que la masse d'une partie d'un corps lionioffêm; est proportionnelle a son volume; le facteur de proportionnalité est la densité du corps; c'est le quotient de la niasse d'une partie du corps par le volume de celle partie, ou encore la masse de l'unité de volume. Nous supposer(jns, dans tout ce qui va suivre, que chaque corps solide est partagé en un grand nombre de fractions assez petites pour pouvoir, sans erreur sensible, êlre assimilées à des points matériels. Appliquons en chacun de ces points une force égale au poids de l'élément correspondant. Le centre de gravité G est le centre de ces forces parallèles. Si l'on change la matière qui constitue le corps en conservant sa forme géométrique, on voit, en adoptant la même division en petits éléments, que tous les poids ont varié dans up même rapport, (jui est celui des densités des deux matières; le centre G n'a pas varié. Donc :

La position du centre de gravité d'un solide homoffène, par rapport à ce corps, ne dépend que de sa forme i/éométriqne.

Nous avons vu au paragraphe 90, remarque II, que, pour déterr miner le point G, on pouvait partager les forces parallèles en plusieurs groupes et remplacer les forces de chaque groupe par leur résultante appliquée au centre correspondant. Utilisons ici cette remarque : pour trouver le centre de gravité G d'un corps, on pourra partager ce

corps en plusieurs parties et composer les poids de chacune de ces

parties, appliqués aux centres de gravité correspondants.

Soit encore un corps homogèi^e présentant une cavité ou plusieurs

cavités. Supposons les cavités remplies par la matière qui constitue

le corps; le centre de gravité G^ d\i

corps ainsi rempli est le centre du poids

Pj, appliqué en Gp de la première cavité

rempli(% du poids Pj, appliqué en G^, de

la seconde cavité remplie et du poids P

appliqué en G du corps considéré. Si ?„

est le poids du corps supposé plein,

on a p p,p.p

donc,

Si nous appliquons en G, et G^ les forces — P, et — P, et en G^,, la force Pj,. le point G sera le centre de ces forces parallèles, puisque les forces — P, — Pj, — P^, équilibrent la force P,,. Cette remarque est utile lorsqu'on peut déterminer facilement les points Gq, Gp G^.

44(') STATIQl E

93. Centres de gravité des surfaces et des lignes. — Consitférons un solide (loiil une dimension osl nL'{.îligL';iltU' par rapport aux dfux aulnes, par exemple un disque plan, une lenille de papier, le corps ODUipiis entre deux surfaces parallèles 1res voisines. Le centre de gravité de ce corps est appelé le centre de gravité de la surface ou du disque correspondant.

Si deux dimensions du solide sont négligeables par rapport à la troisième, par exemple un fil, un tube de petit iliauièlre. le centre de gravité de ce corps sera appelé le centre de gravité de la ligne avec laquelle on le confond.

Les remarques du paragraphe précédent sont, bien entendu, aj)plicables aux centres de gravité des surfaces et des lignes. Dans une surface homogène, la masse est proportionnelle à Taire; dans une ligne homogène, la masse est proportionnelle à la longueur.

94. Calcul des coordonnées du centre de gravité. — Considérons un corps solide (T) rapporté à trois axes de coordonnées rectangulaires; désignons par a(.r, //, s) la densité, au point A(.r, ?/, z), de ce corps, c'est-à-dire la limite vers laquelle tend le quotient de la masse d'une petite sphère du centre A par le volume de celte sphère, lorsque le rayon tend vers zéro. Si le corps est homogène, a est une constante. Partageons le corps en petits parallélépipèdes au moyen de plans parallèles aux plans de coordonnées; le poids d'un ("lément de (T), dont les dimensions sont f/.r, dy, dz, et dont un point intérieur a pour coordonnées x, ?/, :, sera gu-dxdi/dz, [j. désignant la densité au point X, 7/, z, et le poids total du corps sera Mg = '^ilgtxdxdydz, la somme ^ s'étendant à toutes les cellules intérieures au corps. Appliquons le théorème des moments par rapport au plan ?/(): et désignons par ;, T,, l les coordonnées du centre de graviti'. On aura

}ilg;^'^(jlj.xdxdydz.

Si l'on suppose que l'on a fait croître indéfiniment le nombre des mailles en faisant tendre vers zéro les trois dimensions de chacune d'elles, on a

M= / / u.dxdydz, M;=: / / 1 ixxdrdydz,

les intégrales triples étant étendues au volume (T). On aurait pu prendre une division du corps en petits éléments de volume dv autre que la division en parallélépipèdes. On aurait pu aussi suppo'-er les axes obliques puis<(ue le lliéorèine des moments par rapport à un plan est encore applicable. On obtient ainsi les formules générales

FORCES l'AUAI.I.r.LKS. CKMIll.S I)i: (iltAVITK 447

M '-= /' /' / a(/r, M 1= f f (v-rdc, M Yj = /' f f[J.ydv,

M^= /' /' fu.zdv.

Si le corps est lioriiogène, a disparaît dans les formules qui donneul ;, r,, C quand on remplace M par ^a valeur. Lorsque le corps est une surlace (S), on a les formules-

M= f j'çd'7. },[;= f fç.rd'z, Mr,= f fçyd'7, },{■:= f J.zdz.

dans lesquelles d<: désigne l'êlémenl de surface et p la densil»^; les intégrales douhles sont étendues à la surface (S). Four une ligne (Lj,

M = / '"/. ds , M ; = I '). r (/.v, M -ri = j lij ds , M ^ = j 'à ; ds ,

ds étant l'élément linéaire de la courbe et À, la densité; les intégrales sont étendues à la ligne (L).

Remarque. — Dans les calculs précédents, nous avons fait croître indélîniment le nombre n des points matériels qui constituent le corps en supposant en môme temps que la masse de chacun d'eux tende vers zéro. Au lieu des sommes il, nous obtenons ainsi des intégrales délînies, dont le calcul peut se faire au moyen des fonctions primitives. C'est donc une raison de commodité de calcul qui conduit à cette opération; les sommes - sont des valeurs approchées des intégrales et varient avec le nombre des éléments de division. 11 est naturel de les remplacer par leurs valeurs limites.

95. Corps ayant des symétries. — .Nous supposerons, dans ce paragraphe, que le corps est homogène, et nous pourrons toujours admettre que sa densité est égale à un. Les éléments de symétrie seront relatifs au corps géométrique.

/ieniarijiie I. — .^'(' un corps admet un centre de syméirie^ le centre de f/ravilé coïncide avec le centre de s'/niélrie.

Supposons par exemple que le corps soit un volume (T) et que le centre

df symétrie () soit à l'origine. Considérons l'intégrale / / xdo \ non^

Iiouvons partager le volume (T) ch éléments symétriques deux à deux par rapport à 0 : alors dv est le même pour deux éléments symétriques et les valeurs de x sont opposées. La somme ilajrfu est toujours nulle, donc l'intégrale est nulle et ;^U; de mèmer, = ;^^0. Le même raisonnement s'applique à une surface ou à une ligne.

Exfinples. — Le centre de gravité du volume ou de la surface d'un parallélépipède, du volume ou de la surface d'une sphère, de la surface

STATIQL'E

OU du périmèlro d'un polygone régulior ou d'un cercle, coïncide avec le centre de symétrie de la ligure. Le centre de gravité d'un segment de droite est au milieu de ce segment.

licmarque II. — Si un disque plan admet un diavièlre correspondant à une direction de cordes, le centre de gravité est sur ce diamrtre.

On dit qu'une droite (L) est un diamètre correspondant à une direction D, si, à chaque point A du disque, correspond un point A' tel que le segment AA' soit parallèle à D et que son milieu soil sur (L). Si D est perpendiculaire à (L), la droite (L) est un axe de symétrie.

Considérons la formule

Mr,= ffyd.

et supposons que l'on ait choisi la droite (L) comme axe des .v et l'axe Oij parallèle à D. Nous pouvons partager le disque en éléments superficiels admettant deux à deux le diamètre (L); deux éléments correspondants ont la même aire, comme on le voit en supposant que ces éléments soient des parallélogrammes ayant leurs côtés parallèles aux axes; et les valeurs de y correspondantes sont opposées. Les sommes lydG sont toujours nulles; il en est donc de même de l'intégrale, etT,=0.

Le raisonnement ne s'applique pas, en général, à une ligne, parce que deux éléments linéaires admettant le diamètre Ox n'ont pas, en général, même longueur. L'expression de l'élément linéaire ds en fonction de .r, par exemple, fait intervenir Tangle de la tangente avec Ox, et, pour deux éléments correspondants, les valeurs de cet angle diffèrent.

Dans le cas de la symétrie, la remarque s'applique à une ligne.

Exemples. — Soit un triangle ABC; la direction BC admet le diamètre AM: la direction AC admet le diamètre BN; le centre de gravité G est à liutersection de ces diamètres, c'est-à-dire des médianes du triangle.

Considérons un polygone plan quelconque, un pentagone ARCDE, par exemple. Nous pouvons le décomposer en trois triangles dont les centres de gravité sont y, y\ y" . Le pttint (i s'obtiendra en compo-

FORCKS l'AUALLELES. CKNTItKS Di; (JMAVITK

sant trois forces parallèles appliquées en y, rj\ if'\ cl proporlionnelles aux aires dos triangles correspondants.

La détermir)alion se pinn{)lifie dans le cas du trapèze, car cette figure admet un diamètre pour les cordes parallèles aux hases. Soit ABCD

un trapèze : la droite MN qui joint les milieux de \\i et de Cl) est un diamètre correspondant à la direction des bases.

La diagonale BD partage le trapèze en deux triangles ABD et BDC dont les centres de gravité g et g' sont sur les médianes DM et BN, au tiers de chacune d'elles à partir du point M ou du point N. Il faut composer deux forces parallèles, appliquées en g et g', proportionnelles aux aires des triangles. Le centre de ces forces sera sur gg' ; Le point (î est donc à l'intersection de gg' et de MN.

Voici une autre construction commode du point G, souvent utilisée en statique graphique. On peut donner aux forces appliquées en g et g' des intensités égales à AB et à CD, puisque les deux triangles ont la même hauteur; on peut aussi placer ces forces parallèlement à AB; leur résultante sera aussi parallèle à AB. Prenons, comme points dapplication, les points de rencontre E, V de ces forces avec AD : ces

points divisent .\D en trois segments égaux. Les forces seront EB' et FC'.

La résultante ne sera pas modifiée si on ajoute les deux forces directe-

ment opposées EA et FD. Remplaçons EA et EB' par leur somme EB

et remplaçons ED et EC' par leur somme EC; les forces EB et EC se coupent en H sur la résultante. D'où la construction suivante : on partage le cùlé AD du trapèze en trois parties égales par les points de division E et F. Soil H, le point de rencontre de BE et CF. La parallèle aux bases menée par H rencuntre le diamètre MN au point G.

Remarque III. — Si un volume admet un plan diamélral correspondant à une direction de cordes, le centre de gravité est dans le plan diamétral.

On dit qu'un plan (P) est un plan diamétral correspondant à une direction D, si à chaque point A du corps correspond un point .\' tel

MATH. GKNÉRALES. — II.

STATigi E

que la droite AA' soit parallèle à D et que le milieu du segment AA' soit dans le plan (P). Si D est perpendiculaire à (P), le plan (P) est un plan de symétrie. Considérons la formule

y]:= fffzdv,

et supposons que l'on ait choisi le plan (P) comme plan des .m/ et l'axe 0:. parallèle à D. Nous pourrons partager le volume (T) en êlémcnls admettant deux à deux le pian cliamélral (P); les volumes de ces deux éléments sont égaux, comme on le voit en supposant que ce soni des parallélépipèdes dont les arêtes sont parallèles aux axes, et les valeurs de ; correspondantes sont opposées Les sommes "^zdv, formées de termes opposés deux à deux, sont toujours nulles; il en est donc de même de l'intégrale, et ^ = 0.

Le raisonnement ne s'applique pas, en général, à une surface ni à une ligne, parce que deux éléments admettant le plan diamétral (P) n'ont pas, en général, même aire ou même longueur. L'expression de l'élément d'aire dn, en l'onction de x et y par exemple, fait intervenir l'angle de la normale à la surface avec 0: et, pour deux éléments correspondants, les valeurs de cet angle diffèrent.

Dans le cas de la symétrie, le résultat s'applique à une surface et à une ligne.

Fxemple.s. — 1° Soit un prisme triangulaire AjB,C,AoBX2 : la direction B,Cj admet un plan diamétral passant par A,A^ et le milieu M, de B,G, ; e centre de gravité, est dans ce plan; il est aussi dans le plan diamé-

tral de la direction AjC,. plan qui passe par BjB^ et le milieu N, de A,C,. Le centre de gravité G est sur la droite d'intersection GjG.^ de ces deux plans. Il est aussi dans le plan équidistanl des bases, plan diamétral pour la direction des arêtes; donc G est au milieu de G^iiy Comme (i, et G., sont les centres de gravité des disques plans formés par les bases,

FORCES l'ARALLKLES. r.ENTHKS DK OHAVITK

0 est au milieu du segment qui joint ces centres de gravité : c'est aussi le centre de gfavilt' du disque f'oruié par la section équidistante des bases.

Considérons inaiiiti'uant un prisme penla^j^onal .\,H,(1,I),E,A,|{/j^D.E,; nous pouvons^ à laide de plans diagonaux, le partager en trois prismes triangulaires, indiqués sur la ligure. Les centres de gravité g, g', g' de ces trois prismes coïncident avec les centres de gravité des sections moyennes. Pour avoir le centre de gravité G du prisme pentagonal, il (aut composer trois forces parallèles appliquées en g. g', g" et proportionnelles aux poids des prismes correspondants. Ôr. le poids de chaque prisme est proportionnel à la surface du triangle de base puisque le corps est homogène et que les prismes ont la même hauteur. Il faut donc composer des forces parallèles, appliquées en g, g', g", et égales aux surlaces des triangles dont ces points sont les centres de gravité. C>n ol)tienl ainsi le centre de gravité de la section moyenne. Ce résultat s'étend aussitiH à un cylindre limité par deux plans parallèles, en inscrivant un prisme dans ce cylindre et en augmentant indéliniment le nomhre des côtés du polygone de hase de façon que chacun d'eux tende vers zéro. Ainsi :

Af rentre de gravité d'un prisvip ou d'un cylindre coïncide avec le centre de gravite de la section mogenne. Ce point est aussi le milieu du segment qui joint les centn^s de gravité des bases.

i" Considérons un tétraèdre DABC: la direction de chaque arête admet un plan diamétral. Pour BC, le plan diamétral passe par AD et le

milieu M de BC; pour AC, le plan diamétral passe par BD et le milieu N de .\C. Ces deux plans se coupent suivant D(t^; G^, point de rencontre des médianes AM et BN du triangle ABC, est le centre de gravité du disque ABC. Le centre de gravité est sur DG,; il est donc aussi sur AG^, G^

étant le centre de gravité du disque triangulaire KCD. Le point de rencontre G de ces droites, contenues l'une et i"aulre dans le plan AlJ.M,

est le centre de gravité du tétraèdre. Or, MG, = ^MA et M(î.^=:.^MD,

de sorte que la droite 0,0.^ est parallèle à AD et égale a qAD; donc,

les triangles GAD et GGjG^ sont semblables, le rapport de similitude

étant n,etGG, = ^GD. Par suite le point G est sur la droite DG,, au

quart du segment DG, à partir de la base. On remarquera que le point D est un sommet quelconque du tétraèdre.

-Menons le plan parallèle au plan ABC passant par G. Il coupe les arêtes issues de D au quart de chacune d'elles à partir de la base et les plans diamétraux suivant les médianes du triangle de section; le point G est donc le centre de gravité du disque plan formé par la section.

Considérons maintenant une pyramide penlagonale SABCDE; à l'aide de plans diagonaux, on peut la partager en trois tétraèdres. Un raisonnement tout à fait semblable à celui que nous venons de faire pour le prisme montrera que le centre de gravité G coïncide avec celui du disque obtenu par une section plane parallèle au plan de base, à une dislance de ce plan égale au quart de la hauteur de la pyramide, et que ce point est sur la droite qui joint le sommet S au centre de gravité G, de la base. Ce résultat s'étend au cas du cône par un passage à la limite pareil à celui qui a été fait pour le cylindre. Ainsi :

Le centre de gravité d'une pyramide ou d'un cône coïncide avec le centre de gravité de la section faite par un plan parallèle à celui de la base à une distance de ce dernier égale au quart de la hauteur. Ce point est aussi sur le segment qui joint le sommet au centre de gravité de la base, au quart de ce segment à partir de la base.

Remarque. — Nous venons de déterminer les centres de gravité dun certain nombre de corps homogènes ayant des formes géométriques simples, sans calculer les intégrales définies du paragraphe précédent. Nous avons employé pour cela deux procédés qui peuvent être utiles dans d'autres cas :

1° nous avons décomposé le corps en portions plus simples pour lesquelles la détermination du centre de gravité est plus facile.

2° nous avons cherché les éléments de symétrie des corps et utilisé les remarques correspondantes relatives à la position du centre de gravité.

CIIAPITUK V